1、第一章 系统的状态空间描述上节回顾 现代控制理论的课程结构 控制理论的发展阶段 现代控制理论与经典控制理论的比较 现代控制理论与经典控制理论的关系本节内容 状态空间模型的建立 状态、状态方程的定义 状态的确立 状态方程与传递函数的关系 根据系统物理模型建立状态方程典型控制系统方框图x执行器被控对象传感器控制器控制输入观测观测y控制控制u被控过程被控过程反馈控制反馈控制系统数学描述的两种方法被控过程puuu21nxxx,21qyyy21 在经典控制理论中，怎样描述一个系统的关系，也即系统的数学模型是什么？所谓的状态空间又是如何描述的？举例说明系统的经典描述与状态描述的区别系统模型如何使用状态空间
2、描述 最主要的问题就是如何选择状态 状态空间表达式是以状态、状态变量、状态空间、状态方程等基本概念为基础建立起来的RLC串联电路 当t=t0时，i(t0)和 u0(t0)已知，即i(t)和u0(t)的初始值已知。且tt0所加的输入电压ur(t)已知。那么当t t0时，i(t)和u0(t)就完全被确定了，这就是说以后系统的性能和状态也就完全被确定了 而i(t)和u0(t)就是能够描述系统的全部运动的数目最小的一组变量。不同时刻的i(t)和u0(t)的值不同，所对应的状态就不同1 状态 状态就是一组变量的集合，在已知未来输入情况下，能够描述系统的全部运动的数目最少的一组变量的集合即为状态 对平面而
3、言，需要两个独立状态；对空间而言，n 维空间需要n 个独立状态 粗略的说，状态就是在空间中的“位置”，是描述系统运动的基本坐标2 状态变量 运动系统的状态变量，就是确定该系统状态的最小一组变量 同一个系统，究竟选取那些变量作为状态变量，这不是唯一的，主要是这些变量应该是相互独立的，且其个数应等于微分方程的阶数；又由于微分方程的阶数是唯一取决于系统中独立储能元件的个数，因此状态变量的个数就应等于系统独立储能元件的个数3 状态向量 一个n 阶系统，如果确定其运动状态，最少应有n 个独立变量，即n个状态变量，用x1(t),x2(t),x3(t),xn(t)来表示，可把这n 个状态变量写成向量的形式
4、123nx txtX txtxt4 状态空间 所有状态向量的集合，以状态变量x1(t),x2(t),x3(t),xn(t)为坐标轴所构成的n 维空间，在几何学上就是状态空间。也可以说状态空间是由所有的状态向量x(t)形成的 系统的一个状态，在状态空间中就是一个点。系统的初始状态在状态空间中就是初始点。随着时间的推移，状态向量x(t)将在状态空间中描绘出一条轨迹，称之为状态轨迹系统的状态空间表达式 在现代控制理论中，用系统的状态方程和输出方程来描述系统的动态行为，状态方程和输出方程合起来称为系统的状态空间表达式或称动态方程 引进了状态空间的概念，就可用数学式子来描述系统在状态空间中运动的特性，那
5、么这个数学表达式就是系统在状态空间中的数学模型 因此，状态空间表达式就是系统在状态空间中的数学模型。状态空间表达式中状态方程表达了输入对状态的作用关系，输出方程表达了状态与输出的关系状态方程 描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶向量微分或差分方程称为系统的状态方程，它不含输入的微积分项 一般情况下，状态方程既是非线性的，又是时变的，可以表示为()(),(),x tf x t u t t输出方程 描述系统输出变量与系统状态变量和输入变量之间函数关系的代数方程称为输出方程，当输出由传感器得到时，又称为观测方程 输出方程的一般形式为()(),(),y tg x t u t t动态方程 状态方程与
6、输出方程的组合称为动态方程，又称为状态空间表达式 一般形式为()(),(),()(),(),x tf x t u t ty tg x t u t t线性系统 线性系统的状态方程是一阶向量线性微分或差分方程，输出方程是向量代数方程。线性连续时间系统动态方程的一般形式为()()()()()y(t)C(t)x(t)D(t)u(t)x tA t x tB t u t线性定常系统(t)Ax(t)Bu(t)y(t)Cx(t)Du(t)x状态矩阵状态矩阵 A 控制矩阵控制矩阵 B输出矩阵输出矩阵 C 前馈矩阵前馈矩阵 D绘制系统结构图系统结构图讨论 1、状态变量的独立性 2、由于状态变量的选取不是唯一的，因
7、此状态方程、输出方程、动态方程也都不是唯一的。但是，用独立变量所描述的系统的维数应该是唯一的，与状态变量的选取方法无关 3、动态方程对于系统的描述是充分的和完整的，即系统中的任何一个变量均可用状态方程和输出方程来描述 例 试确定图8-5中（a）、（b）所示电路的独立状态变量 图中u、i分别是是输入电压和输入电流，y为输出电压，xi，(i=1 2 3)为电容器电压或电感器电流x3系统的传递函数矩阵 令初始条件为零，对线性定常系统的动态方程进行拉氏变换，可以得到 11()()()()()()X ssIABU sY sC sIABD U sDBAsICsG1)()(t)Ax(t)Bu(t)y(t)C
8、x(t)Du(t)x传递函数矩阵求取 已知系统动态方程，试求系统的传递函数矩阵2121212121100110012010 xxyyuuxxxx11(2)()102ss sG Ss状态方程的建立 图示机械运动系统中，m为质量块的质量，k为弹簧系数，b为阻尼器的阻尼系数 求出在外力u作用下，以质量块的位移y为输出的状态空间表达式状态空间法的优点(1)在数字计算机上求解一阶微分方程组或者差分方程组，比求解与它相当的高阶微分方程或差分方程要容易(2)状态空间法引入了向量矩阵，大大简化了一阶微分方程组的数学表示法(3)在控制系统的分析中，系统的初始条件对经典法感到困难的问题，采用状态空间法就迎刃而解了
9、(4)状态空间法能同时给出系统的全部独立变量的响应，不但反映了系统的输入输出外部特性，而且揭示了系统内部的结构特性，既适用单输入单输出系统又适用多输入多输出系统(5)状态空间法可利用计算机进行分析设计以及实时控制，所以可应用求解大量的非线性系统、时变系统、随机过程和采样系统(6)利用现代空间法进行系统综合时，是非常有利的小结 状态空间模型的建立 状态、状态方程的定义 状态的确立 状态方程与传递函数的关系 根据系统物理模型建立状态方程下节内容 由系统微分方程求出状态空间表达式 由传递函数导出状态空间表达式 具有不同极点的传递函数化为对角标准形 具有相同极点的传递函数化为约当标准形 由方框图导出状态空间表达式 Matlab仿真计算方法
