1、2012高考文科试题解析分类汇编：导数1.【2012高考重庆文8】设函数在上可导，其导函数，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是 【答案】C【解析】：由函数在处取得极小值可知，则；，则时，时【考点定位】本题考查函数的图象，函数单调性与导数的关系，属于基础题 2.【2012高考浙江文10】设a0，b0，e是自然对数的底数A. 若ea+2a=eb+3b，则abB. 若ea+2a=eb+3b，则abC. 若ea-2a=eb-3b，则abD. 若ea-2a=eb-3b，则ab【答案】A【命题意图】本题主要考查了函数复合单调性的综合应用，通过构造法技巧性方法确定函数的单调性.【解析】若，必有构造函数
2、：，则恒成立，故有函数在x0上单调递增，即ab成立其余选项用同样方法排除3.【2012高考陕西文9】设函数f（x）=+lnx 则 （ ）Ax=为f(x)的极大值点 Bx=为f(x)的极小值点Cx=2为 f(x)的极大值点 Dx=2为 f(x)的极小值点【答案】D.【解析】，令，则 当时，； 当时， 即当时，是单调递减的；当时，是单调递增的 所以是的极小值点故选D4.【2012高考辽宁文8】函数y=x2x的单调递减区间为（A）（1,1 （B）（0,1 （C.）1，+） （D）（0，+）【答案】B【命题意图】本题主要考查利导数公式以及用导数求函数的单调区间，属于中档题。【解析】故选B5.【2102
3、高考福建文12】已知f（x）=x-6x+9x-abc，abc，且f（a）=f（b）=f（c）=0.现给出如下结论： f（0）f（1）0；f（0）f（1）0；f（0）f（3）0；f（0）f（3）0.其中正确结论的序号是 A. B. C. D.【答案】C考点：导数。难度：难。分析：本题考查的知识点为导数的计算，零点问题，要先分析出函数的性质，结合图形来做。解答：， 导数和函数图像如下：由图，且，所以。6.【2012高考辽宁文12】已知P,Q为抛物线x2=2y上两点，点P,Q的横坐标分别为4，2，过P,Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为(A) 1 (B) 3 (C) 4 (D)
4、8【答案】C【命题意图】本题主要考查利用导数求切线方程的方法，直线的方程、两条直线的交点的求法，属于中档题。【解析】因为点P，Q的横坐标分别为4，2，代人抛物线方程得P，Q的纵坐标分别为8,2.由所以过点P，Q的抛物线的切线的斜率分别为4，2，所以过点P，Q的抛物线的切线方程分别为联立方程组解得故点A的纵坐标为4【点评】曲线在切点处的导数即为切线的斜率，从而把点的坐标与直线的斜率联系到一起，这是写出切线方程的关键。 7.【2012高考新课标文13】曲线y=x(3lnx+1)在点处的切线方程为_【答案】 【命题意图】本题主要考查导数的几何意义与直线方程，是简单题.【解析】，切线斜率为4，则切线方
5、程为：.8.【2012高考上海文13】已知函数的图像是折线段，其中、，函数（）的图像与轴围成的图形的面积为 【答案】。【解析】根据题意，得到，从而得到所以围成的面积为，所以围成的图形的面积为 .【点评】本题主要考查函数的图象与性质，函数的解析式的求解方法、定积分在求解平面图形中的运用.突出体现数形结合思想，本题综合性较强，需要较强的分析问题和解决问题的能力，在以后的练习中加强这方面的训练，本题属于中高档试题，难度较大.9【2102高考北京文18】（本小题共13分）已知函数f(x)=ax2+1(a0),g(x)=x3+bx。若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线
6、，求a,b的值；当a=3,b=-9时，若函数f(x)+g(x)在区间k,2上的最大值为28，求k的取值范围。【考点定位】此题应该说是导数题目中较为常规的类型题目，考醒的切线、单调性、极值以及最值问题都是果本中要求的重点内容。也是学生掌握比较好的知识点，在题目占能够发现和分析出区间包含极大值点，比较重要。解：（1），.因为曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，所以，即且解得（2）记当时，令，解得：，；与在上的情况如下：1（1,2）2+00+28-43由此可知：当时，函数在区间上的最大值为；当时，函数在区间上的最大值小于28.因此，的取值范围是10.【2012高考江苏18】（16分）若函数在处取得
7、极大值或极小值，则称为函数的极值点。已知是实数，1和是函数的两个极值点（1）求和的值；（2）设函数的导函数，求的极值点；（3）设，其中，求函数的零点个数【答案】解：（1）由，得。 1和是函数的两个极值点， ，解得。 （2） 由（1）得， ， ，解得。 当时，；当时， 是的极值点。 当或时， 不是的极值点。 的极值点是2。（3）令，则。 先讨论关于 的方程 根的情况：当时，由（2 ）可知，的两个不同的根为I 和一2 ，注意到是奇函数，的两个不同的根为一和2。当时， ，一2 , 1，1 ，2 都不是的根。由（1）知。 当时， ，于是是单调增函数，从而。此时在无实根。 当时，于是是单调增函数。又，的
8、图象不间断， 在（1 , 2 ）内有唯一实根。同理，在（一2 ，一I ）内有唯一实根。 当时，于是是单调减两数。又， ，的图象不间断，在（一1，1 ）内有唯一实根。因此，当时，有两个不同的根满足；当 时有三个不同的根，满足。现考虑函数的零点：( i ）当时，有两个根，满足。而有三个不同的根，有两个不同的根，故有5 个零点。( 11 ）当时，有三个不同的根，满足。而有三个不同的根，故有9 个零点。综上所述，当时，函数有5 个零点；当时，函数有9 个零点。【考点】函数的概念和性质，导数的应用。【解析】（1）求出的导数，根据1和是函数的两个极值点代入列方程组求解即可。 （2）由（1）得，求出，令，求
9、解讨论即可。 （3）比较复杂，先分和讨论关于 的方程 根的情况；再考虑函数的零点。11.【2012高考天津文科20】（本小题满分14分）已知函数，x其中a0.（I）求函数的单调区间；（II）若函数在区间（-2，0）内恰有两个零点，求a的取值范围；（III）当a=1时，设函数在区间上的最大值为M（t），最小值为m（t）,记g(t)=M(t)-m(t),求函数g(t)在区间上的最小值。【解析】() 或， 得：函数的单调递增区间为，单调递减区间为() 函数在内单调递增，在内单调递减 原命题（lfxlby）（III）当时，在上单调递增,在上单调递减当 当 得：函数在区间上的最小值为12.【2012高考
10、广东文21】（本小题满分14分）设，集合，.（1）求集合（用区间表示）（2）求函数在内的极值点.【解析】（1）令，。 当时，方程的两个根分别为，所以的解集为。因为，所以。 当时，则恒成立，所以，综上所述，当时，；当时，。（2）， 令，得或。 当时，由（1）知，因为，所以，所以随的变化情况如下表：0极大值所以的极大值点为，没有极小值点。 当时，由（1）知，所以随的变化情况如下表：00极大值极小值所以的极大值点为，极小值点为。综上所述，当时，有一个极大值点，没有极小值点；当时，有一个极大值点，一个极小值点。13.【2102高考福建文22】（本小题满分14分）已知函数且在上的最大值为，（1）求函数f
11、(x)的解析式；(2)判断函数f(x)在（0，）内的零点个数，并加以证明。考点：导数，函数与方程。难度：难。分析：本题考查的知识点为导数的计算，利用函数与方程的思想解决根个数的问题。解答：（I）在上恒成立，且能取到等号 在上恒成立，且能取到等号 在上单调递增 （lfxlby）（II） 当时，在上单调递增 在上有唯一零点 当时，当上单调递减 存在唯一使 得：在上单调递增，上单调递减 得：时，时，在上有唯一零点 由得：函数在内有两个零点。14.【2012高考四川文22】(本小题满分14分)已知为正实数，为自然数，抛物线与轴正半轴相交于点，设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距。（）用和表示；（）求对
12、所有都有成立的的最小值；（）当时，比较与的大小，并说明理由。命题立意：本题主要考查导数的应用、不等式、数列等基础知识，考查基本运算能力、逻辑推理能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类讨论、化归与转化由特殊到一般等数学思想解析（1）由已知得，交点A的坐标为，对则抛物线在点A处的切线方程为： 4分（2） 由（1）知f(n)=,则即知，对于所有的n成立，特别地，当n=1时，得到a3当a=3，n1时，当n=0时，=2n+1.故a=3时对所有自然数n均成立.所以满足条件的a的最小值为3. 8分（3） 由（1）知f(k)=下面证明：首先证明0x1时，设函数g(x)=6x(
13、x2-x)+1,0x1, 则.当时,g(x)0; 当故g（x）在区间（0，1）上的最小值所以，当0x0,即得由0a1知 点评本小题属于高档题，难度较大，需要考生具备扎实的数学基础和解决数学问题的能力.主要考查了导数的应用、不等式、数列等基础知识；考查了思维能力、运算能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识能力；且又深层次的考查了函数、转换与化归、特殊与一般等数学思维方法。15.【2012高考湖南文22】本小题满分13分）已知函数f(x)=ex-ax，其中a0.（1）若对一切xR，f(x) 1恒成立，求a的取值集合；（2)在函数f(x)的图像上去定点A（x1, f(x1)）,B(x2, f(x2
14、)(x10时，(xk) f(x)+x+10，求k的最大值【答案】17.【2012高考重庆文17】（本小题满分13分）已知函数在处取得极值为（1）求a、b的值；（2）若有极大值28，求在上的最大值 【解析】（）因 故 由于 在点 处取得极值故有即 ，化简得解得（）由（）知 ，令 ，得当时，故在上为增函数；当 时， 故在 上为减函数当 时 ，故在 上为增函数。由此可知 在 处取得极大值， 在 处取得极小值由题设条件知 得此时，因此 上的最小值为18.【2012高考湖北文22】（本小题满分14分）设函数，n为正整数，a,b为常数，曲线y=f(x)在（1，f(1)）处的切线方程为x+y=1.（1）求a
15、,b的值；（2）求函数f(x)的最大值（3）证明：f(x) .解：（）因为，由点在上，可得，即. 因为，所以. 又因为切线的斜率为，所以，即. 故，.（）由（）知，.令，解得，即在上有唯一零点. 在上，故单调递增；而在上，单调递减.故在上的最大值为. （）令，则.在上，故单调递减；而在上，单调递增.故在上的最小值为. 所以，即. 令，得，即，所以，即.由（）知，故所证不等式成立. 【解析】本题考查多项式函数的求导，导数的几何意义，导数判断函数的单调性，求解函数的最值以及证明不等式等的综合应用.考查转化与划归，分类讨论的数学思想以及运算求解的能力. 导数的几何意义一般用来求曲线的切线方程，导数的
16、应用一般用来求解函数的极值，最值，证明不等式等. 来年需注意应用导数判断函数的极值以及求解极值，最值等；另外，要注意含有等的函数求导的运算及其应用考查.19.【2012高考安徽文17】（本小题满分12分）设定义在（0，+）上的函数（）求的最小值；（）若曲线在点处的切线方程为，求的值。【解析】（I）（方法一），当且仅当时，的最小值为。（II）由题意得：， ， 由得：。20.【2012高考江西文21】（本小题满分14分）已知函数f(x)=（ax2+bx+c）ex在上单调递减且满足f(0)=1，f(1)=0.（1）求a的取值范围；（2）设g(x)= f(-x)- f(x)，求g(x)在上的最大值和最
17、小值。【解析】（1）， 在上恒成立(*) (*)（2）当时，在上单调递增 得： 当时， 得：在上的最小值是中的最小值 当时， 当时， 求最大值：当时， 当时， 得：当时， 当时， 时，时，21.【2012高考辽宁文21】(本小题满分12分)设，证明： ()当x1时， （ ） ()当时，【命题意图】本题主要考查导数公式，以及利用导数，通过函数的单调性与最值来证明不等式，考查转化思想、推理论证能力、运算能力、应用所学知识解决问题的能力，难度较大。【解析】()(法1)记=，则当1时，=，又，0，即； 4分（法2）由均值不等式，当1时， 令，则，即， 由得，当1时，. 4分()（法1）记，由()得，=
18、，令=，则当时，=在（1,3）内单调递减，又，0，当13时，. 12分（证法2）记=，则当当13时，=0. 10分在（1,3）内单调递减，又，0，当13时，. 12分22.【2012高考浙江文21】（本题满分15分）已知aR，函数（1）求f(x)的单调区间（2）证明：当0x1时，f(x)+ 0.【答案】【解析】（1）由题意得，当时，恒成立，此时的单调递增区间为.当时，此时函数的单调递增区间为.(2)由于，当时，.当时，.设，则.则有01-0+1减极小值增1所以.当时，.故.23.【2012高考全国文21】（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）已知函数（）讨论的单调性；（）设有两个极值
19、点，若过两点，的直线与轴的交点在曲线上，求的值。 【命题意图】本试题考查了导数在研究函数中的运用。第一问就是三次函数，通过求解导数求解单调区间。另外就是运用极值概念，求解参数值的运用。解：（1）依题意可得当即时，恒成立，故，所以函数在上单调递增；当即时，有两个相异实根且故由或，此时单调递增由，此时此时单调递增递减综上可知当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在单调递增，在单调递减。（2）由题设知，为方程的两个根，故有因此同理因此直线的方程为设与轴的交点为，得而由题设知，点在曲线的上，故，解得或或所以所求的值为或或。【点评】试题分为两问，题面比较简单，给出的函数比较常规，这一点对于同学们来说没
20、有难度，但是解决的关键还是要看导数的符号对函数单调性的影响，求解函数的单调区间。第二问中，运用极值的问题，和直线方程的知识求解交点，得到参数的值。24.【2012高考山东文22】 (本小题满分13分)已知函数为常数，e=2.71828是自然对数的底数)，曲线在点处的切线与x轴平行.()求k的值；()求的单调区间；()设，其中为的导函数.证明：对任意. 【答案】(I)，由已知，.(II)由(I)知，.设，则，即在上是减函数，由知，当时，从而，当时，从而.综上可知，的单调递增区间是，单调递减区间是.(III)由(II)可知，当时，01+，故只需证明在时成立.当时，1，且，.设，则，当时，当时，所以
21、当时，取得最大值.所以.综上，对任意，.25.【2012高考陕西文21】 （本小题满分14分设函数（1）设，证明：在区间内存在唯一的零点；（2）设n为偶数，求b+3c的最小值和最大值；（3）设，若对任意，有，求的取值范围；【解析】（）当 又当， （）解法一：由题意，知即 由图像，知在点取到最小值-6，在点取到最大值0 的最小值是-6，最大值是0 解法二：由题意，知，即； ，即 2+，得， 当时，；当， 的最小值是-6，最大值是0 解法三：由题意，知 解得， 又， 当时，；当， 的最小值是-6，最大值是0 （2）当时， 对任意上的最大值 与最小值之差,据此分类讨论如下： （）， （）， （）， 综上可知， 注：（）（）也可合并并证明如下： 用，当， 【解析】本题主要考查导数公式，以及利用导数，通过函数的单调性与最值来证明不等式，考查转化思想、推理论证能力、运算能力、应用所学知识解决问题的能力，难度较大。
