1、高考复习数列大题训练题一、解答题(共19题;共190分)1.(2018高三上济南月考)已知等差数列 中, ,且前10项和 (1)求数列 的通项公式; (2)若 ,求数列 的前 项和 2.(2020肥城模拟)记 为公差不为零的等差数列 的前 项和,已知 , . (1)求 的通项公式; (2)求 的最大值及对应 的大小. 3.(2018绵阳模拟)已知正项数列 的前 项和 满足: (1)求数列 的通项公式; (2)令 ,求数列 的前 项和 . 4.已知数列 的前 项和 满足 ,且 是 的等差中项, 是等差数列, . (1)求数列 的通项公式; (2),求数列 的前 项和 . 5.(2020新课标理)
2、设数列an满足a1=3, (1)计算a2 , a3 , 猜想an的通项公式并加以证明; (2)求数列2nan的前n项和Sn 6.(2020新课标理)设 是公比不为1的等比数列, 为 , 的等差中项 (1)求 的公比; (2)若 ,求数列 的前n项和 7.(2020新高考)已知公比大于 的等比数列 满足 (1)求 的通项公式; (2)求 . 8.(2020高二下丽水期末)已知数列 的前n项和 ,正项等比数列 满足 ,且 是 与 的等差中项 (1)求数列 的通项公式; (2)求数列 的前n项和 9.(2020高一下大庆期末)在等差数列 中, 为其前n项和 ,且 (1)求数列 的通项公式; (2)设
3、 ,求数列 的前n项和 (3)设 ,求数列 的前n项和 10.(2020高一下六安期末)记 为等差数列 的前n项和,已知 (1)若 ,求 的通项公式; (2)若 ,求使得 的n的取值范围 11.(2020高一下太和期末)已知数列 的前n项和为 ,且 . (1)求出数列 的通项公式; (2)记 ,求数列 的前n项和 . 12.(2020高一下湖州期末)设 为数列 的前n项和,满足 ,且 , , 成等差数列 (1)求数列 的通项公式; (2)数列 的前n项和为 ,求使得 成立的n的最小值 13.(2020高一下温州期末)已知数列 满足: 且 , (1)证明:数列 为等比数列; (2)记数列 的前n
4、项和 ,证明: 14.(2020高一下徐汇期末)已知数列 满足 , , . (1)证明:数列 是等比数列; (2)若 ,求数列 中的最小项. 15.(2020高一下上海期末)已知数列 满足 , . (1)求证:数列 是等比数列; (2)求数列 的通项公式. 16.(2020高一下上海期末)设数列 的前n项和为 .已知 . ()求 的通项公式;()若数列 满足 ,求 的前n项和 .17.(2020高一下上海期末)已知 为 的前n项和, 是等比数列且各项均为正数,且 , , . (1)求 和 的通项公式; (2)记 ,求数列 的前n项和 . 18.(2020高一下上海期末)在数列 中, , ,且
5、; (1)设 ,证明 是等比数列; (2)求数列 的通项公式; (3)若 是 与 的等差中项,求q的值,并证明:对任意的 , 是 与 的等差中项; 19.(2020高一下开鲁期末)设数列 的前n项和 ,数列 满足 . ()求数列 的通项公式;()求数列 的前n项和 .答案解析部分一、解答题1.【答案】 (1)解:设等差数列an的首项为a1 , 公差为d 由已知得 解得 所以数列an的通项公式为an12(n1)2n1(2)解:bn , 所以 【解析】【分析】(1)本题主要考查数列的通项公式,先设首项和公差,由题意可得 , 从而可得首项和公差,进而可得通项公式; (2)本题主要考查裂项相消的方法来
6、求数列的和,由题意 bn = , 从而可得其前n项和.2.【答案】 (1)解:设 的公差为 ,且 由 ,得 ,由 ,得 ,于是 , 所以 的通项公式为 (2)解:由(1)得 因为 ,所以当 或 时,有最大值为20【解析】【分析】(1)将已知条件转化为 的形式列方程,由此解得 ,进而求得 的通项公式.(2)根据等差数列前 项和公式求得 ,利用配方法,结合二次函数的性质求得 的最大值及对应 的大小.3.【答案】 (1)解:由已知 ,可得当 时, ,可解得 ,或 ,由 是正项数列,故 .当 时,由已知可得 , ,两式相减得, .化简得 ,数列 是以2为首项,2为公比的等比数列,故 .数列 的通项公式
7、为 .(2)解: ,代入 化简得 ,显然 是等差数列,其前 项和 .【解析】【分析】(1)先求a1,再消去sn得到an之间的递推。(2)化简可得bn是等差数列。4.【答案】 (1)解:由题意知,当 时, ,又因为 ,且 ,则 ,所以 ,又 成等差数列,则 ,所以 ,解得 ,所以数列 是以1为首项,3为公比的等比数列,故 .设 的公差为 ,则 ,解得 ,所以 .(2)解:由(1)得 ,所以 ,两式相减得 ,整理得 .【解析】【分析】(1)首先根据数列前n项和求得数列an,再依据等差数列定义求得bn.(2)首先求得数列cn.再根据错位相减求得数列前n项和。5.【答案】 (1)解:由题意可得 , ,
8、 由数列 的前三项可猜想数列 是以3为首项,2为公差的等差数列,即 ,证明如下:当 时, 成立;假设 时, 成立.那么 时, 也成立.则对任意的 ,都有 成立(2)解:由(1)可知, ,由 得: ,即 .【解析】【分析】(1)利用递推公式得出 ,猜想得出 的通项公式,利用数学归纳法证明即可;(2)由错位相减法求解即可.6.【答案】 (1)解:设 的公比为q, 为 的等差中项, ,;(2)解:设 的前 项和为 , , , 得, ,.【解析】【分析】(1)由已知结合等差中项关系,建立公比q的方程,求解即可得出结论;(2)由(1)结合条件得出 的通项,根据 的通项公式特征,用错位相减法,即可求出结论
9、.7.【答案】 (1)解:设等比数列 的公比为q(q1),则 , 整理可得: ,数列的通项公式为: .(2)解:由于: ,故: .【解析】【分析】(1)由题意得到关于首项、公比的方程组,求解方程组得到首项、公比的值即可确定数列的通项公式;(2)首先求得数列 的通项公式,然后结合等比数列前n项和公式求解其前n项和即可.8.【答案】 (1)解:当 时, , 当 时, ,设数列 的公比为q,由题意可得: ,解得 ,或 (舍去), , ;(2)解:由(1)有 , ,两式相减有:, 【解析】【分析】(1)由 可求出 ,设数列 的公比为q,根据等比数列的通项公式和等差中项的定义列出方程,由此可求出答案;(
10、2)由(1)有 ,然后根据错位相减法求和即可9.【答案】 (1)解:由已知条件得 解得 所以通项公式为: (2)解:由(1)知, , 数列 的前 项和(3)解:由 -得, 【解析】【分析】(1)根据等差数列的通项公式,求出首项和公差即可得到答案;(2)由 的通项公式得到 的通项公式,然后根据裂项相消法求前n项和 ;(3)由 的通项公式得到 的通项公式,然后根据错位相减法求前n项和 ;10.【答案】 (1)解:设 的公差为d 由 得 由 得 于是 因此 的通项公式为 (2)解:由 得 ,故 . 由 知 ,故 等价于 ,解得 所以 的取值范围是 【解析】【分析】(1)设 的公差为d由 , ,利用“
11、 ”求解(2)由(1)得 ,故 ,然后解不等式 即可.11.【答案】 (1)解: (nN*), 可得n1时,S1+12a1 , 即a11,当n2时,anSnSn1 , Sn+n2an , Sn1+n12an1 , 相减可得an+12an2an1 , 可得an2an1+1,即an+12(an1+1),则数列an+1为首项为2,公比为2的等比数列,可得an+12n , 即an2n1(2)解: 前n项和为Tn 2Tn 两式相减可得Tn2+2(22+2n) = 化简可得 【解析】【分析】(1)运用数列的递推式: 时, ,当 时, ,结合等比数列的通项公式,可得所求;(2)求得 ,运用数列的错位相减法求
12、和,结合等比数列的求和公式,计算可得所求和12.【答案】 (1)解:由已知得 时, , 所以 , , ,故依题得 ,所以 是以1位首项,3为公比的等比数列,所以 (2)解:由(1)知, , 所以 ,所以由 ,即n的最小值为8【解析】【分析】(1)由 和 ,可得 ,所以 为等比数列,再由 , , 成等差数列,通过递推分别用 表示,列方程可得首项为 ,进而写出通项公式.(2)写出 ,利用等比数列的前n项和公式求 ,对不等式进行化简可得, ,即可求出n的最小值.13.【答案】 (1)解:由 ,得 , 可知 为等比数列,且首项为 ,公比为2(2)解:由(1)得到 ,所以 . .即证明 .因为 .所以
13、前1项单独验证,即当n=1时,有 .综上所述, 【解析】【分析】(1)将已知条件转化为 ,由此证得数列 为等比数列.(2)由(1)求得 的表达式,进而求得 的表达式,利用放缩法,结合等比数列前n项和公式,证得不等式成立.14.【答案】 (1)证明: , 又 , 是首项为1,公比为 的等比数列(2)解: , 则 , 时, ,则 , 时, ,则 , ,即 【解析】【分析】(1)由 得 ,进而可得 ,即可得出结果;(2)先写出 的通项公式, ,讨论n的情况,比较 的大小即可得出结论.15.【答案】 (1)证明: , , 因此,数列 是等比数列(2)解:由于 ,所以,数列 是以 为首项,以 为公比的等
14、比数列, ,因此, 【解析】【分析】(1)利用数列 的递推公式证明出 为非零常数,即可证明出数列 是等比数列;(2)确定等比数列 的首项和公比,求出数列 的通项公式,即可求出 .16.【答案】 解:()因为 ,所以, ,故 当 时, 此时, 即 所以, ()因为 ,所以 ,当 时, 所以 ,当 时,所以 ,两式相减,得所以 ,经检验, 时也适合,综上可得: 【解析】【分析】()利用数列前n项和 与通项 的关系求解;()结合第()问的结果,利用关系式 求出数列 的通项公式,并结合其通项的结构特征,采用错位相减法求其前n项和 .17.【答案】 (1)解:当 时, ,当 时, ,也适合上式,故 ;设
15、等比数列 的公比为 ,由题意可知: ,因为 ,所以由 或 ,因为 ,所以 ,因此 ,所以 , (2)解:由(1)可知: , , 所以 ,因此 ,得, ,所以 【解析】【分析】(1)利用公式 ,求出数列 的通项公式;设出等比数列 的公比,根据等比数列的通项公式结合已知求出公比,进而求出数列 的通项公式;(2)结合(1)求出数列 的通项公式,最后利用错位相减法,结合等比数列前 项和公式进行求解即可.18.【答案】 (1)证明:由题设 ( ),得 ,即 , 又 , ,所以 是首项为1,公比为 的等比数列(2)解:由(1) , ,( )将以上各式相加,得 ( )所以当 时, 上式对 显然成立(3)解:
16、由(2),当 时,显然 不是 与 的等差中项,故 由 可得 ,由 得 , 整理得 ,解得 或 (舍去)于是 另一方面, ,由可得 , 所以对任意的 , 是 与 的等差中项【解析】【分析】(1)利用已知条件 ( ), 设 ,变形得出 , ,再利用 , , 结合等比数列的定义,从而证明出数列 是等比数列。 (2)利用等比数列通项公式求出等比数列 的通项公式,再利用累加法,进而求出数列 的通项公式。 (3)利用(2)中的数列 的通项公式求出 ,与 的值,再利用等差中项公式结合等比数列通项公式,从而求出q的值;再利用等差中项公式结合已知条件,从而推出对任意的 , 是 与 的等差中项。19.【答案】 解:()当 时, , 由 得 ( ), ( ),又 也符合,( ).() , 【解析】【分析】(1)利用已知条件结合与的关系式,从而求出数列 的通项公式。 (2)利用 , 由(1)中的数列 的通项公式,从而求出数列 的通项公式,再利用裂项相消求和的方法和等比数列前n项和公式,从而求出数列 的前n项和 。 - 19 -