1、二次函数综合题1. 如图，已知抛物线yx2bxc与x轴交于点A(1，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C，连接BC交抛物线的对称轴于点E，D是抛物线的顶点(1)求此抛物线的解析式；(2)直接写出点C和点D的坐标；(3)若点P在第一象限内的抛物线上，且SABP4SCOE，求P点坐标注：二次函数yax2bxc(a0)的顶点坐标为(，)第1题图解：(1)由A(1，0)，B(3，0)得，解得，抛物线的解析式为yx22x3；(2) C(0，3)，D(1，4)；【解法提示】抛物线与y轴交于点C，将x=0代入y=-x2+2x+3，得y=3，C（0，3），抛物线与x轴交于A（-1，0），B（3，0），对称轴为
2、直线x=，y=-1+2+3=4，D（1，4）.(3)设P(x，y) (x0，y0)， SCOE31，SABP4y2y，SABP4SCOE，2y4，y3，又点P在抛物线上，将y3代入得x22x33，解得x10(不合题意，舍去)，x22，P(2，3)2.如图，抛物线ya(x1)(x3)与y轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，其顶点为D.(1)写出C，D两点的坐标(用含a的式子表示)；(2)设SBCD：SABDk，求k的值；(3)当BCD是直角三角形时，求对应抛物线的解析式第2题图解：(1)ya(x1)(x3)ax24ax3aa(x2)2a，令x0，y3a，C(0，3a)，D(2，a)；(2)
3、由(1)得C(0，3a)，D(2，a)，得直线CD的解析式为y2ax3a，令y0，则x，如解图，设CD交x轴于点M，则M(，0)，第2题解图由题意知点A的坐标为(1，0)，B的坐标为(3，0), BM， ，k3；(3)B(3，0)，C(0，3a)，D(2，a)，BC232(3a)299a2，CD222(a3a)2416a2，BD2(32)2a21a2，BCDBCO90，BCD为直角三角形时，只能有两种情况，当CBD90时，则有BC2BD2CD2，即99a21a2416a2，解得a1或a1(舍去)，此时抛物线的解析式为yx24x3；当CDB90时，则有CD2BD2BC2，即416a21a299a
4、2，解得a或a(舍去)，此时抛物线的解析式为yx22x.综上所述，当BCD是直角三角形时，抛物线的解析式为yx24x3或yx22x.3.如图，在平面直角坐标系中，直线yx2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线yx2bxc经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B.(1)求抛物线的函数表达式；(2)点D为直线AC上方抛物线上一动点连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，CDE的面积为S1，BCE的面积为S2，求的最大值；过点D作DFAC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得CDF中的某个角恰好等于BAC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由第3题图 备用图解：(1)据题意得A
5、(4，0)，C(0，2)，yx2bxc过点A、C两点，解得，yx2x2；(2)令y0，x2x20，解得x14，x21，B(1，0)，如解图，过D作DMx轴交AC于M，过B作BNx轴交AC于N，DMBN，第3题解图DMEBNE，令D(a，a2a2)（-4a0），M(a，a2)，B(1，0)，N(1，)，(a2)2，当a2时，的最大值为；存在；A(4，0)，B(1，0)，C(0，2)，AC2，BC，AB5，AC2BC2AB2，ABC是以ACB为直角的直角三角形，如解图，取AB中点P，连接PC，P(，0)，第3题解图PAPCPB，CPO2BAC，tanCPO；如解图，作QADF，Q在CD延长线上，Q
6、Hx轴于点H，情况1：DCF2BAC，即QCA2BAC，tanQCA，AQ，QAHHQACAOOCA90，QAHCAO90，CAOHQA，QAHACO，QHAAOC，AH，HQ，AH，HQ，Q(，)，又C(0，2)，QC的解析式为yx2，联立，x2x0，x10(舍)，x22，xD2；情况2：如解图，FDC2BAC，即AQC2BAC，AQ，QHAAOC，AH，HQ3，Q(，3)，又C(0，2)，QC的解析式为yx2，联立，x2x0，x10(舍去)，x2，xD.综上所述，D点的横坐标为2或.4.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A(1，0)，B(4，0)，C(0，4)三点，点P是直
7、线BC下方抛物线上一动点(1)求这个二次函数的解析式；(2)是否存在点P，使POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；(3)动点P运动到什么位置时，PBC面积最大求出此时P点坐标和PBC的最大面积第4题图解：(1)由于抛物线与y轴交于点A(1，0)，B(4，0)，可设抛物线解析式为ya(x1)(x4)，将点C(0，4)代入得：a(01)(04)4，解得a1，所求抛物线解析式为y(x1)(x4)，即yx23x4.(2)存在如解图，取OC的中点D(0，2)，过D作PDy轴，交抛物线于点P，且点P在第四象限，则点P的纵坐标为2，x23x42，解得x(负值舍去)，满
8、足条件的P点的坐标为(，2)；第4题解图(3)点B(4，0)，点C(0，4)，直线BC的解析式为yx4，设点P的坐标为(t，t23t4)，如解图，过P作PQy轴交BC于Q，则点Q的坐标为(t, t4)，第4题解图|PQ|t4(t23t4)t24t(t2)24，当t2时，PQ取最大值，最大值为4，SPBCSPCQSPBQPQxBPQ42PQ，当PQ最大时，SPBC最大，最大值为8.此时点P的坐标为(2，6)5.如图，抛物线yx2bxc与直线AB交于A(4，4)，B(0，4)两点，直线AC：yx6交y轴于点C.点E是直线AB上的动点，过点E作EFx轴交AC于点F，交抛物线于点G.(1)求抛物线yx
9、2bxc的表达式；(2)连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；(3)在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；在的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为E上一动点，求AMCM的最小值第5题图解：(1)抛物线yx2bxc的图象过A(4，4)，B(0，4)两点，解得，抛物线表达式为yx22x4；(2)如解图，设lAB的解析式为ymxn，代入A(4，4)，B(0，4)两点，解得，直线AB的表达式为y2x4.B(0，4)，OB4，设E(x，2x4)，G(x，x22x4)，GE(x22x4)(
10、2x4)x24x.四边形GEOB是平行四边形，OBGE，GEBO，即：x24x4，解得x1x22，当xG2时，yG4，G(2，4)；(3)如解图，设E(a，2a4)，F(a，a6)，过A作AKy轴于点K，交GF于点Q，过点H作HPGF于点P，AK4，OK4，BC10，KCOCOK642，BKBCKC1028，AC2AK2KC2422220，AB2AK2BK2428280，BC2102100，AC2AB2BC2，即BAC90，AEF90，AFE90，四边形AEHF以AEF，AFE为内角时不是矩形，当BAC90且四边形AEHF是平行四边形时，四边形AEHF是矩形，EHAF，EHAF.HEPAFQ，
11、EPHFQA90，EPHFQA，PHAQ，EPFQ，0aa(4)，解得a2，E(2，0)，yH4(a6)，解得yH1，点H的坐标为(0，1)；如解图，EMEH，AE2，设在EA上存在点N，NEMMEA，当时，ENMEMA，即，EN，MNAM，AMCMMNMCNC(两点之间线段最短)，即当N、M、C三点共线时，NC就是所要求的AMCM的最小值ANAEEN2，NC，即AMCM的最小值为.第5题解图6.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数yax22axc的图象与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于A、B两点，点B的坐标为(3，0)(1)求二次函数的解析式；(2)点M是第二象限内抛物线上的一动点
12、，若直线OM把四边形ACDB分成面积为12的两部分，求出此时点M的坐标；(3)点P是第二象限内抛物线上的一动点，当点P在何处时CPB的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点P的坐标第6题图解：(1)将点C(0，3)，B(3，0)代入yax22axc得：，解得：，二次函数的解析式为yx22x3；(2)由yx22x3，令y0，则x22x30，解得x11，x23.点A(1，0)如解图，连接OD、AD、AC、CD，第6题解图yx22x3(x1)24，顶点D的坐标为(1，4)；易求直线AD的解析式为y2x2，直线AD与y轴的交点为(0，2)，S四边形ACDBSABDSACD44129.直线OM必与线段B
13、D相交，易得直线BD的解析式为y2x6；设直线OM与直线BD交于点E，则OBE的面积可以为3或6.当SOBE93时，易得点E的纵坐标为2，将y2代入直线BD解析式求得x2，E点坐标(2，2)，则直线OE的解析式为yx，设M点坐标为(x，x)，代入抛物线解析式得：xx22x3，解得：x1，x2(舍去)，M(，)；当SOBE96时，同理可得M点坐标M点坐标为(1，4)；综上所述，点M的坐标为(，)或(1，4)；(3)如解图，连接OP，设P点的坐标为(m，n)，第6题解图点P在抛物线上，nm22m3，SCPBSCPOSOPBSCOBOC(m)OBnOCOBmn(nm3)(m23m)(m)2.3m0，
14、当m时，n，CPB的面积有最大值.当点P的坐标为(，)时，CPB的面积有最大值，最大值为.7.抛物线yx22x3与x轴交于点A，B(A在B的左侧)，与y轴交于点C.(1)求直线BC的解析式；(2)抛物线的对称轴上存在点P，使APBABC，求点P的坐标；(3)点Q在y轴右侧的抛物线上，设点Q的横坐标为a，试确定当OCQOCA时，a的取值范围第7题图解：(1)令y0，即x22x30，解得x11，x23，点A在点B的左侧，A(1，0)，B(3，0)，当x0时，y3，则C(0，3)，设直线BC的解析式为ykx3，把B(3，0)代入，得03k3，解得k1，直线BC的解析式为yx3；(2)由(1)可知OB
15、OC3，则BOC为等腰直角三角形，ABC45，APBABC45，且PAPB，如解图，过点B作BDPA于点D，设对称轴与x轴交于点E，则PBD为等腰直角三角形，设BDPDm，第7题解图由勾股定理得PBm，PAPBm，AD(1)m.在RtABD中，根据勾股定理得AD2BD2AB2，即(1)m2m242，解得m2，在RtPBE中，PE2PB2BE22m22224812(22)2，PE22，点P的坐标为(1，22)或(1，22)；(3)如解图，点A关于y轴对称的点F的坐标为(1，0)，连接CF，第7题解图OCAOCF，设直线CF的解析式为ymxn，把点C(0，3)、F(1，0)代入得，解得，则直线CF
16、的解析式为y3x3，与二次函数联立得，解得或，直线CF与抛物线的交点坐标为(0，3)，(5，12)，由抛物线知，当点Q在直线CF的下方的抛物线上时，OCQOCA，即a5.8.如图，一次函数yx4与x轴交于点B，与y轴交于点C.经过点B、C两点的抛物线yax2bxc也经过点A(2，0)(1)求抛物线的解析式；(2)点M是线段AB上的一个动点，过点M作MNBC，交AC于点N，连接CM，当CMN的面积最大时，求点M的坐标；(3)点D(4，k)在抛物线上，点F为抛物线上一动点，在y轴上是否存在点E，使以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的点E，F的坐标；若不存在，请说
17、明理由第8题图解：(1)由yx4可知B(6，0)，C(0，4)，设抛物线的解析式为ya(x2)(x6)，将点C（-2，0）的坐标代入，解得a，抛物线的解析式为yx2x4；(2)设点M的坐标为(m，0)，过点N作NHx轴于点H，如解图，第8题解图点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(6，0)，AB8，AMm2，MNBC，AMNABC，NH，SCMNSACMSAMNAMCOAMNH(m2)(4)m2m3(m2)24，当m2时，SCMN有最大值为4，此时，点M的坐标为(2，0)；(3)存在，理由如下：点D(4，k)在抛物线yx2x4上，当x4时，y4，D(4，4)，设点F的坐标为(m，n)，点E的坐
18、标为(0，t)，由题意得：若AF为平行四边形的边，如解图，则有：第8题解图，nm2m4，解得：m2，n，t.E1(0，)，F1(2，)；若AF为平行四边形的对角线，如解图，则有：第8题解图，nm2m4，解得m6，n0，t4，E2(0，4)，F2(6，0)，综上所述，存在E1(0，)，F1(2，)或E2(0，4)，F2(6，0)使得以A、D、E、F为顶点的四边形为平行四边形9.如图，抛物线y(x3)21与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，顶点为D.(1)试求点A，B，D的坐标；(2)连接CD，过原点O作OECD与抛物线的对称轴交于点E，求OE的长；(3)以(2)中的点E为圆
19、心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P，过点P作O的切线，切点为Q，当PQ的长最小时，求点P的坐标第9题图解：(1)由y0得(x3)210，解得x13，x23，又点A在点B的左侧，A点坐标为(3，0)，B点坐标为(3，0)，由抛物线解析式y(x3)21可得顶点D的坐标为(3，1)；(2)如解图，过点D作DGy轴于点G，设CD与x轴交于点F，第9题解图由题意可得，DCGCFO90，EOMCFO90，DCGEOM，又CGDOME90，CDGOEM, ，即，EM2, E点坐标为(3，2)，OE；(3)如解图，由E的半径为1，由勾股定理得PQ2EP21，要使切线长PQ最小，只需EP长最小，
20、即EP2最小，第9题解图设P点坐标为(x，y)，则PQx3，EQ2y, 由勾股定理得EP2(x3)2(2y)2, y(x3)21，(x3)22y2, EP22y2x24x4(y1)25，当y1时，EP2为最小值，将y1代入y(x3)21，得x15，x21，P点坐标为(1，1)或(5，1)点P在对称轴右侧的抛物线上，x21（舍去），P(5，1)10.如图，抛物线yx2bxc过点A(3，0)，B(1，0)，交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动(点P不与点A重合)，过点P作PDy轴交直线AC于点D.(1)求抛物线的解析式；(2)求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；
21、(3)在抛物线对称轴上是否存在点M，使|MAMC|最大？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由图 图第10题图解：(1)抛物线yx2bxc过点A(3，0)，B(1，0)，解得，抛物线的解析式为yx24x3；(2)令x0，则y3，C(0，3)，设直线AC的解析式为ykxb，将A(3，0)，C(0，3)，代入直线AC解析式得：，解得，直线AC的解析式为yx3，设点P(x，x24x3)，PDy轴，点D(x，x3)，PD(x3)(x24x3)x23x(x)2，a10，当x时，线段PD的长度有最大值，最大值为；(3)存在由抛物线的对称性得，对称轴垂直平分线段AB，MAMB，当M、B、C不在同一条直线上时，由三角形的三边关系得，|MAMC|MBMC|BC，当M、B、C三点共线时，|MAMC|MBMC|BC，|MAMC|BC，即当点M在BC的延长线上时，|MAMC|最大，最大值即为BC的长度，设直线BC的解析式为yk1xb1(k10)，将B(1，0)，C(0，3)代入得：，解得，直线BC的解析式为y3x3，当x2时，y3233，点M(2，3)，即抛物线对称轴上存在点M(2，3)，使|MAMC|最大20
