1、线性代数试题及详细答案 作者： 日期：17 线性代数（试卷一）一、 填空题（本题总计20分，每小题2分）1. 排列7623451的逆序数是。2. 若，则 3. 已知阶矩阵、和满足，其中为阶单位矩阵，则。4. 若为矩阵，则非齐次线性方程组有唯一解的充分要条件是_5. 设为的矩阵，已知它的秩为4，则以为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为_2_。6. 设A为三阶可逆阵，则 7.若A为矩阵，则齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是 8.已知五阶行列式，则 9. 向量的模（范数）。10.若与正交，则 二、选择题（本题总计10分，每小题2分）1. 向量组线性相关且秩为s，则(D)2. 若A为三阶方阵，
2、且，则(A)3设向量组A能由向量组B线性表示，则( d )4. 设阶矩阵的行列式等于，则等于。c 5. 设阶矩阵，和，则下列说法正确的是。 则 ,则或 三、计算题（本题总计60分。1-3每小题8分,4-7每小题9分）1. 计算阶行列式 。2设A为三阶矩阵，为A的伴随矩阵，且，求.3求矩阵的逆4. 讨论为何值时，非齐次线性方程组 有唯一解； 有无穷多解； 无解。5. 求下非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组的基础解系和此方程组的通解。 6.已知向量组、，求此向量组的一个最大无关组，并把其余向量用该最大无关组线性表示7. 求矩阵的特征值和特征向量四、证明题（本题总计10分）设为的一个解，为对应齐
3、次线性方程组的基础解系，证明线性无关。（答案一）一、填空题（本题总计20分，每小题 2 分）115；2、3；3、；4、；5、2；6、；7、；8、0；9、3；10、1。.二、选择题（本题总计 10 分，每小题 2分 1、D；2、A；3、D；4、C；5、B三、计算题（本题总计60分，1-3每小题8分，4-7他每小题9分）1、 解： -3分 -6分 -8分（此题的方法不唯一，可以酌情给分。）解：（1）-1分 -5分 （2）-8分3. 设A为三阶矩阵，为A的伴随矩阵，且，求. 因A，故 3分 5分 8分4、解： -3分 -6分 故-8分 （利用公式求得结果也正确。）5、解； -3分 （1）唯一解： -
4、5分 （2）无穷多解： -7分 （3）无解： -9分 （利用其他方法求得结果也正确。）6、解：-3分 基础解系为 ，-6分 令，得一特解：-7分 故原方程组的通解为：，其中-9分（此题结果表示不唯一，只要正确可以给分。）7、解：特征方程 从而 (4分)当时，由得基础解系，即对应于的全部特征向量为 (7分)当时，由得基础解系，即对应于的全部特征向量为 四、证明题（本题总计10 分）证： 由为对应齐次线性方程组的基础解系，则线性无关。(3分) 反证法：设线性相关，则可由线性表示，即： (6分)因齐次线性方程组解的线性组合还是齐次线性方程组解，故必是的解。这与已知条件为的一个解相矛盾。(9分). 有
5、上可知，线性无关。(10分)(试卷二)一、填空题（本题总计 20 分，每小题 2 分）1. 排列6573412的逆序数是 2.函数 中的系数是 3设三阶方阵A的行列式,则= A/3 4n元齐次线性方程组AX=0有非零解的充要条件是 5设向量，=正交，则 6三阶方阵A的特征值为1，2，则 7. 设，则.8. 设为的矩阵，已知它的秩为4，则以为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为_9设A为n阶方阵，且2 则 10已知相似于，则 ， 二、选择题（本题总计 10 分，每小题 2 分）1. 设n阶矩阵A的行列式等于，则等于 (A) (B)-5 (C) 5 (D)2. 阶方阵与对角矩阵相似的充分必要条件
6、是 . (A) 矩阵有个线性无关的特征向量 (B) 矩阵有个特征值 (C) 矩阵的行列式 (D) 矩阵的特征方程没有重根3A为矩阵，则非齐次线性方程组有唯一解的充要条件是 (A) (B) (C) (D) 4.设向量组A能由向量组B线性表示，则( )(A) (B)(C) (D)5. 向量组线性相关且秩为r，则 (A) (B) (C) (D) 三、计算题（本题总计 60 分，每小题 10 分）1. 计算n阶行列式: .2已知矩阵方程，求矩阵,其中. 3. 设阶方阵满足,证明可逆，并求.4求下列非齐次线性方程组的通解及所对应的齐次线性方程组的基础解系:5求下列向量组的秩和一个最大无关组,并将其余向量
7、用最大无关组线性表示6已知二次型：， 用正交变换化为标准形，并求出其正交变换矩阵Q四、证明题（本题总计 10 分，每小题 10 分）设, , , , 且向量组线性无关，证明向量组线性无关.(答案二)一、填空题（本题总计 20 分，每小题2 分）1. 17 2. -2 3456-27或8 29、10、二、选择题（本题总计 10 分，每小题 2 分）1. A 2. A 3.C 4.D 5. B三、计算题（本题总计 60 分，每小题 10分）1、 解： -4分 -7分 -10分（此题的方法不唯一，可以酌情给分。）2求解，其中 解：由得 (3分) (6分) (8分)所以 (10分)3解：利用由可得：
8、-5分 即 -7分 故可逆且-10分4求下列非齐次线性方程组的通解及所对应的齐次线性方程组的基础解系 解： (2分) (4分)则有 (6分)取为自由未知量，令，则通解为： (8分)对应齐次线性方程组的基础解系为： (10分)5求下列向量组的秩和一个最大无关组,并将其余向量用最大无关组线性表示 解：= (2分) 为一个极大无关组. (4分) 设 ， 解得 ， . (8分) 则有 ， 6 解 的矩阵 (2分)的特征多项式 (4分) 的两个正交的特征向量 , 的特征向量 正交矩阵 8分) 正交变换：标准形 四、证明题（本题总计 10分）若设且向量组线性无关，证明向量组线性无关. 证明：设存在，使得
9、也即 化简得 又因为线性无关，则 (8分)解得 所以，线性无关.（试卷三）一、填空题（本题总计20分，每小题2分）1、 按自然数从小到大为标准次序，则排列的逆序数为 2、 设4阶行列式，则 3、 已知，则 4、 已知n阶矩阵A、B满足，则 5、 若A为矩阵，则齐次线性方程组只有零解的充分必要条件是 6、 若A为矩阵，且，则齐次线性方程组的基础解系中包含解向量的个数为 7、 若向量与向量正交，则 8、 若三阶方阵A的特征多项式为，则 9、设三阶方阵、，已知，则 10、设向量组线性无关，则当常数满足 时，向量组线性无关.二、选择题（本题总计10分，每小题2分）1、 以下等式正确的是( ) 2、 4
10、阶行列式中的项和的符号分别为（ ）正、正正、负负、负负、正3、 设A是矩阵，C是n阶可逆阵，满足BAC. 若A和B的秩分别为和 ，则有( )以上都不正确 4、 设A是矩阵，且，则非齐次线性方程组( )有无穷多解有唯一解无解无法判断解的情况5、已知向量组线性无关，则以下线性无关的向量组是（ ）三、计算题（本题总计60分，每小题10分）1 求矩阵的特征值和特征向量2 计算阶行列式3 已知矩阵，且满足，求矩阵X.4 求下列非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组的基础解系及此方程组的通解5 已知矩阵，求矩阵A的列向量组的一个最大无关组，并把其余向量用该最大无关组线性表示6 已知A为三阶矩阵，且，求四、
11、证明题（本题总计10分）设向量组中前个向量线性相关，后个向量线性无关，试证：（1）可由向量组线性表示；（2）不能由向量组线性表示.（试卷四）一、填空题（本题总计16分，每小题2分）1、 按自然数从小到大为标准次序，则排列的逆序数为 2、 4阶行列式 3、 已知，为A的伴随矩阵，则 4、 已知n阶方阵A和B满足，则 5、 已知A为矩阵，且，则以A为系数矩阵的齐次线性方程组的基础解系中包含解向量的个数为 6、 已知四维列向量、，且，则 7、 把向量单位化得 8、 若三阶方阵A的特征多项式为，则 二、选择题（本题总计14分，每小题2分）1、 已知，则以下等式正确的是( ) 2、 设A和B为n阶方阵，
12、下列说法正确的是（ ）若，则 若，则或若，则或 若，则3、 设A是矩阵，且，则非齐次线性方程组( )有唯一解有无穷多解无解无法判断解的情况4、 向量组的秩就是向量组的（ ）极大无关组中的向量线性无关组中的向量极大无关组中的向量的个数线性无关组中的向量的个数5、 已知n阶方阵A、B和C满足ABC=E，其中E为n阶单位矩阵，则( )6、 设A为三阶方阵，为A的伴随矩阵，且，则（ ）7、 已知n元齐次线性方程组的系数矩阵的秩等于n-3，且是的三个线性无关的解向量，则的基础解系可为（ ）三、计算题（本题总计60分，1-3每小题8分，4-7每小题9分）1 计算阶行列式2 已知三阶方阵，求3 已知矩阵，求.4 求下列非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组的基础解系及此方程组的通解5 判定向量组的线性相关性。6 已知矩阵，求矩阵的秩及列向量组的一个最大无关组.7 已知，求可逆阵P，使得为对角阵. 四、证明题（本题总计10分）设为非齐次线性方程组的一个解，为对应齐次线性方程组的基础解系.试证：向量组线性无关。
