1、第 1 页 20082008 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 一、填空题一、填空题 1若函数若函数cos()(0) 6 yx 最小正周期为最小正周期为 5 ，则，则 【解析】 2 10 5 T 2若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有 1，2，3，4，5，6 个点的正方体玩具） ，先后个点的正方体玩具） ，先后 抛掷两次，则出现向上的点数之和为抛掷两次，则出现向上的点数之和为 4 的概率是的概率是 【解析】本小题考查古典概型基本事件共 66 个，点数和为 4 的有(1，3)、(2，2)、(3，1)共
2、 3 个，故 31 6 612 P 3 3若将复数若将复数1 1 i i 表示为表示为( ,abi a bR i是虚数单位）的形式，则是虚数单位）的形式，则ab 【解析】因 2 11 12 ii i i ，故a0，b1，因此1ab 4 4若集合若集合 2 |(1)37,AxxxxR，则，则AZ中有中有 个元素个元素 【解析】由 2 (1)37xx得 2 560xx，( 1,6)A ，因此 0,1,2,3,4,5 AZ ，共 有 6 个元素 5已知向量已知向量a和和b的夹角为的夹角为 0 120，| 1,| 3ab，则，则|5|ab 【解析】 22222 |5|(5)25|10|25 1abab
3、aa bb 2 1 10 1 3 ()349 2 ，故|5| 7ab 6在平面直角坐标系在平面直角坐标系xoy中，设中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 2 的点构成的区域，的点构成的区域，E是是 到原点的距离不大于到原点的距离不大于 1 的点构成的区域，向的点构成的区域，向D中随机投一点，则所投中随机投一点，则所投 点在点在E中的概率是中的概率是 【解析】如图：区域 D 表示边长为 4 的正方形的内部（含边界） ，区 域 E 表示单位圆及其内部，因此 2 1 4 416 P 7 某地区为了解 某地区为了解70 80岁的老人的日平均睡眠时间 （单位：岁的老人
4、的日平均睡眠时间 （单位： h） ，随机选择了） ，随机选择了 50 位老人进行调查，下表是这位老人进行调查，下表是这 50 位老人位老人 睡眠时间的频率分布表：睡眠时间的频率分布表： 在 上在 上 述 统述 统 序号序号 i 分组分组 （睡眠时间）（睡眠时间） 组中值组中值 （ i G） 频数频数 （人数）（人数） 频率 （频率 （ i F） ） 1 4,5) 4.5 6 0.12 2 5,6) 5.5 10 0.20 3 6,7) 6.5 20 0.40 4 7,8) 7.5 10 0.20 5 8,9 8.5 4 0.08 开始 S0 输入 Gi，Fi i1 S SGiFi i5 i i
5、1 N Y 输出 S 结束 第 2 页 计数据的分析中计数据的分析中一部分计算见算法流程图，则输出的一部分计算见算法流程图，则输出的 S 的值为的值为 【解析】由流程图 1122334455 SG FG FG FG FG F 4.5 0.12 5.5 0.20 6.5 0.40 7.5 0.2 8.5 0.086.42 8设直线设直线bxy 2 1 是曲线是曲线)0(lnxxy的一条切线，则实数的一条切线，则实数b的值是的值是 【解析】 1 y x ，令 11 2x 得2x，故切点（2，ln2） ，代入直线方程，得，故 bln21 9如图，在平面直角坐标系如图，在平面直角坐标系xoy中，设三角
6、形中，设三角形ABC的顶点分别为的顶点分别为)0 ,(),0 ,(), 0(cCbBaA，点，点 (0, )Pp在线段在线段 AO 上的一点（异于端点） ，这里上的一点（异于端点） ，这里pcba,均为非零实数，设直线均为非零实数，设直线CPBP,分别与边分别与边 ABAC,交于点交于点FE,，某同学已正确求得直线，某同学已正确求得直线OE的方程的方程 为为 1111 ()()0xy bcpa ，请你完成直线，请你完成直线OF的方程：的方程： ( ) 11 ()0xy pa 【解析】画草图，由对称性可猜想填 11 cb 事实上，由截 距式可得直线 AB：1 xy ba ，直线 CP：1 xy
7、cp ，两 式相减得 1111 ()()0xy bcpa ，显然直线 AB 与 CP 的交点 F 满足此方程，又原点 O 也满足此 方程，故为所求直线 OF 的方程 10将全体正整数排成将全体正整数排成一个一个三角形数阵：三角形数阵： 按照以上排列的规律，第按照以上排列的规律，第n行（行（3n）从左向右的第）从左向右的第 3 个数为个数为 【解析】前 n1 行共有正整数 12（n1）个，即 2 2 nn 个，因此第 n 行第 3 个数是全 体正整数中第 2 2 nn 3 个，即为 2 6 2 nn 11设设, ,x y z为正实数，满足为正实数，满足230xyz，则，则 2 y xz 的最小值
8、是的最小值是 【解析】由230xyz得 3 2 xz y ，代入 2 y xz 得 22 9666 3 44 xzxzxzxz xzxz ，当且仅当 x3z时取“” A B C x y P O F E 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 第 3 页 12在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy中中，椭圆，椭圆)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的焦距为的焦距为 2c，以，以 O 为圆心，为圆心，a为半径为半径 作圆作圆M，若过若过 2 (0) a P c ，作作圆圆M的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为 【解析
9、】设切线 PA、PB 互相垂直，又半径 OA 垂直于 PA，故OAP 是 等腰直角三角形，故 2 2 a a c ，解得 2 2 c e a 13若 AB2，AC 2BC，则 SABC的最大值为 解析 设 BCx，则 AC 2x.根据三角形的面积公式， 得 S ABC1 2 AB BCsin Bx 1cos 2B. 根据余弦定理，得 cos BAB 2BC2AC2 2AB BC 4x 22x2 4x 4x 2 4x . 将代入，得 S ABCx1 4x2 4x 2 128x2 2 16 . 由三角形的三边关系，得 2xx2， x2 2x， 解得 2 22x2 22， 故当 x2 3时，S AB
10、C取得最大值 2 2，故选 A. 14f(x)ax33x1 对于 x1，1，总有 f(x)0 成立，则 a 【解】若 x0，则不论 a 取何值，f(x)0 显然成立；当 x0 即 x(0，1时，f(x)ax33x10 可化为 a 3 x2 1 x3设 g(x) 3 x2 1 x3，则 g(x) 312x x4 ，所以 g(x)在区间(0，1 2上单调递增，在区间 1 2， 1上单调递减， 因此 g(x)maxg( 1 2)4， 从而 a4 当 x0 即 x1， 0)时， f(x)ax 33x10 可化为 a3 x2 1 x3，设 g(x) 3 x2 1 x3，且 g(x)在区间1，0)上单调递
11、增，因此 g(x)ming(1)4， 从而 a4，综上 a4 二二如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以 Ox 轴为始边作两个锐角 ，它们的终边分别交单位圆 于 A，B 两点已知 A，B 两点的横坐标分别是 2 10， 2 5 5 求 tan()的值； 求 2 的值 【解】由已知条件即三角函数的定义可知 22 5 cos,cos 105 ，因为锐角，故 第 4 页 A B C D E F B C D A O P sin0， 从 而 2 7 2 sin1 cos 10 ， 同 理 可 得 2 5 sin1 cos 5 ， 故 1 t a n7 , t a n 2 故tan()= 1 7 tant
12、an 2 3 1 1tantan 1 7 2 ； 1 3 2 tan(2 )tan()1 1 1 ( 3) 2 ，又0,0 22 ，故 3 02 2 ，从而由 tan(2 )1 得， 3 2 4 16如图，在四面体如图，在四面体ABCD中，中，CBCDADBD，点，点EF，分别是分别是ABBD，的中点求证：的中点求证： 直线直线/EF面面ACD； 平面平面EFC 面面BCD 【标准答案】【标准答案】 证明：证明：因 E，F 分别是ABBD，的中点故 EF 是 ABD 的中位线，故 EFAD，因 EF面 ACD，AD面 ACD， 故直线 EF面 ACD； 因 ADBD，EFAD，故 EFBD，因
13、 CB=CD，F 是 的中点，故 CFBD，又 EFCF=F，故 BD面 EFC，因 BD面 BCD，故面EFC 面BCD 17 如图， 某地有三家工厂， 分别位于矩形 如图， 某地有三家工厂， 分别位于矩形 ABCD 的两个顶点的两个顶点 A， B 及及 CD 的中点的中点 P 处处 AB20km， BC10km为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与区域上（含边界）且与 A，B 等距的一点等距的一点 O 处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道 AO，BO，PO记铺设管道的总长度为记铺设管道
14、的总长度为 ykm 按下列要求建立函数关系式：按下列要求建立函数关系式： （i）设）设BAO（rad） ，将） ，将y表示成表示成的函数；的函数； （ii）设）设OPx（km） ，将） ，将y表示成表示成x的函数；的函数； 请你选用请你选用中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，中的一个函数关系确定污水处理厂的位置， 使铺设的污水管道的总长度最短使铺设的污水管道的总长度最短 【解】 由条件知 PQ 垂直平分 AB， 若BAO=(rad)， 则 10 coscos AQ OA ， 故 10 cos OB ，又OP10 10tan，故 1010 1010tan coscos yOAOBOP ，所求函
15、数关系式为 2010sin 10(0) cos4 y ； 若 OP=x(km)，则 OQ10x，故 222 (10)1020200OAOBxxx，所求函 数关系式为 2 220200(010)yxxxx 选择函数模型， 22 10coscos(20 10)( sin )10(2sin1) coscos sin y ， 令 y 0 得 sin 1 2 ， 因0 4 ， 故= 6 ， 当(0, ) 6 时， 0y ，y是的减函数； 当(,) 6 4 时， 第 5 页 0y ，y是的增函数，故当= 6 时， min 10 10 3y这时点 P 位于线段 AB 的中垂线上， 在矩形区域内且距离 AB
16、边 10 3 3 km 处 18 在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy中，中， 记二次函数记二次函数 2 ( )2f xxxb（xR） 与两坐标轴有三个交点 经） 与两坐标轴有三个交点 经 过三个交点的圆记为过三个交点的圆记为C 求实数求实数 b 的取值范围；的取值范围； 求求圆圆C的方程；的方程； 问问圆圆C是否经过定点（其坐标与是否经过定点（其坐标与b的无关的无关）？请证明你的结论）？请证明你的结论 【解】令0x，得抛物线与y轴交点是（0，b） ；令 2 ( )20f xxxb，由题意 b0 且 0，解得 b1 且 b0 设所求圆的一般方程为 2 x 2 0yDxEyF，令y0 得， 2
17、 0xDxF这与 2 2xxb0 是同一个方程，故 D2，Fb令x0 得 2 yEy0，此方程有一个根为 b， 代入得出 Eb1故圆C的方程为 22 2(1)0xyxbyb 圆C必过定点，证明如下： 假设圆C过定点 0000 (,)(,)xyxyb不依赖于，将该点的坐标代入圆C的方程，并变形为 22 00000 2(1)0xyxyby(*)，为使(*)式对所有满足1(0)bb的b都成立，必须有 0 10y，结合(*)式得， 22 0000 20xyxy，解得 00 00 02 11 xx yy ， ， 或 ， ，经 检验知， 点(0,1),( 2,1)均在圆C上，因此圆C过定点 19设 12
18、, n a aa是各项均不为零的等差数列(4n)，且公差0d ，若将此数列删去某一 项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列： 当4n时，求 1 a d 的数值；求n的所有可能值； 求证： 对于一个给定的正整数(4)n n ， 存在一个各项及公差都不为零的等差数列 12 , n b bb， 其中任意三项(按原来的顺序)都不能组成等比数列 【解】当4n时， 1234 ,a a a a中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成 等比数列，则推出0d 若删去 2 a，则 2 314 aa a，即 2 111 (2 )(3 )adaad化简得 1 40ad，得 1 4 a d ； 若删去 3 a，
19、则 2 214 aa a，即 2 111 ()(3 )adaad化简得 1 0ad，得 1 1 a d ； 综上，得 1 4 a d 或 1 1 a d 第 6 页 O y x (a,f(a)(b,f(b) 图 1 当5n时， 12345 ,a a a a a中同样不可能删去 1245 ,a a a a，否则出现连续三项 若删去 3 a，则 1524 a aa a，即 1111 (4 )() (3 )a adadad化简得 2 30d ，因0d，故 3 a 不能删去； 当6n时，不存在这样的等差数列事实上，在数列 12321 , nnn a a aaaa 中，由于不 能删去首项或末项，若删去
20、2 a，则必有 132nn a aaa ，这与0d矛盾；同样若删去 1n a 也有 132nn a aaa ，这与0d矛盾；若删去 32 , n aa 中任意一个，则必有 121nn a aaa ，这与 0d矛盾(或者说：当 n6 时，无论删去哪一项，剩余的项中必有连续的三项) 综上所述，4n 假 设 对 于 某 个 正 整 数n， 存 在 一 个 公 差 为d的n项 等 差 数 列 12 ,., n b bb， 其 中 111 , xyz bbb (01xyzn) 为 任 意 三 项 成 等 比 数 列 ， 则 2 111yxz bbb ， 即 2 111 ()() ()by dbx dbz
21、 d， 化简得 22 1 ()(2 )yxz dxzy bd(*)， 由 1 0bd 知， 2 yxz 与2xzy同时为 0 或同时不为 0；当 2 yxz与2xzy同时为 0 时，有xyz与题设矛 盾 故 2 yxz与2xzy同时不为 0， 故由(*)得 2 1 2 byxz dxzy ， 因01xyzn， 且 x、 y、z 为整数，故上式右边为有理数，从而 1 b d 为有理数于是，对于任意的正整数) 4( nn，只要 1 b d 为无理数， 相应的数列就是满足题意要求的数列 例如n项数列 1，12，1 2 2， ，1 (1) 2n 满足要求 20已知函数已知函数 1 1( ) 3x pf
22、 x ， 2 2( ) 2 3x pfx （ 12 ,xR p p为常数）为常数） 函数函数( )f x定义为：对每定义为：对每 个给定的实数个给定的实数x， 112 212 ( ),( )( ) ( ) ( ),( )( ) fxfxfx f x fxfxfx 若 若 求求 1 ( )( )f xf x对所有实数对所有实数x成立的充分必要条件（用成立的充分必要条件（用 12 ,p p表示） ；表示） ； 设设, a b是两个实数， 满足是两个实数， 满足ab， 且， 且 12 ,( , )p pa b 若 若( )( )f af b， 求证： 函数， 求证： 函数( )f x在区间在区间 ,
23、 a b 上的单调增区间的长度之和为上的单调增区间的长度之和为 2 ba （闭区间（闭区间 , m n的长度定义为的长度定义为nm） 【解】由( )f x的定义可知， 1 ( )( )f xf x（对所有实数x）等价于 12 ( )( )f xfx（对所有实 数x）这又等价于 12 | 32 3 x px p ，即 312 log 2| | 332 x px p 对所有实数x均成立 （*）由于 121212 | |()()| |()xpxpxpxpppxR的最大值为 12 |pp，故（*）等价于 12 | 32 pp ，即 123 | log 2pp，这就是所求的充分必要条件 分两种情形讨论
24、（i）当 123 | log 2pp时，由知， 1 ( )( )f xf x（对所有实数 , xa b） 则 由()( )fafb及 1 apb易 知 1 2 ab p ， 再 由 第 7 页 O y x (a,f(a) (b,f(b) (x0,y0) (p2,2) (p1,1) 图 2 1 1 1 1 1 3, ( ) 3, px xp xp f x xp 的单调性可知，函数( )f x在区间 , a b上的单调增区间的长度为 22 abba b （参见示意图 1） 213 log 2pp，于（ ii ） 123 | log 2pp时 ， 不 妨 设 12, pp， 则 是 当 1 xp时
25、， 有 12 12 ( )33( ) pxpx f xfx ， 从 而 1 ()()fxfx；当 2 xp时，有 312122122 log 2 12 ( )333333( ) x pppx pppx px p f xfx ， 从 而 2 ( )( )f xfx； 当 12 pxp时， 1 1( ) 3x pf x ，及 2 2( ) 2 3 px fx ，由方程 12 32 3 xppx ，解得 12 ( )( )f xfx与 图象交点的横坐标为 12 03 1 log 2 22 pp x ，显然 1022132 1 ()log 2 2 pxpppp， 这表明 0 x在 1 p与 2 p之间
26、由知， 101 022 ( ), ( ) ( ), pxxf x f x xxpfx 综上可知， 在区间 , a b上， 01 02 ( ), ( ) ( ), axxf x f x xxbfx （参见示意图 2） ， 故由函数 1( ) f x及 2( ) fx 的单调性可知，( )f x在区间 , a b上的单调增区间的长度之和为 012 ()()xpbp，由于 ( )( )f af b， 即 12 32 3 pabp ， 得 123 l o g2ppab ， 故 由 、 得 012123 1 ()()l o g2 22 ba xpbpbpp 综合（i） （ii）可知，( )f x在区间
27、, a b上的单调增区间的长度和为 2 ab 20082008 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） B选选修修 42 矩阵与变换矩阵与变换 在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy中，设椭圆中，设椭圆 22 41xy在矩阵在矩阵 2 0 0 1 对应的变换作用下得到曲线对应的变换作用下得到曲线 F，求，求 F 的方程的方程 解：设 00 (,)P xy是椭圆上任意一点，点 00 (,)P xy在矩阵A对应的变换下变为点， 00 (,)P xy 则 有 00 0 0 20 0 1 xx y y ，即 00 00 2xx yy ，故 0 0 00 2 x
28、 x yy 又因为点P在椭圆上，故 22 00 41xy，从而 22 00 ()()1xy，故曲线F的方程是 22 1xy C选修选修 44 参数方程与极坐标参数方程与极坐标 第 8 页 在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy中，点中，点()P xy，是椭圆是椭圆 2 2 1 3 x y上的一个动点，求上的一个动点，求Sxy的最大值的最大值 解：因椭圆 2 2 1 3 x y的参数方程为 3cos ( sin x y 为参数），故可设动点P的坐标为 ( 3cos ,sin），其中02，故 31 3cossin2(cossin )2sin() 223 Sxy ，故当 6 时，S取最大值 2 22
29、 【必做题】记动点 【必做题】记动点 P 是棱长为是棱长为 1 的正方体的正方体 1111 -ABCD ABC D的的 对角线对角线 1 BD上一点，记上一点，记 1 1 D P D B 当当APC为钝角时，求为钝角时，求的的 取值范围取值范围 解：由题设可知，以DA、DC、 1 DD为单位正交基底，建立如 图所示的空间直角坐标系Dxyz，则有(1,0,0)A，(1,1,0)B， (0,1,0)C，(0,0,1)D，由 1 ( 1 ,1 ,1 )DB ，得 11 ( , ,)DPDB ，故 11 (, )(1,0, 1)(1,1)PAPDD A 11 (, )(0,1, 1)(,1,1)PCP
30、DDC ，显然APC不是平角，故APC 为 钝 角 等 价 于coscos,0 | | PA PC APCPA PC PAPC ， 则 等 价 于0PA PC ， 即 2 (1)()()(1)(1)(1)(31)0 ，得 1 1 3 ，故的取值范围是 1 ( ,1) 3 23在等式在等式 2 cos22cos1xx（xR）的两边求导，得：）的两边求导，得： 2 (cos2 )(2cos1)xx，由求导，由求导 法则，得法则，得(sin2 ) 24cos(sin )xxx，化简得等式：，化简得等式：sin22cossinxxx 利用上题的想法（或其他方法） ，结合等式利用上题的想法（或其他方法）
31、 ，结合等式 0122 (1)CCCC nnn nnnn xxxx（xR， 正整数正整数2n） ，证明：） ，证明： 11 2 (1)1C n nkk n k nxkx 对于正整数对于正整数3n，求证：，求证： 1 ( 1)C0 n kk n k k ； 2 1 ( 1)C0 n kk n k k ； 1 1 121 C 11 n n k n k kn x y z C B A D D1 C1 B1 A1 P 第 9 页 【解】在等式 0122 (1+x) =CCCC nnn nnnn xxx两边对x求导得 112121 (1)2(1) nnnnn nnnn nxCC xnCxnC x 移项得
32、11 2 (1)1 n nkk n k nxkC x （*） 在（*）式中，令1x，整理得， 1 1 ( 1)0 n kk n k kC 故 1 ( 1)0 n kk n k kC 由知， 112121 (1)2(1),3 nnnnn nnnn nxCC xnCxnC xn 两边对x求导，得 2232 (1)(1)23 2(1) nnn nnn n nxCC xn nC x 在上式中，令 1x 2322 0232(1)(1)(1) n nnn CCnnC 即 2 2 (1)( 1)0 n kk n k k kC ， 亦 即 2 2 ( 1) ()0 n kk n k kk C （1） 又由 （i） 知 1 ( 1)0 n kk n k kC （2） 由 （1） + （2） 得 2 1 ( 1 )C0 n kk n k k 将 等 式 0122 ( 1 + x )= CCCC nnn nnnn xxx两 边 在 0 , 1 上 对x积 分 11 0122 00 (1)(CCCC) nnn nnnn x dxxxx dx 由微积分基本定理，得 1 111 00 0 11 (1)() 11 n nkk n k xC x nk ，故 1 0 121 11 n n k n k C kn
