1、1第二章第二章 本章用定量的方法，从整体上来研究本章用定量的方法，从整体上来研究随机现象随机现象.随机变量的分随机变量的分布和数字特征布和数字特征2第一节第一节 2.2.1 1 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布3 在公理化定义中，概率实际上是在公理化定义中，概率实际上是事件集事件集与与数集数集之间的映之间的映射，因而它不是函数，如此一来，许多先进的数学方法，比射，因而它不是函数，如此一来，许多先进的数学方法，比如说微积分方法就不能用于概率。如说微积分方法就不能用于概率。一、随机变量的概念和分类一、随机变量的概念和分类 如何克服这一缺点呢如何克服这一缺点呢?方法是：寻找一个方法是：寻找一
2、个点集点集，使之充当，使之充当“中途点中途点”，让样本，让样本空间的空间的事件集事件集对应于这个对应于这个点集，点集，然后再去研究这个然后再去研究这个点集点集与与0，1区间的映射（即区间的映射（即函数函数），这样就为微积分方法用于概率铺平），这样就为微积分方法用于概率铺平了道路。了道路。下面就向大家介绍这一方法下面就向大家介绍这一方法4 定义定义 设随机试验设随机试验E的样本空间是的样本空间是，若对于每一个样本若对于每一个样本点（点（基本事件基本事件）,有一个实数有一个实数X=X()与之对应与之对应,即即X=X()是定义在是定义在上的单值实函数，由于上的单值实函数，由于是随机事件，故是随机事件
3、，故称称X为为 随机变量随机变量(random variable,简记为简记为r.v.).X()R.例例1 1 抛一枚硬币，观察正反面的出现情况抛一枚硬币，观察正反面的出现情况.10,(),HXXT 若若若若，5 （1）在试验之前只知道它可能取值的范围，而不能预先肯）在试验之前只知道它可能取值的范围，而不能预先肯定它将取哪个值定它将取哪个值.（2）实值函数取每个值和每个确定范围内的值也有一定的）实值函数取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率概率.随机变量通常用大写字母随机变量通常用大写字母X,Y,Z或希腊字母或希腊字母 等表示等表示.，随机变量随机变量的两条性质：的两条性质：6 随机变量概
4、念的产生是概率论发展史上的重大事件随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件.引引入随机变量后，对随机现象统计规律的研究，就由对事件及入随机变量后，对随机现象统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究，并事件概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究，并可以用数学分析的方法对随机试验的结果进行广泛深入的研可以用数学分析的方法对随机试验的结果进行广泛深入的研究和讨论。究和讨论。分类：分类：实际中常研究的随机变量有实际中常研究的随机变量有两大类型两大类型连续型随机变量连续型随机变量离散型随机变量离散型随机变量7二、随机变量的分布函数二、随机变量的分布函数 为了
5、对各类随机变量作统一研究，下面给出为了对各类随机变量作统一研究，下面给出既适合于离散型随机变量又适合于连续型随机变既适合于离散型随机变量又适合于连续型随机变量的概念量的概念随机变量的分布函数。随机变量的分布函数。定义定义 设设X为随机变量，称实函数为随机变量，称实函数 RxxXxF ,P)(为为X的的分布函数分布函数。有有对对任任意意实实数数,)(,baba PbXa )()(aFbF PPaXbX xax b8分布函数的基本性质：分布函数的基本性质：RxxF ,1)(0)1(2)(2)是是单单调调不不减减函函数数F(x)；1)(,0)()3(FF(4)(xF是是右右连连续续的的：)()(li
6、m00 xFxFxx .设设X为离散型随机变量为离散型随机变量，分布律为，分布律为 ,2,1,P kpxXkkRxxXxF ,P)(xxkkpxXxFP)(则则;：1212x xF xF x9例例1 1解解设随机变量设随机变量X的分布律为的分布律为:XP013/126/12/1求求X的分布函数的分布函数F(x).).,0时时当当 x,10时时当当 x;0P)(xXxF,21时时当当 xP)(xXxF ；310P X,2时时当当 x；2161311P0P)(XXxF.12P1P0P)(XXXxF10故故下面我们从图形上来看一下下面我们从图形上来看一下.2,121,2/110,3/10,0)(xx
7、xxxF,0时时当当 x,10时时当当 x;0)(xF,21时时当当 x；31)(xF,2时时当当 x；21)(xF.1)(xF11 2,121,2/110,3/10,0)(xxxxxF2161分布函数的图形分布函数的图形3110 x1)(xF2一般，离散型随机变量的分布函数呈一般，离散型随机变量的分布函数呈阶梯形阶梯形.12如果随机变量如果随机变量 X 只取有限或可列无穷多个值，只取有限或可列无穷多个值，三、离散型随机变量的概率分布三、离散型随机变量的概率分布则称则称 X 为为离散型随机变量离散型随机变量.对于离散型随机变量，关键是要确定：对于离散型随机变量，关键是要确定：(1)(1)所有可
8、能的取值是什么？所有可能的取值是什么？(2)(2)取每个可能值的概率是多少？取每个可能值的概率是多少？设设离离散散型型随随机机变变量量X的的可可能能取取值值为为,21xx,记记,kkxXPp ,2,1 k称之为离散型随机变量称之为离散型随机变量 X 的的分布律分布律或或概率分布概率分布.定义定义13或写成如下的表格形式：或写成如下的表格形式：,kkxXPp ,2,1 kXP1x2xkx1p2pkp显显然然，其其中中ip必必须须满满足足以以下下两两个个条条件件：14例例1 1 袋中有袋中有2 2只蓝球只蓝球3 3只红球，不放回抽取只红球，不放回抽取3 3只，记只，记X为抽得的蓝球数，求为抽得的蓝
9、球数，求 X 的分布律的分布律.X 可能取的值是可能取的值是0,1,2，0 XP解解3533CC,101 1 XP352312CCC ,106 2 XP351322CCC .103 所以所以X的分布律为的分布律为 XP012101106103或表示为或表示为,35332CCCkXPkk .2,1,0 k15例例2 2 设一汽车在开往目的地的路上需经过三组信号设一汽车在开往目的地的路上需经过三组信号灯，每组信号灯以灯，每组信号灯以0.5的概率允许或禁止汽车通过的概率允许或禁止汽车通过.以以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数(设各盏信号灯的工作是
10、相互独立的设各盏信号灯的工作是相互独立的)，求，求 X的概率的概率分布分布.依题意依题意,X 可取值可取值 0,1,2,3.设设 Ai=第第i个路口遇红灯个路口遇红灯,i=1,2,3路口路口3路口路口2路口路口1解解0 XP)(1AP.21 16路口路口3路口路口2路口路口1路口路口3路口路口2路口路口11 XP)(21AAP.41 2 XP)(321AAAP.81 17路口路口3路口路口2路口路口1不难看出不难看出.130 iiXP3 XP)(321AAAP.81 所以所以 X 的分布列为的分布列为 XP01221418138118例例3 3 在下列情形下，求其中的未知常数在下列情形下，求其
11、中的未知常数a，已知随已知随机变量的概率分布为：机变量的概率分布为：解解;),2,1()1()1(nknnakkXP 1(2)(0,1).kP Xkak(1)由规范性由规范性,nkkXP11 nkknna1)1(,22)1()1(annnna .2 a所所以以(2)101 XPXP215 a，2aa )215(舍去舍去 a19例例4 4 某人有某人有 n 把钥匙，仅有一把能打开门，随机选一把试开，把钥匙，仅有一把能打开门，随机选一把试开，开后放回，直至打开为止，求第开后放回，直至打开为止，求第s次才打开门的概率次才打开门的概率.解解开门次数开门次数 X 服从服从几何分布几何分布，,1np .1
12、)11(1nnsXPs 20四、连续型随机变量四、连续型随机变量定定义义 如如果果对对于于随随机机变变量量X的的分分布布函函数数为为)(xF，存存在在非非负负可可积积函函数数)(xf，使使对对任任意意Rx，有有，xttfxFd)()(则称则称X为连续型随机变量，其中为连续型随机变量，其中f(x)称为称为X的的概率密概率密度函数度函数，简称，简称概率密度概率密度.由定义，根据高等数学变限积分的知识可知，由定义，根据高等数学变限积分的知识可知，连续型随机变量的分布函数是连续函数连续型随机变量的分布函数是连续函数.21概率密度函数概率密度函数 f(x)的基本性质：的基本性质：(1 1)非非负负性性：
13、0)(xf，Rx.(2 2)规规范范性性：.1d)(xxf，xttfxFd)()(这两条性质是判这两条性质是判定一个函数定一个函数 f(x)是否为某随机变是否为某随机变量的概率密度的量的概率密度的充要条件充要条件.10 x)(xf22 概率密度函数概率密度函数f(x)的的其他其他性质：性质：，xttfxFd)()(3 3)对对于于任任意意实实数数ba,有有.d)(baxxfbXaP)()(aFbFbXaP (4 4)若若)(xf连连续续,则则有有 )()(xFxf .密密度度函函数数)(xf与与分分布布函函数数)(xF的的关关系系：，xttfxFd)()(.)()(xFxf 23(5)连续型随
14、机变量取任何一个指定值的概率为连续型随机变量取任何一个指定值的概率为0（规定规定）.即即0.P Xc推论推论 若若 X 是连续型随机变量是连续型随机变量,则则而而 X=c 并非不可能事件并非不可能事件,称称A为为几乎不可能事件几乎不可能事件，B为为几乎必然事件几乎必然事件.可见可见，由由P(A)=0,不能推出不能推出；A 由由P(B)=1,不能推出不能推出.BbXaPbXaP .bXaPbXaP ,0 ,)(其他其他若若bxacxf24例例6 6 如果随机变量如果随机变量 X 的概率密度为的概率密度为 称称 X 服从区间服从区间 a,b上的上的均匀分布均匀分布，记作，记作.,baUX由规范性知
15、，由规范性知，,1)(d abcxcba,1 abc ,0 ,1)(其他其他若若即即bxaabxfUniform Distributionab)(xfx 求常数求常数C C 解：解：25，设设,baUX，对对),(,badc dcabxdXcPd.abcd 这表明，这表明，X 取值于取值于 a,b 内的任一区间的概率内的任一区间的概率与区间的长度成正比，而与该区间的具体位置无与区间的长度成正比，而与该区间的具体位置无关关,这就是均匀分布的概率意义这就是均匀分布的概率意义.,0 ,1)(bxaabxf若若其其他他 26例例7 7 某公共汽车站从上午某公共汽车站从上午7时起，每时起，每15分钟来一
16、班分钟来一班车，即车，即 7:00，7:15，7:30,7:45 等时刻有汽车到达等时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间此站，如果乘客到达此站时间 X 是是7:00 到到 7:30 之间之间的均匀随机变量的均匀随机变量,试求他候车时间少于试求他候车时间少于5 分钟的概率分钟的概率.27解解依题意，依题意，以以7:00为起点为起点 0,以分为单位以分为单位，其他其他,0 300,301)(xxf 为使候车时间少于为使候车时间少于 5 分钟，乘客必须在分钟，乘客必须在 7:10 到到 7:15 之间，或在之间，或在7:25 到到 7:30 之间到达车站之间到达车站.所求概率为：所求概率为：30
17、251510 XPXP,31305305 即乘客候车时间少于即乘客候车时间少于5 分钟的概率是分钟的概率是 1/3.,)30,0(UX例例7 7 某公共汽车站从上午某公共汽车站从上午7时起，每时起，每 15分钟分钟 来一班来一班车，即车，即 7:00，7:15，7:30,7:45 等时刻等时刻 有汽车有汽车 到到 达达此站，如果乘客到达此站时间此站，如果乘客到达此站时间 X 是是7:00 到到 7:30 之间之间的均匀随机变量的均匀随机变量,试求他候车时间少于试求他候车时间少于5 分钟的概率分钟的概率.28,0 ,1)(其其他他若若bxaabxf，设设,baUX求求 X 的概率分布函数的概率分
18、布函数F(x).).例例8 8解解 xttfxFd)()(tabxFbxaxad1)(,时时当当；abax ;0d0)(,xtxFax时时当当.1d1)(,tabxFbxba时时当当 29ab)(xfx 其其他他若若 ,0 ,1)(bxaabxfab1)(xFx1 bxbxaabaxaxxF ,1 ,0 )(若若若若若若30例例9 9解解已知随机变量已知随机变量 X 的概率密度函数为的概率密度函数为 其他其他 ,010 ,)(xxAxf确定系数确定系数 A，并求并求 X 的概率分布函数的概率分布函数F(x).).10dd)(xxAxxf，12 A.21 A;0d)()(,0 xttfxFx时时
19、当当，xttfxFd)()(ttxFxxd21)(,100 时时当当；x 31.1d21)(,110 ttxFx时时当当.111000)(xxxxxF0 x)(xF1 132例例10 10 三个同一种电气元件串联在一个电路中，元三个同一种电气元件串联在一个电路中，元件的寿命是随机变量件的寿命是随机变量(小时小时)，假设其概率密度为假设其概率密度为 ，若若，若若100 0 100100)(2xxxxf且三个元件的工作状态相互独立试求，且三个元件的工作状态相互独立试求，(1)该电路在使用了该电路在使用了150小时后，三个元件都仍能正小时后，三个元件都仍能正常工作的概率常工作的概率；(2)该电路在使
20、用了该电路在使用了300小时后，至少有一个元件损小时后，至少有一个元件损坏的概率坏的概率 33解解 ，若若，若若100 0 100100)(2xxxxf(1)设设kX为为第第 k 个个元元件件的的寿寿命命，则则 150 kkXA(1)该电路在使用了该电路在使用了150小时后，三个元件都仍能正小时后，三个元件都仍能正常工作的概率常工作的概率；表示表示 “在使用了在使用了150个小时后，第个小时后，第k个元个元件仍然能正常工作件仍然能正常工作 ”：)3,2,1(k150)(kkXPAP 1502d100 xx32)(321AAAP 278)(1 3AP34(2)设设)3,2,1(300 kXBkk
21、表表示示第第 k 个个元元件件的的寿寿命命小小于于 300 小小时时，则则 解解 ，若若，若若100 0 100100)(2xxxxf(2)该电路在使用了该电路在使用了300小时后，至少有一个元件损小时后，至少有一个元件损坏的概率坏的概率300)(iiXPBP 3001002d100 xx)(321BBBP ,32)()()(1321BPBPBP 2726 3)321(1 35例例11 11 已知连续型随机变量已知连续型随机变量 X 的分布函数为的分布函数为：,arctan)(xBAxF 解解,02)(BAF,12)(BAF,1,21 BA.)1(1)()(2xxFxf 所所以以,arctan
22、121)(xxF 称具有上述分布的随机变量为服从称具有上述分布的随机变量为服从柯西分布柯西分布.36第二章练习：第二章练习：*一、一、1 16 6；三、；三、1 1、，、，2 2，3 3 习题二（习题二（P77）1 1、2 2、3 3、4 4、9 9、1313、1414、1515、1616、1818、1919、2020、2222、2323、2626、2727、2929、3131、3434、4040、4141、4747、5252、5353、5555、6262、6363、6666、6868、6969、7070、7272 问题：问题：设随机变量设随机变量 X 的分布已知，如何求连续函数的分布已知，如
23、何求连续函数Y=g(X)的分布？的分布？方法：分离散型与连续型研究方法：分离散型与连续型研究.第二节第二节 随机变量函数的分布随机变量函数的分布37X若若Y=gY=g单单调调，则则可可套套公公式式.1jiiYyXxjiiP YyP Xx.离离散散型型：YYFyfy;连连续续型型：由由已已知知，先先求求出出，再再求求38一、离散型随机变量函数的分布一、离散型随机变量函数的分布例例1 1 设随机变量设随机变量 X 的概率分布为的概率分布为解解2 1 013XP5161511513011求求 2 2X+1+1 及及 X 2 2 的概率分布的概率分布.3 1 13712 XP5161511513011
24、第第一一步步：弄弄清清Y Y的的可可能能取取值值；.g X设设Y Y 第第二二步步：对对Y Y的的每每一一取取值值，算算出出其其概概率率。39例例1 1 设随机变量设随机变量 X 的概率分布为的概率分布为解解2 1 013XP求求 2 2X+1+1 及及 X 2 2 的概率分布的概率分布.01492XP51307513011注意：取值相同的概率应相加注意：取值相同的概率应相加.516151151301140如果如果 g(xk)中有一些是相同的中有一些是相同的,把它们作适当并项把它们作适当并项即可即可.一般，若一般，若X是离散型随机变量，是离散型随机变量，X 的概率分布为的概率分布为则则 Y=g
25、(X)的概率分布为的概率分布为XP1x2xkx1p2pkpYP)(1xg)(2xg)(kxg1p2pkp二、连续型随机变量函数的分布二、连续型随机变量函数的分布41 ,YYYyfyFy第第一一步步：算算出出F F第第二二步步：。Yg X不不妨妨设设单单增增，则则有有：11.YxFyP YyP g XyP XgyFgy Yg X 有有反反函函若若（如如数数单单调调），步骤步骤(方法如下方法如下)：1g yYyxfyFy=Fgy 递递增增 11.|x gyggygx 其其中中，11X=fgygy 111,YXfyfgyggy Yg X 对对于于单单减减时时：111.YXfyfgyggy 同同理理可
26、可得得：由由以以上上推推导导可可得得：定理定理2.1，2.2：42 13YXybfyY=aX+faba 特特例例：1111.YXfyfgYg Xygygxgy 单单调调可可导导 121Yx gyfyXfxgx 也也可可表表述述为为：Yg X 若若无无反反函函数数，也也可可用用此此方方法法推推导导。43例例2 2 设随机变量设随机变量 X 具有概率密度具有概率密度 解解 ,0 40 ,8/)(其他其他若若xxxfX求随机变量求随机变量 Y=2X+8 的概率密度的概率密度.设设 X,Y 的分布函数为的分布函数为 FX(x),FY(y),)(yYPyFY 82yXP 28 yXP,)28(yFX于是
27、于是 Y 的密度函数为的密度函数为21)28(d)(d)(yfyyFyfXYY 44 其他其他若若 ,0 4280 ,21)28(81yy.,0 168 ,328 其其他他若若yy21)28(d)(d)(yfyyFyfXYY 其其他他若若 ,0 40 ,8/)(xxxfX45例例3 3解解设设 X 具有概率密度具有概率密度 ,求求Y=X 2 2的概率密度的概率密度.)(xfXPyXy 求导可得求导可得 0,0 0),()(21d)(d)(yyyfyfyyyFyfXXYY若若若若P)(yYyFY P2yX .0)(0 yFyY，时时故故当当 注意到注意到,02 XY，)()(yFyFXX 设设X
28、,Y的分布函数为的分布函数为 FX(x),FY(y),，时时当当0 y略略46,)1,0(NX设设则则 Y=X 2 的密度为的密度为 0 ,0 0,e21)(221yyyyfyY若若若若 x，22e21)(xXxf 其概率密度为其概率密度为 2211.YY 称称服服从从自自由由度度为为 的的分分布布，记记作作：0,0 0),()(21)(yyyfyfyyfXXY若若若若 210 12 9.,.XNX ：结结论论定定理理 2 2 分布简介分布简介47472()Xn：注：注：000e)2(21);(2 122xxxnnxfxnn，称称 X X 服从自由度为服从自由度为 n n 的的 2 2 分布分
29、布.100ed(,)tttx 伽伽马马函函数数 1111012()!s.innn 48例例4 4解解当当0 y时时,0)(yfY；当当0 y时时,)(yFYyYP 2yXP yXyP 0yXP ，yxx0de所以所以)(yfY)(ddyFyY yxxy0dedd,e21yy 综上所述，有综上所述，有 .0 ,0 0 ,e21)(yyyyfyY若若若若设随机变量设随机变量 X 的概率密度为的概率密度为 ,0,0 0,e)(xxxfx若若若若49解解当当0 y或或1 y时时,0)(yfY；当当10 y时时,)(yFYyYP 例例5 5 设随机变量设随机变量 X 的概率密度为的概率密度为 ,00 ,
30、2)(2 其其他他 xxxfsinyXP arcsinarcsin0 XyPyXP,d2d2arcsin2arcsin02 yyxxxxxyo1 150所以所以)(yfY)(ddyFyY 综上所述，有综上所述，有 .,010 ,12)(2 其他其他yyyfY 22211)arcsin(2arcsin2yyy ,122y ,d2d2arcsin2arcsin02 yyxxxx)(yFY51第二章练习：第二章练习：*一、一、1 16 6；三、；三、1 1、，、，2 2，3 3 习题二（习题二（P77）1 1、2 2、3 3、4 4、9 9、1313、1414、1515、1616、1818、1919、2020、2222、2323、2626、2727、2929、3131、3434、4040、4141、4747、5252、5353、5555、6262、6363、6666、6868、6969、7070、7272
