1、2.3 恰当方程与积分因子恰当方程与积分因子 一、恰当方程的定义及条件一、恰当方程的定义及条件则它的全微分为是一个连续可微的函数设,),(yxuu dyyudxxudu如果我们恰好碰见了方程0),(),(dyyyxudxxyxu就可以马上写出它的隐式解.),(cyxu定义1使得若有函数),(yxudyyxNdxyxMyxdu),(),(),(则称微分方程)1(,0),(),(dyyxNdxyxM是恰当方程.),()1(cyxu的通解为此时如0 ydxxdy0)2()3(322dyxyxdxyyx0)()(dyygdxxf是恰当方程.)(xyd)(23xyyxd)()(ydygxdxfd1 恰当
2、方程的定义需考虑的问题(1)方程(1)是否为恰当方程?(2)若(1)是恰当方程,怎样求解?(3)若(1)不是恰当方程,有无可能转化为恰当方程求解?2 方程为恰当方程的充要条件定理1则方程偏导数中连续且有连续的一阶域在一个矩形区和设函数,),(),(RyxNyxM)1(,0),(),(dyyxNdxyxM为恰当方程的充要条件是).2(,),(),(xyxNyyxM)1(,0),(),(dyyxNdxyxM证明“必要性”设(1)是恰当方程,使得则有函数),(yxudyyudxxuyxdu),(dyyxNdxyxM),(),(故有),(yxMxu),(yxNyu从而2,Muyy x 2.Nuxx y
3、 从而有都是连续的和由于,22yxuxyu,22yxuxyu故.),(),(xyxNyyxM“充分性”，xyxNyyxM),(),(若解这个方程得看作参数把出发从,)5(y满足则需构造函数),(yxu)4(,),(),(),(dyyxNdxyxMyxdu即应满足)5(),(yxMxu)6(),(yxNyu).(),(),(ydxyxMyxu,)(的任意可微函数是这里yyyu因此)7(),()(dxyxMyNdyyd,)7(无关的右端与下面证明x的偏导数常等于零即对x事实上),(dxyxMyNx),(dxyxMyxxN)6(),(yxNyu即同时满足使下面选择),6(),(uydyyddxyxM
4、y)(),(N).(),(),(ydxyxMyxu),(dxyxMxyxNyMxN.0积分之得右端的确只含有于是,)7(,y,),()(dydxyxMyNy故dxyxMyxu),(),(,),(dydxyxMyN(8)。yxu为恰当方程从而存在即)1(,),()7(),()(dxyxMyNdyyd注:若(1)为恰当方程,则其通解为为任常数ccdydxyxMyNdxyxM,),(),(二、恰当方程的求解二、恰当方程的求解1 不定积分法.,0),(),(10若是进入下一步是否为恰当方程判断dyyxNdxyxM，ydxyxMyxu)(),(),(20求).(),(30yyxNyu求由例1 验证方程0
5、)sin2()(dyyxdxyex是恰当方程,并求它的通解.解:(,),(,)2sin.xM x yey N x yxy这里(,)1M x yy所以故所给方程是恰当方程.满足由于所求函数),(yxu,yexux,sin2yxyu积分得对将看作常数只要将由偏导数的定义xyeyx,)()(),(ydxyeyxux).(yyxex,),(xyxN).(),(yyxeyxux应满足的方程为得求偏导数关于对)(,),(yyyxuyxdyydxsin2)(即ydyydsin2)(积分后得:,cos2)(yy 故.cos2),(yyxeyxux从而方程的通解为.cos2cyyxex2 分组凑微法 采用“分项
6、组合”的方法,把本身已构成全微分的项分出来,再把余的项凑成全微分.-应熟记一些简单二元函数的全微分.如 xdyydx2yxdyydx2xxdyydx),(xyd),(yxd),(xyd22yxxdyydxxyxdyydx22yxxdyydx|),|(lnyxd),(arctanyxd).(ln21yxyxd例2 求方程0)46()63(3222dyyyxdxxyx的通解.解:2223(,)36,(,)64,M x yxxyN x yx yy这里(,)12M x yxyy所以故所给方程是恰当方程.把方程重新“分项组合”得0)66(432232ydyxdxxydyydxx即0)33(222243d
7、yxdxydydx或写成0)3(2243yxyxd故通解为:。ccyxyx为任常数,32243,),(xyxN例3 验证方程,0)1()sin(cos22dyxydxxyxx是恰当方程,并求它满足初始条件y(0)=2的解.解:),1(),(,sincos),(22xyyxNxyxxyxM这里yyxM),(故所给方程是恰当方程.把方程重新“分项组合”得,0)(sincos22ydyydyxdxxyxdxx即xd2sin212221yxd221yd,0 xy2,),(xyxN,0)(sin2222yyxxd或写成故通解为:,sin2222cyyxx得由初始条件,2)0(y,4c故所求的初值问题的解
8、为:.4sin2222yyxx02121sin212222ydyxdxd3 线积分法定理1充分性的证明也可用如下方法:,),(),(xyxNyyxM由于由数学分析曲线积分与路径无关的定理知:，yxudyyxNdxyxM的全微分为某函数),(),(),(使即有函数),(yxu,),(),(),(dyyxNdxyxMyxdu。为恰当方程从而)1(则取这时,),(,00Ryx),(),(00),(),(),(yxyxdyyxNdxyxMyxuxxdxyxM0),(0,),(0yydyyxN从而(1)的通解为。ccdyyxNdxyxMyyxx为任常数,),(),(000例4 求解方程.0)2(sin)
9、2cos(2dyexxdxxexyyy解:,2sin),(,2cos),(2yyexxyxNxexyyxM由于yyxM),(yxex2cos,),(xyxN故所给方程是恰当方程.,),(),(全平面上连续在由于yxNyxM则故取),0,0(),(00yxyxdyyxNdxxM00),()0,(xxdx022xyydyexx02)2(sin.2)1(sin2yexxyy.,2sin2为任常数ccyexxyy故通解为:.2sin2yexxyy),()0,0(),(),(),(yxdyyxNdxyxMyxu,2sin),(2cos),(2yyexxyxNxexyyxM三、积分因子三、积分因子非恰当方
10、程如何求解?对变量分离方程:,0)()(dxyxfdy不是恰当方程.得方程两边同乘以,)(1y,0)()(1dxxfdyy是恰当方程.xyyxf)(10)(对一阶线性方程:,0)()(dxxQyxPdy不是恰当方程.得方程两边同乘以,)(dxxPe,0)()()()(dxxQyxPedyedxxPdxxP则或左边()()()P x dxP x dxd eyQ x edx,0是恰当方程.可见,对一些非恰当方程,乘上一个因子后,可变为恰当方程.()()()P x dxP x dxep x ex()()()P x dxep x yQ xy1 定义使得如果存在连续可微函数,0),(yx0),(),()
11、,(),(dyyxNyxdxyxMyx.)1(),(,的一个积分因子是方程则为恰当方程yx例5.,0)32()43(),(222并求其通解的一个积分因子是方程验证dyyxxdxxyyyxyx解:对方程有),(),(yxMyx),(),(yxNyx332243yxyx24332yxyx)1(,0),(),(dyyxNdxyxM由于yyxMyx),(),(xyxNyx),(),(222126yxyx,),(后为恰当方程故所给方程乘于yx.),(是其积分因子所以yx后得对方程两边同乘以yxyx2),(0)32()43(2433322dyyxyxdxyxyx把以上方程重新“分项组合”得0)34()23
12、(2433322dyyxdxyxydyxdxyx即03423ydxydx也即0)(3423yxyxd故所给方程的通解为:。ccyxyx为任常数,34232 积分因子的确定:0),(),(),(充要条件是的积分因子的是方程yxNdxyxMyxxyxNyxyyxMyx),(),(),(),(即)(xNyMyMxN)(xNyMyMxN.0),(),(),(,),(更困难方程一般来说比直接解微分要想从以上方程求出程为未知函数的偏微分方上面方程是以dyyxNdxyxMyxyx尽管如此,方程)(xNyMyMxN还是提供了寻找特殊形式积分因子的途径.则的积分因子有关存在仅与如果方程),(),(0),(),(
13、xyxxyxNdxyxM这时方程,0y)(xNyMyMxN变成dxNxNyMd)()(xNyMdxdN即,有关由于上式左侧仅与 x,的函数的微分所以上式右侧只能是x是的积分因子的必要条件赖于有一个仅依从而微分方程xyxNdxyxM0),(),()10(,)(NxNyM此时求得积分因子NxNyMx)()(这里,)()(dxxex.),(无关而与的函数只是yxx.),()10(无关而与的函数只是若yxx,)()(dxxex则。dyyxNdxyxM一个积分因子是方程0),(),(NxNyMx)()(这里dxxd)()(,)x N x yx()(,)(,)()dxN x yN x yxdxx()(,)
14、()x dxN x y ex(,)()N x yxx(,)(,)()()M x yN x yxyx(,)()N x yxx(,)()M x yxy()(,)x M x yy)(,)(,)0 xM x y dxN x y dy故(是方程一个积分因子.3 定理微分方程)1(,0),(),(yxNdxyxM是的积分因子的充要条件有一个仅依赖于x,)(NxNyM的积分因子为这时有关仅与)1(,x,)()(dxxexNxNyMx)()(这里充要条件是的积分因子的有一个仅依赖于微分方程同理y)1(,)(MxNyM的积分因子为这时有关仅与)1(,y,)()(dyyey.)()(MxNyMy这里例6 求微分方
15、程0)()22(2dyeydxyeyxx的通解.解:,),(,22),(2xxeyyxNyeyyxM这里由于yyxM),(xyxN),(xey2,xe故它不是恰当方程,又由于NxNyM)(xxeyey1有关的积分因子故方程有一个仅与无关它与xy,)(xdxxex)()(dxe1xe后得对方程两边同乘以xex)(0)()22(222dyeyedxyeeyxxxx利用恰当方程求解法得通解为.,222为任意常数ccyeeyxx 积分因子是求解积分方程的一个极为重要的方法,绝大多数方程求解都可以通过寻找到一个合适的积分因子来解决,但求微分方程的积分因子十分困难,需要灵活运用各种微分法的技巧和经验.下面
16、通过例子说明一些简单积分因子的求法.1)()(NxNyMx例7 求解方程).0(,)(12yyxyxdxdy解:方程改写为:,22dxyxydyxdx或:,)(212222dxyxyxd易看出,此方程有积分因子,1),(22yxyx:),(乘改写后的方程两边得以yx,2)(2222dxyxyxd即,2)(2222dxyxyxd,22dxyxd故方程的通解为:.,22为任常数ccxyx例8 求解方程.0)(dyxyydx解:,),(,),(xyyxNyyxM这里1),(yyxM,1),(xyxN故方程不是恰当方程,方法1:MxNyM)(因为y2,有关仅与y的积分因子故方程有一个仅依赖于ydyye
17、y)()(dyye2,12y:12乘方程两边得以y.02ydyyxdyydx即.0112dyyxdyydxy故方程的通解为:.lncyyx)(y方法2:方程改写为:,ydyxdyydx容易看出方程左侧有积分因子:21y21x或xy1或221yx 或,有关但方程右侧仅与y由此得为方程的积分因子故取,12y.2ydyyxdyydx故方程的通解为:.lncyyx方法3:方程改写为:dxdy yxyxyxy1这是齐次方程,代入方程得令xyu duxudx即,112dxxduuu,1 uu故通解为:,lnln1cxuu变量还原得原方程的通解为:.lncyyx方法4:方程改写为:,11xydydx分方程为自变量的一阶线性微为未知函数它是以yx,故方程的通解为:)()()(cdyeyQexdyypdyyp)(11cdyeedyydyy)1(cdyyy),ln(cyy即方程的通解为:.lncyyx
