1、3 连续型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率分布一、连续型随机变量概率密度的定义和性质一、连续型随机变量概率密度的定义和性质二、三种重要的连续型分布二、三种重要的连续型分布 1、均匀分布、均匀分布 2、指数分布、指数分布 3、正态分布、正态分布dttfxFx)()(3 连续型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率分布一、连续型随机变量概率密度的定义及性质一、连续型随机变量概率密度的定义及性质1 定义：定义：设设X是一个随机变量，其分布函数为是一个随机变量，其分布函数为F(x).若存在非负函数若存在非负函数 f(x),使对任意实数使对任意实数x，有，有 连续型随机变量的取值充满一个区间，对这
2、连续型随机变量的取值充满一个区间，对这种类型的随机变量不能象离散型的那样用种类型的随机变量不能象离散型的那样用分布律分布律描述，而是用描述，而是用概率密度概率密度描述。描述。1）分布函数）分布函数F(x)是是f(x)的变上限积分函数的变上限积分函数则称则称X为连续型随机变量，为连续型随机变量，f(x)称为称为X的概率密的概率密度函数，简称概率密度。度函数，简称概率密度。2、几点说明、几点说明)()()2xfxF1)()3dxxf4）连续型随机变量连续型随机变量X的值落入区间的值落入区间 a,b 内内dxxfaFbFbXaPba)()()()(的概率值为的概率值为:5）连续型随机变量连续型随机变
3、量X取任一实数的概率值取任一实数的概率值为零为零.)(0)(:为任一实数即aaXP注意注意:5)表明求表明求连续型随机变量连续型随机变量落在一个落在一个区间上的概率值时，不必考虑区间端点的区间上的概率值时，不必考虑区间端点的情况。即情况。即)()()(bXaPbXaPbXaP3、概率密度概率密度f(x)的性质的性质1)()2(0)()1(dxxfxf例例1、已知连续型随机变量已知连续型随机变量X的分布函数为：的分布函数为：1,110,0,0)(2xxxxxF求求(1)P(0.3 X 0.7);(2)X的概率密度的概率密度f(x).)7.03.0()1(XP解：4.0)3.0()7.0(FF)(
4、)()2(xFxf其它,010,2xx例例2、已知连续型随机变量已知连续型随机变量X的分布函数为：的分布函数为：1,111,21arcsin111,0)(2xxxxxxxF求求X的概率密度的概率密度f(x).)()(:xFxf解其他,011,122xx例例3、设连续型随机变量设连续型随机变量X的概率密度为：的概率密度为：其他,010,)(xcxx求求:(1)常数常数c;(2)P(0.3 X 0.7);(3)求分布函数求分布函数F(x)并作图并作图1)()1(dxx由解：2 c101cxdx)7.03.0()2(XP7.03.0)(dxx7.03.02xdx4.07.03.02 xxdttxF)
5、()()3(xdttxFx)()(0时，当00 xdtxdttxFx)()(1时，当xdttxFx)()(10时，当20020 xtdtdtx10201100 xdttdtdt1,110,0,0)(2xxxxxF即例例4、设连续型随机变量设连续型随机变量X的概率密度为：的概率密度为：xcexfx,)(求求:(1)常数常数c;(2)P(0 X 1);(3)求分布函数求分布函数F(x)1)()1(dxxf由解：21 c012dxcex1dxcex)10()2(XPxdttfxF)()()3(xdttfxFx)()(0时，当xtdte211021dxex101)1(2121edxexxxtedte2
6、121xdttfxFx)()(0时，当0,2110,21)(xexexFxxxe211xttdtedte002121xttdtedte0021211、均匀分布、均匀分布定义：定义：若随机变量若随机变量X的概率密度为的概率密度为其它01)(bxaabxf则称则称X在区间在区间（a，b）上服从均匀分布）上服从均匀分布记为记为 XU(a,b)二、几种重要连续型随机变量的分布二、几种重要连续型随机变量的分布bxbxaabaxaxxF,1,0)(均匀分布的分布函数为均匀分布的分布函数为 ：均匀分布的含义是：均匀分布的含义是：随机变量随机变量X落在区间落在区间(a,b)内任意等长度子区间内的概率值相等。内
7、任意等长度子区间内的概率值相等。例例1 1 某站点从某站点从8 8点到点到1010点有一班车随机到达点有一班车随机到达,一一乘客乘客9 9点到达车站。问他能坐上该班车的概率。点到达车站。问他能坐上该班车的概率。)9(XP9)(dxxf乘客乘客9点到达能坐上班车的概率为点到达能坐上班车的概率为:2121109dx解：设解：设X X班车到达车站的时刻，班车到达车站的时刻，则则XU（8，10）,故故例例2 2 设随机变量设随机变量X X在区间在区间2,52,5上服从均匀分上服从均匀分布。现对布。现对X X进行进行3 3次独立观测，试求至少有两次次独立观测，试求至少有两次观测值大于观测值大于3 3的概
8、率。的概率。)3(XPp（2）设观测值大于）设观测值大于3的概率为的概率为p,则则323153dx53)(dxxf解解:(1)因为因为XU（2，5）,故故X的概率密度为的概率密度为其他,052,31)(xxf(3)设设Y为为3次独立观测中观测值大于次独立观测中观测值大于3的次数，则的次数，则)2(YP)32,3(bY（4）至少有两次观测值大于）至少有两次观测值大于3的概率为：的概率为：kkkkC3323)31()32(2720)32(31)32(333223CC.01),10,0(:32有实根的概率试求方程设例 XxxUX04:2X有实根解其他,0100,101)(xxf”或“22XX由题意由
9、题意X的概率密度为：的概率密度为：)2()2(:XPXP所求概率为541010102dx其分布函数其分布函数2 2、指数分布、指数分布定义定义 若随机变量若随机变量X的概率密度为的概率密度为则称则称X X服从参数为服从参数为 的指数分布的指数分布.记作：记作：X XE(E()注注:指数分布常用于描述寿命问题、随机系统的服务时间等指数分布常用于描述寿命问题、随机系统的服务时间等.为常数）0(0,00,)(xxexfx0,00,1)(xxexFx例例1：设随机变量设随机变量X服从参数为服从参数为 的指数分布，的指数分布，的分布函数为解 X:)(cXP，试确定常数，试确定常数c.21)(cXP且其他
10、,00,1)(xexFx)(1cXP)1(1ce)(1cF212ln21cec例例2:设某顾客在某银行窗口等待服务的时间设某顾客在某银行窗口等待服务的时间X（以分钟计）服从指数分布，其概率密度为：（以分钟计）服从指数分布，其概率密度为：其他,00,51)(51xexfx该顾客的习惯是，等待时间超过该顾客的习惯是，等待时间超过10分钟便离开，分钟便离开，现知他一个月到银行现知他一个月到银行5次，求他未受到服务的次次，求他未受到服务的次数不少于数不少于1次的概率。次的概率。)()1(:xFX的分布函数解:)2(率为该顾客未受到服务的概(3)设设Y为他为他5次去银行中未受到服务的次数，则次去银行中未
11、受到服务的次数，则)1(YP其他,00,151xex)10(XPp)10(1XP2)10(1eF(4)该顾客未受到服务的次数不少于该顾客未受到服务的次数不少于1的概率为：的概率为：)e5,b(Y-2)0(1YP52)1(1e5167.05167.0)1()()1(:102101210kkkkeeCXPor3、正态分布、正态分布 (1)一般正态分布一般正态分布:),(2NX(2)标准正态分布标准正态分布:)1,0(NX(5)标准正态分布的上标准正态分布的上分位点分位点(3)查表求标准正态分布的概率值查表求标准正态分布的概率值(4)一般正态分布的标准化一般正态分布的标准化(1)一般正态分布一般正态
12、分布:为常数0,21)(222)(xexf则称则称X X服从参数为服从参数为，的正态分布，记作的正态分布，记作:1)定义定义 若连续型随机变量若连续型随机变量X的概率密度为的概率密度为),(2NX),(2NX2)2)概率密度概率密度f(xf(x)的图形与性的图形与性质质定义域为定义域为:（-，+）对称性：关于对称性：关于x=x=对称对称单调性：在区间（单调性：在区间（-，）单调上升，）单调上升，y -+21x在区间（在区间（，+）单调下降；）单调下降；)21,(),(21eyx凹凸性：凸弧（凹凸性：凸弧（-，+）拐点：拐点：渐近线：渐近线：y=0y=0极值：极值：21）（最大f凹弧（凹弧（-，
13、-）（+，+）2 1212213）一般正态分布的分布函数）一般正态分布的分布函数dtexFtx222)(21)(F(x)121 x 定义定义 ：N（0，1）分布称为标准正态分布，）分布称为标准正态分布，其概率密度为其概率密度为:xexx,21)(22(2)标准正态分布标准正态分布:XN(0,1):分布函数为dtextx2221)()(1)(xxxx标准正态分布有表可查标准正态分布有表可查P254)()(xXPxXP标准正态分布性质：标准正态分布性质：由图形对称性由图形对称性)(1)(xx(3)查表求标准正态分布的概率值查表求标准正态分布的概率值:),1,0(试求设NX)96.1(:XP解请问请
14、问:如果如果XN(1,4),如何求如何求P(X1.96)=F(1.96)呢呢？)96.1()2();96.1()1(XPXP)96.1(9750.0)96.1(XP)96.1(1XP0250.0)96.1(1这就是一般正态分布的标准化问题这就是一般正态分布的标准化问题例例1:)1,0(,),(2NXNX则定理：若XZ证明：设则则Z的分布函数为的分布函数为:）（xZPxF)(）（xXPxXP（3）一般正态分布的标准化）一般正态分布的标准化)(xxtdte222)(21xzZzdet2221令)1,0(NX即：xzxtdzedte2?2)(2222121说明：说明：zt令tzxt时，当dzdt则;
15、zt时，当;x重要结论：)()1(xXPxF)()()2(1221xFxFxXxP)()(12xx)1,0(),(2NXNX则若)(xXP)(x例例2 设设XN（1，4），求），求P(00.99,(2.33)=0.99010.99,所以所以)(184 cmh”“hX 99.0)(hXP99.0)6170(h33.26170h例例4某建筑材料的强度某建筑材料的强度XN(180,102).一购货商在一购货商在一大批材料中任取了一大批材料中任取了10件，声称有多余件，声称有多余2件的材料件的材料强度低于强度低于160便拒绝接受。问这批材料被接受的概便拒绝接受。问这批材料被接受的概率是多少？率是多少？
16、解：材料强度低于解：材料强度低于160的概率为：的概率为：)160(XP 设设Y为为10件产品中强度低于件产品中强度低于160的材料件数，的材料件数，则则Yb(10,0.0228)0228.0)2()10180160(产品被接受的概率为：产品被接受的概率为：)2(XP)2(1XPp产品不被接受的概率为：产品不被接受的概率为：10310109772.00228.0kkkkC)2.00228.010(!2.032.0kkke0011485.0998.0)10()(zXP.分位点为标准正态分布的上的点z（5）标准正态分布的上）标准正态分布的上 分位点分位点 1）定义：）定义：设设XN（0，1），称满
17、足），称满足z阴影部分面阴影部分面积为积为)(zXP解：)(zXP）（z11)(z即：2）标准正态分布上）标准正态分布上 分位点分位点 的求法的求法)(1zXP）（z1001.0005.005.0)3()2()1(zzz例例5：求求95.005.01)(05.0 z解：57.2005.0z同理得645.105.0z查表得10.3001.0z小结：小结：1）一般正态分布：）一般正态分布：XN(,2 2)的表达式与分布函数概率密度)()(xx2)标准正态分布：标准正态分布：XN(0,1)的表达式与分布函数概率密度)()(xFxf3)标准正态分布上标准正态分布上 分位点分位点 的定义和求法的定义和求法小节小节3 连续型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率分布一、连续型随机变量概率密度的定义和性质一、连续型随机变量概率密度的定义和性质二、三种重要的连续型分布二、三种重要的连续型分布 1、均匀分布、均匀分布 2、指数分布、指数分布 3、正态分布、正态分布
