1、2.5指数与指数函数2014高考会这样考1.考查指数函数的求值、指数函数的图象和性质；2.讨论与指数函数有关的复合函数的性质；3.将指数函数与对数函数、抽象函数相结合，综合考查指数函数知识的应用复习备考要这样做1.重视指数的运算，熟练的运算能力是高考得分的保证；2.掌握两种情况下指数函数的图象和性质，在解题中要善于分析，灵活使用；3.对有关的复合函数要搞清函数的结构1 根式的性质(1)()na.(2)当n为奇数时a.当n为偶数时2 有理数指数幂(1)幂的有关概念正整数指数幂：anaa (nN*)零指数幂：a01(a0)负整数指数幂：ap(a0，pN*)正分数指数幂：a(a0，m、nN*，且n1
2、)负分数指数幂：a (a0，m、nN*，且n1)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义(2)有理数指数幂的性质arasars(a0，r、sQ)；(ar)sars(a0，r、sQ)；(ab)rarbr(a0，b0，rQ)3 指数函数的图象与性质yaxa10a0时，y1；x0时，0y0时，0y1；x1(6)在(，)上是增函数(7)在(，)上是减函数数a按：0a1进行分类讨论难点正本疑点清源1 根式与分数指数幂的实质是相同的，通常利用分数指数幂的意义把根式的运算转化为幂的运算，从而可以简化计算过程2 指数函数的单调性是底数a的大小决定的，因此解题时通常对底数a按：0a1进行分类讨论3 比较
3、指数式的大小方法：利用指数函数单调性、利用中间值1 化简(2)6(1)0的值为_答案7解析(2)6(1)0(26)12317.2 若函数y(a21)x在(，)上为减函数，则实数a的取值范围是_答案(，1)(1，)解析由y(a21)x在(，)上为减函数，得0a211，1a22，即1a或a0，且a1)的定义域和值域都是0,2，则实数a_.答案解析当a1时，x0,2，y0，a21因定义域和值域一致，故a212，即a.当0a0，且a1)的图象可能是 ()答案D解析当a1时，yax为增函数，且在y轴上的截距为011，排除A，B.当0a1时，yax为减函数，且在y轴上的截距为10，且a1)，f(2)4，
4、()Af(2)f(1) Bf(1)f(2)Cf(1)f(2) Df(2)f(2)答案A解析f(x)a|x|(a0，且a1)，f(2)4，a24，a，f(x)|x|2|x|，f(2)f(1)，故选A.题型一指数幂的运算例1(1)计算：(12422)27162(8)1；(2)已知xx3，求的值思维启迪：(1)本题是求指数幂的值，按指数幂的运算律运算即可；(2)注意x2x2、xx与xx之间的关系解(1)(12422)27162(8)1(11)2332428(1)11323223118811.(2)xx3，(xx)29，x2x19，xx17，(xx1)249，x2x247，又xx(xx)(x1x1)3
5、(71)18，3.探究提高根式运算或根式与指数式混合运算时，将根式化为指数式计算较为方便，对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，如果有特殊要求，要根据要求写出结果但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又有负指数 计算下列各式的值：(1)(0.002)10(2)1()0；(2)(1)0；(3) (a0，b0)解(1)原式150010(2)11010201.(2)原式21(2)1(2)1.(3)原式a1b12ab1.题型二指数函数的图象、性质的应用例2(1)函数f(x)axb的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是 ()Aa1，b1，b0C0a0D0a1，b0(2)求函
6、数f(x)3的定义域、值域及其单调区间思维启迪：对于和指数函数的图象、性质有关的问题，可以通过探求已知函数和指数函数的关系入手答案(1)D解析由f(x)axb的图象可以观察出函数f(x)axb在定义域上单调递减，所以0a1.函数f(x)axb的图象是在f(x)ax的基础上向左平移得到的，所以b1，由复合函数的单调性，可知f(x)3在(，1上是减函数，在4，)上是增函数探究提高(1)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象(2)对复合函数的性质进行讨论时，要搞清复合而成的两个函数，然后对其中的参数进行讨论 (1)函数y的图象大致为 ()答案A解析
7、y1，当x0时，e2x10，且随着x的增大而增大，故y11且随着x的增大而减小，即函数y在(0，)上恒大于1且单调递减又函数y是奇函数，故只有A正确(2)若函数f(x)e(x)2 (e是自然对数的底数)的最大值是m，且f(x)是偶函数，则m_.答案1解析由于f(x)是偶函数，所以f(x)f(x)，即e(x)2e(x)2，(x)2(x)2，0，f(x)ex2.又yex是R上的增函数，而x20，f(x)的最大值为e01m，m1.题型三指数函数的综合应用例3(1)k为何值时，方程|3x1|k无解？有一解？有两解？(2)已知定义在R上的函数f(x)2x.若f(x)，求x的值；若2tf(2t)mf(t)
8、0对于t1,2恒成立，求实数m的取值范围思维启迪：方程的解的问题可转为函数图象的交点问题；恒成立可以通过分离参数求最值或值域来解决解(1)函数y|3x1|的图象是由函数y3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示当k0时，直线yk与函数y|3x1|的图象无交点，即方程无解；当k0或k1时，直线yk与函数y|3x1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解；当0k1时，直线yk与函数y|3x1|的图象有两个不同的交点，所以方程有两解(2)当x0，x1.当t1,2时，2tm0，即m(22t1)(24t1)，22t10，m(22t1)，t1,2，(22
9、t1)17，5，故m的取值范围是5，)探究提高对指数函数的图象进行变换是利用图象的前提，方程f(x)g(x)解的个数即为函数yf(x)和yg(x)图象交点的个数；复合函数问题的关键是通过换元得到两个新的函数，搞清复合函数的结构 已知f(x)(axax) (a0且a1)(1)判断f(x)的奇偶性；(2)讨论f(x)的单调性；(3)当x1,1时，f(x)b恒成立，求b的取值范围解(1)因为函数的定义域为R，所以关于原点对称又因为f(x)(axax)f(x)，所以f(x)为奇函数(2)当a1时，a210，yax为增函数，yax为减函数，从而yaxax为增函数，所以f(x)为增函数，当0a1时，a21
10、0，且a1时，f(x)在定义域内单调递增(3)由(2)知f(x)在R上是增函数，所以在区间1,1上为增函数，所以f(1)f(x)f(1)，所以f(x)minf(1)(a1a)1，所以要使f(x)b在1,1上恒成立，则只需b1，故b的取值范围是(，13.利用方程思想和转化思想求参数范围典例：(14分)已知定义域为R的函数f(x)是奇函数(1)求a，b的值；(2)若对任意的tR，不等式f(t22t)f(2t2k)0恒成立，求k的取值范围审题视角(1)f(x)是定义在R上的奇函数，要求参数值，可考虑利用奇函数的性质，构建方程：f(0)0，f(1)f(1)(2)可考虑将t22t,2t2k直接代入解析式
11、化简，转化成关于t的一元二次不等式也可考虑先判断f(x)的单调性，由单调性直接转化为关于t的一元二次不等式规范解答解(1)因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)0，即0，解得b1，从而有f(x).4分又由f(1)f(1)知，解得a2.7分(2)方法一由(1)知f(x)，又由题设条件得0，即(22t2k12)(2t22t1)(2t22t12)(22t2k1)1，因底数21，故3t22tk0.12分上式对一切tR均成立，从而判别式412k0，解得k.14分方法二由(1)知f(x)，由上式易知f(x)在R上为减函数，又因为f(x)是奇函数，从而不等式f(t22t)f(2t2k)0等价于f(t22t
12、)2t2k.12分即对一切tR有3t22tk0，从而412k0，解得k.14分温馨提醒(1)根据f(x)的奇偶性，构建方程求参数体现了方程的思想；在构建方程时，利用了特殊值的方法，在这里要注意：有时利用两个特殊值确定的参数，并不能保证对所有的x都成立所以还要注意检验(2)数学解题的核心是转化，本题的关键是将f(t22t)f(2t2k)2t2k恒成立这个转化易出错其次，不等式t22t2t2k恒成立，即对一切tR有3t22tk0，也可以这样做：k3t22t，tR，只要k比3t22t的最小值小即可，而3t22t的最小值为，所以k0，a1)的性质和a的取值有关，一定要分清a1与0a1.3对和复合函数有
13、关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成失误与防范1恒成立问题一般与函数最值有关，要与方程有解区别开来2复合函数的问题，一定要注意函数的定义域3对可化为a2xbaxc0或a2xbaxc0 (0)的指数方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围.(时间：60分钟)A组专项基础训练一、选择题(每小题5分，共20分)1 设2a5bm，且2，则m等于 ()A. B10C20 D100答案A解析2a5bm，alog2m，blog5m，logm2logm5logm102.m.2 函数yx22x的值域是 ()AR B(0，)C(2，) D.答案D解析x22x(x1)211，x22
14、x，故选D.3 函数y(0a0时，函数是一个指数函数，因为0a1，所以函数在(0，)上是减函数；当x0时，函数图象与指数函数yax(x0,0a0，a1)，满足f(1)，则f(x)的单调递减区间是 ()A(，2 B2，)C2，) D(，2答案B解析由f(1)，得a2，a (a舍去)，即f(x)|2x4|.由于y|2x4|在(，2上递减，在2，)上递增，所以f(x)在(，2上递增，在2，)上递减故选B.二、填空题(每小题5分，共15分)5 已知a，函数f(x)ax，若实数m、n满足f(m)f(n)，则m、n的大小关系为_答案mn解析0af(n)，m0，a1)在1,2中的最大值比最小值大，则a的值为
15、_答案或解析当0a1时，a2a，a或a0(舍去)综上所述，a或.7. (2012洛阳调研)已知函数f(x)axb (a0且a1)的图象如图所示，则ab的值是_答案2解析，ab2.三、解答题(共25分)8 (12分)设函数f(x)2|x1|x1|，求使f(x)2的x的取值范围解y2x是增函数，f(x)2等价于|x1|x1|.(1)当x1时，|x1|x1|2，式恒成立(2)当1x1时，|x1|x1|2x，式化为2x，即x0且a1，函数ya2x2ax1在1,1上的最大值是14，求a的值解令tax (a0且a1)，则原函数化为y(t1)22 (t0)当0a0，所以a.当a1时，x1,1，tax，此时f
16、(t)在上是增函数所以f(t)maxf(a)(a1)2214，解得a3(a5舍去)综上得a或3.B组专项能力提升一、选择题(每小题5分，共15分)1 设函数f(x)若F(x)f(x)x，xR，则F(x)的值域为()A(，1 B2，)C(，12，) D(，1)(2，)答案C解析当x0时，F(x)x2；当x0时，F(x)exx，根据指数函数与一次函数的单调性，F(x)是单调递增函数，F(x)F(0)1，所以F(x)的值域为(，12，)2 (2012山东)设函数f(x)，g(x)ax2bx(a，bR，a0)若yf(x)的图象与yg(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)
17、，则下列判断正确的是()A当a0时，x1x20B当a0，y1y20时，x1x20，y1y20时，x1x20，y1y20答案B解析由题意知函数f(x)，g(x)ax2bx(a，bR，a0)的图象有且仅有两个公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，等价于方程ax2bx(a，bR，a0)有两个不同的根x1，x2，即方程ax3bx210有两个不同非零实根x1，x2，因而可设ax3bx21a(xx1)2(xx2)，即ax3bx21a(x32x1x2xxx2x22x1x2xx2x)，ba(2x1x2)，x2x1x20，ax2x1，x12x20，ax20，当a0时，x20，x1x2x20，x10.当a0时
18、，x20，x10，y1y21，f(x)的值域是.yf(x)的值域是0，1二、填空题(每小题4分，共12分)4 函数f(x)ax22x3m (a1)恒过点(1,10)，则m_.答案9解析f(x)ax22x3m在x22x30时过定点(1，1m)或(3,1m)，1m10，解得m9.5 若函数f(x)axxa(a0，且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是_答案(1，)解析令axxa0即axxa，若0a1，yax与yxa的图象如图所示6 关于x的方程x有负数根，则实数a的取值范围为_答案解析由题意，得x0，所以0x1，从而01，解得a.三、解答题(13分)7 设f(x)是定义在R上的函数(1)f(x)
19、可能是奇函数吗？(2)若f(x)是偶函数，试研究其在(0，)上的单调性解(1)假设f(x)是奇函数，由于定义域为R，f(x)f(x)，即，整理得(exex)0，即a0，即a210显然无解f(x)不可能是奇函数(2)因为f(x)是偶函数，所以f(x)f(x)，即，整理得(exex)0，又对任意xR都成立，有a0，得a1. 当a1时，f(x)exex，以下讨论其单调性，任取x1，x2(0，)且x1x2，则f(x1)f(x2)ex1ex1ex2ex2，x1，x2(0，)且x11，ex1ex20，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)，当a1时，在(0，)为增函数，同理，当a1时，f(x)在(0，)为减函数
