1、.高中数学高考总复习函数的奇偶性习题及详解一、选择题1(文)下列函数，在其定义域既是奇函数又是增函数的是()Ayxx3(xR)By3x(xR)Cylog2x(x0，xR)Dy(xR，x0)答案A解析首先函数为奇函数、定义域应关于原点对称，排除C，若x0在定义域，则应有f(0)0，排除B；又函数在定义域单调递增，排除D，故选A.(理)下列函数中既是奇函数，又在区间1,1上单调递减的是()Af(x)sinx Bf(x)|x1|Cf(x)(axax) Df(x)ln答案D解析ysinx与yln为奇函数，而y(axax)为偶函数，y|x1|是非奇非偶函数ysinx在1,1上为增函数故选D.2(2010
2、理，4)若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)1，f(2)2，则f(3)f(4)()A1 B1C2 D2答案A解析f(3)f(4)f(2)f(1)f(2)f(1)211，故选A.3(2010)已知f(x)与g(x)分别是定义在R上奇函数与偶函数，若f(x)g(x)log2(x2x2)，则f(1)等于()A B.C1 D.答案B解析由条件知，f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，f(1).4(文)(2010北京崇文区)已知f(x)是定义在R上的偶函数，并满足f(x2)，当1x2时，f(x)x2，则f(6.5)()A4.5 B4.5C0.5 D0.5答案D解析f(x2)，f(x4)f(x2
3、)2f(x)，f(x)周期为4，f(6.5)f(6.58)f(1.5)f(1.5)1.520.5.(理)(2010日照)已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且f(x2)f(x)，若f(x)在1,0上是减函数，则f(x)在2,3上是()A增函数 B减函数C先增后减的函数 D先减后增的函数答案A解析由f(x2)f(x)得出周期T2，f(x)在1,0上为减函数，又f(x)为偶函数，f(x)在0,1上为增函数，从而f(x)在2,3上为增函数5(2010)已知函数f(x)是定义在区间a，a(a0)上的奇函数，且存在最大值与最小值若g(x)f(x)2，则g(x)的最大值与最小值之和为()A0 B2C4
4、D不能确定答案C解析f(x)是定义在a，a上的奇函数，f(x)的最大值与最小值之和为0，又g(x)f(x)2是将f(x)的图象向上平移2个单位得到的，故g(x)的最大值与最小值比f(x)的最大值与最小值都大2，故其和为4.6定义两种运算：ab，ab|ab|，则函数f(x)()A是偶函数B是奇函数C既是奇函数又是偶函数D既不是奇函数又不是偶函数答案B解析f(x)，x24，2x2，又x0，x2,0)(0,2则f(x)，f(x)f(x)0，故选B.7已知f(x)是定义在(，)上的偶函数，且在(，0上是增函数，设af(log47)，bf(log3)，cf(0.20.6)，则a、b、c的大小关系是()A
5、cba BbcaCbac Dab1，|log3|log23log2，00.20.6|log47|0.20.6|.又f(x)在(，0上是增函数，且f(x)为偶函数，f(x)在0，)上是减函数bac.故选C.8已知函数f(x)满足：f(1)2，f(x1)，则f(2011)等于()A2B3CD.答案C解析由条件知，f(2)3，f(3)，f(4)，f(5)f(1)2，故f(x4)f(x)(xN*)f(x)的周期为4，故f(2011)f(3).点评严格推证如下：f(x2)，f(x4)f(x2)2f(x)即f(x)周期为4.故f(4kx)f(x)，(xN*，kN*)，9设f(x)lg是奇函数，则使f(x)
6、0的x的取值围是()A(1,0) B(0,1)C(，0) D(，0)(1，)答案A解析f(x)为奇函数，f(0)0，a1.f(x)lg，由f(x)0得01，1x0得，2x2，排除D，当x时，y1，排除B，故选C.二、填空题11(文)已知f(x)，则ff的值为_答案2解析ff1f2sin2，fsinsin，原式2.(理)设f(x)是定义在R上的奇函数，且yf(x)的图象关于直线x对称，则f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)_.答案0解析f(x)的图象关于直线x对称，ff，对任意xR都成立，f(x)f(1x)，又f(x)为奇函数，f(x)f(x)f(1x)f(1x)f(2x)，周期T2f(0)
7、f(2)f(4)0又f(1)与f(0)关于x对称f(1)0f(3)f(5)0填0.12(2010中学)已知函数yf(x)是偶函数，yg(x)是奇函数，它们的定义域都是，且它们在x0，上的图象如图所示，则不等式0的解集是_答案解析依据偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称，先补全f(x)、g(x)的图象，0，或，观察两函数的图象，其中一个在x轴上方，一个在x轴下方的，即满足要求，x0或x.13(文)若f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x2对称，且当x(2,2)时，f(x)x21.则f(5)_.答案0解析由题意知f(5)f(5)f(23)f(23)f(1)(1)210.(理)
8、已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当1x1时，f(x)a，当x1时，f(x)(xb)2，则f(3)f(5)_.答案12解析f(x)是R上的奇函数，f(0)0，1x1时，f(x)a，a0.f(1)(1b)20，b1.当x1时，x1，f(x)(x1)2(x1)2，f(x)为奇函数，f(x)(x1)2，f(x)f(3)f(5)(31)2(51)212.点评求得b1后，可直接由奇函数的性质得f(3)f(5)f(3)f(5)(31)2(51)212.14(文)(2010枣庄模拟)若f(x)lg(aR)是奇函数，则a_.答案1解析f(x)lg是奇函数，f(x)f(x)0恒成立，即lglglg0.1，(
9、a24a3)x2(a21)0，上式对定义的任意x都成立，a1.点评可以先将真数通分，再利用f(x)f(x)恒成立求解，运算过程稍简单些如果利用奇函数定义域的特点考虑，则问题变得比较简单f(x)lg为奇函数，显然x1不在f(x)的定义域，故x1也不在f(x)的定义域，令x1，得a1.故平时解题中要多思少算，培养观察、分析、捕捉信息的能力(理)(2010质检)已知函数f(x)lg为奇函数，则使不等式f(x)1成立的x的取值围是_答案x2解析f(x)为奇函数，f(x)f(x)0恒成立，lglglg0，1，a0，0，a4，f(x)lglg，由f(x)1得，lg1，00得，2x2，由得，x，x0，当x(
10、1，)时，g(x)0，g(x)在x1处取得极大值，在x处取得极小值又g(1)2，g()，且方程g(x)b0即g(x)b有三个不同的实数解，b2，解得2b0且a1)是定义在(，)上的奇函数(1)求a的值；(2)求函数f(x)的值域；(3)当x(0,1时，tf(x)2x2恒成立，求实数t的取值围解析(1)f(x)是定义在(，)上的奇函数，即f(x)f(x)恒成立，f(0)0.即10，解得a2.(2)y，2x，由2x0知0，1y1，即f(x)的值域为(1,1)(3)不等式tf(x)2x2即为2x2.即：(2x)2(t1)2xt20.设2xu，x(0,1，u(1,2u(1,2时u2(t1)ut20恒成
11、立，解得t0.(理)设函数f(x)ax2bxc(a、b、c为实数，且a0)，F(x).(1)若f(1)0，曲线yf(x)通过点(0,2a3)，且在点(1，f(1)处的切线垂直于y轴，求F(x)的表达式；(2)在(1)的条件下，当x1,1时，g(x)kxf(x)是单调函数，求实数k的取值围；(3)设mn0，a0，且f(x)为偶函数，证明F(m)F(n)0.解析(1)因为f(x)ax2bxc，所以f (x)2axb.又曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于y轴，故f (1)0，即2ab0，因此b2a.因为f(1)0，所以bac.又因为曲线yf(x)通过点(0,2a3)，所以c2a3.解由，组成的方程组得，a3，b6，c3.从而f(x)3x26x3.所以F(x).(2)由(1)知f(x)3x26x3，所以g(x)kxf(x)3x2(k6)x3.由g(x)在1,1上是单调函数知：1或1，得k12或k0.(3)因为f(x)是偶函数，可知b0.因此f(x)ax2c.又因为mn0，可知m，n异号若m0，则n0.若m0.同理可得F(m)F(n)0.综上可知F(m)F(n)0. . . .
