1、1.导数的运算及几何意义(1)函数f(x)在xx0处的导数f(x0) ，f(x) .(2)导数的几何意义：曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线斜率等于f(x0)，其切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0).(3)函数的求导公式：(C)0，(xn)nxn1，(sin x)cos x，(cos x)sin x，(ax)axln a，(ex)ex，(logax)，(ln x).(4)导数的四则运算法则：f(x)g(x)f(x)g(x)，f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)，(g(x)0).2.导数的应用(1)函数的单调性：在区间(a，b)内，f(x)0，则f(x)递增；f(x)
2、0，则f(x)递减.(2)函数的极值：f(x0)0，在x0附近，从左到右，f(x)的符号由正到负，f(x0)为极大值；由负到正，f(x0)为极小值.(3)函数的最值：闭区间a，b上图象连续不断的函数yf(x)，最值在极值点或区间端点处取得，最大的为最大值，最小的为最小值.(4)生活中的优化问题(导数的实际应用).3.定积分概念、运算和应用题型一解决与切线有关的问题例1已知函数f(x)exax(a为常数)的图象与y轴交于点A，曲线yf(x)在点A处的切线斜率为1.(1)求a的值及函数f(x)的极值；(2)证明：当x0时，x2ex.(1)解由f(x)exax，得f(x)exa.又f(0)1a1，得
3、a2.所以f(x)ex2x，f(x)ex2.令f(x)0，得xln 2.当xln 2时，f(x)ln 2时，f(x)0，f(x)单调递增.所以当xln 2时，f(x)取得极小值，且极小值f(ln 2)eln 22ln 22ln 4，f(x)无极大值.(2)证明令g(x)exx2，则g(x)ex2x.由(1)得g(x)f(x)f(ln 2)0.故g(x)在R上单调递增，又g(0)10，因此，当x0时，g(x)g(0)0，即x2ex.反思与感悟高考中求切线方程问题主要有以下两种类型：类型1求“在”曲线yf(x)上一点P(x0，y0)的切线方程(高考常考类型).则点P(x0，y0)为切点，当切线斜率
4、存在(即函数f(x)在x0处可导)时，切线斜率为kf(x0)，有唯一的一条切线，对应的切线方程为yy0f(x0)(xx0)；当切线斜率不存在时，对应的切线方程为xx0.类型2求“过”曲线yf(x)上一点P(x0，y0)的切线方程，则切线经过点P，点P可以是切点，也可以不是切点.这样的直线可能有多条，解决问题的关键是设切点，利用“待定切点法”，即：设点A(x1，y1)是曲线yf(x)上的一点，则以A为切点的切线方程为yy1f(x1)(xx1)；根据题意知点P(x0，y0)在切线上，点A(x1，y1)在曲线yf(x)上，得到方程组求出切点A(x1，y1)，代入方程yy1f(x1)(xx1)，化简即
5、得所求的切线方程.跟踪训练1已知函数f(x)x3x16.(1)求曲线yf(x)在点(2，6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线yf(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标.解(1)f(2)232166，点(2，6)在曲线上.f(x)(x3x16)3x21，在点(2，6)处的切线的斜率为kf(2)322113，切线的方程为y13(x2)(6)，即y13x32.(2)设切点坐标为(x0，y0)，则直线l的斜率为f(x0)3x1，直线l的方程为y(3x1)(xx0)xx016.又直线l过点(0,0)，0(3x1)(x0)xx016，整理得x8，x02，y0(2)3(2)1626，k3(2)
6、2113，直线l的方程为y13x，切点坐标为(2，26).题型二利用导数求参数取值范围问题例2设函数f(x)x2exxex.(1)求f(x)的单调区间；(2)若当x2,2时，不等式f(x)m恒成立，求实数m的取值范围.解(1)函数f(x)的定义域为(，)，f(x)xex(exxex)x(1ex).若x0，则1ex0，所以f(x)0；若x0，则1ex0，所以f(x)0；若x0，则f(x)0.f(x)在(，)上为减函数，即f(x)的单调减区间为(，).(2)由(1)知f(x)在2,2上单调递减，f(x)minf(2)2e2.当m2e2时，不等式f(x)m恒成立.反思与感悟利用导数确定参数的取值范围
7、时，要充分利用f(x)与其导数f(x)之间的对应关系，然后结合函数的单调性等知识求解.求解参数范围的步骤为：(1)对含参数的函数f(x)求导，得到f(x)；(2)若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则f(x)0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则f(x)0恒成立，得到关于参数的不等式，解出参数范围；(3)验证参数范围中取等号时，是否恒有f(x)0.若f(x)0恒成立，则函数f(x)在(a，b)上为常函数，舍去此参数值.跟踪训练2已知函数f(x)ax1，其中aR.(1)若f(x)在定义域上单调递增，求实数a的取值范围；(2)若函数g(x)xf(x)有唯一零点，试求实数a的取值范围.
8、 解(1)f(x)a，由题意知f(x)0在(0，)上恒成立，ax2ln x10在(0，)上恒成立，a，令h(x)，则h(x)0有根，令x0，当x(0，x0)时，h(x)0，函数h(x)单调递增；当x(x0，)时，h(x)0，函数h(x)单调递减.h(x)在x0处取得最大值.ah(x)maxh(x0).(2)由题意知g(x)xf(x)ax2xlnx0，即a有唯一正实数根，令(x)，即函数ya与函数y(x)的图象有唯一交点；(x).再令R(x)x12ln x，R(x)10，且易得R(1)0，故当x(0,1)时，R(x)0，(x)0，函数(x)单调递减；当x(1，)时，R(x)0，(x)0，函数(x
9、)单调递增.故(x)(1)1.又当x0时，(x)，而当x时，(x)0且(x)0，可得如图所示的图象.故满足条件的实数a的取值范围为a|a0或a1.题型三利用导数求函数的极值、最值问题例3已知函数f(x)x2aln x(aR), (1)若f(x)在x2时取得极值，求a的值；(2)求f(x)的单调区间；(3)求证：当x1时，x2ln xx3.(1)解f(x)x，因为x2是一个极值点，所以20，则a4.此时f(x)x，因为f(x)的定义域是(0，)，所以当x(0,2)时，f(x)0；当x(2，)，f(x)0，所以当a4时，x2是一个极小值点，故a4.(2)解因为f(x)x，所以当a0时，f(x)的单
10、调递增区间为(0，).当a0时，f(x)x，所以函数f(x)的单调递增区间为(，)；递减区间为(0，).(3)证明设g(x)x3x2ln x，则g(x)2x2x，因为当x1时，g(x)0，所以g(x)在x(1，)上是增函数，所以g(x)g(1)0，所以当x1时，x2ln xx3.反思与感悟有关函数极值、最值问题，需注意求解思路与方法，理解构造函数在解(证)题中的灵活运用.跟踪训练3已知函数f(x)x3ax2bx在区间(2,1)内，当x1时取极小值，当x时取极大值.(1)求函数yf(x)在x2时的对应点的切线方程；(2)求函数yf(x)在2,1上的最大值与最小值.解(1)f(x)3x22axb.
11、又x1，x分别对应函数取得极小值、极大值的情况，所以1，为方程3x22axb0的两个根.所以a，b2，则f(x)x3x22x.x2时，f(x)2，即(2,2)在曲线上.又切线斜率为kf(x)3x2x2，f(2)8，所求切线方程为y28(x2)，即为8xy140.(2)x在变化时，f(x)及f(x)的变化情况如下表：x2(2，1)11f(x)00f(x)2则f(x)在2,1上的最大值为2，最小值为.解实际问题时因忽略定义域致误例4现有一批货物由海上A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为35海里/小时，A地至B地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料
12、费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元.(1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/小时)的函数；(2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？错解(1)依题意得y(9600.6x2)300x，即y300x.(2)由(1)知y300x，所以y300.令y0，解得x40或x40(舍去).当0x40时，y0；当x40时，y0.因此，函数y300x在x40处取得极小值，也是最小值.故为了使全程运输成本最小，轮船应以40海里/小时的速度行驶.错因分析解应用题最关键的就是要表达清楚模型的函数关系式，这其中就包括函数的定义域.定义域一定要根据题目的条件，考虑自变量
13、的实际意义.本题错解就是因为忽略了定义域导致最后的解题错误.正解(1)依题意得y(9600.6x2)300x，函数的定义域为(0,35，即y300x(0x35).(2)由(1)知y300x(0x35)，所以y300.令y0，解得x40或x40(舍去).因为函数的定义域为(0,35，所以函数在定义域内没有极值.又当0x35时，y0，所以y300x在(0,35上单调递减，故当x35时，函数y300x取得最小值.故为了使全程运输成本最小，轮船应以35海里/小时的速度行驶.防范措施正确确定自变量的取值范围，在解题过程中，要在其允许取值范围内求解.1.函数f(x)(2x)2的导数是()A.f(x)4x
14、B.f(x)42xC.f(x)82x D.f(x)16x答案C解析因f(x)42x2，故f(x)82x，选C.2.函数f(x)xex的一个单调递增区间是()A.1,0 B.2,8C.1,2 D.0,2答案A解析f(x)xex，则f(x)，令f(x)0, 得x1，故增区间为(，1)，又因1,0(，1)，故选A.3.一质点沿直线运动，如果由始点起经过t s后位移为st4t32t2，那么t 时速度为0.答案0或1或4解析由st35t24t0，得t(t25t4)0，t(t1)(t4)0，t10，t21，t34，即t0或1或4时，速度为0.4.用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的
15、长与宽之比为21，则该长方体的长、宽、高分别为 时，其体积最大.答案2 cm,1 cm， cm解析设长、宽、高分别2x，x，h，则4(2xxh)18，h3x，V2xxh2x26x39x2，由V0得x1或x0(舍去).x1是函数V在(0，)上唯一的极大值点，也是最大值点，故长、宽、高分别为2 cm,1 cm， cm时，体积最大.5.已知函数f(x)x3ax2bxc，曲线yf(x)在点x1处的切线为l：3xy10，若x时，yf(x)有极值.(1)求a，b，c的值；(2)求yf(x)在3,1上的最大值和最小值.解(1)由f(x)x3ax2bxc，得f(x)3x22axb.由题意，当x1时，切线的斜率
16、为3，可得2ab0.当x时，yf(x)有极值，则f0，可得4a3b40.由解得a2，b4，由于切点横坐标为1，f(1)4，1abc4，c5.故a2，b4，c5.(2)由(1)可得f(x)x32x24x5，f(x)3x24x4.令f(x)0，得x12，x2.当x变化时，y，y的变化情况如下表：x3(3，2)21y00y8134ymax13，ymin.1.可导函数f(x)在x0处取得极值的充分必要条件是f(x0)0且f (x)在x0两侧的符号不同，f(x0)0是x0为极值点的必要不充分条件，函数极值是一个局部概念，求极值时经常把f(x)0的点附近函数值的变化情况列成表格.2.一些求参数取值范围的问
17、题，常转化为恒成立问题，利用f(x)a恒成立f(x)maxa和f(x)a恒成立f(x)mina的思想解题.存在或有解问题，如f(x)a有解af(x)min和f(x)a有解af(x)max成立.一、选择题1.函数yf(x)在xx0处的导数f(x0) 的几何意义是()A.在点xx0处的函数值B.在点(x0，f(x0)处的切线与x轴所夹锐角的正切值C.曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率D.点(x0，f(x0)与点(0,0)连线的斜率答案C2.如果物体的运动方程为s2t(t1)，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在2秒末的瞬时速度是()A.米/秒 B.米/秒C.米/秒 D.米/秒
18、答案A解析ss(t)2t，s(t)2.故物体在2秒末的瞬时速度s(2)2.3.a(x26x,5x)，b，已知f(x)ab，则f(x)等于()A.x26x5 B.x26x5C.x33x25x D.x23x25答案A解析f(x)ab(x26x,5x)x33x25x，则f(x)x26x5.4.已知函数yxln(1x2)，则y的极值情况是()A.有极小值B.有极大值C.既有极大值又有极小值D.无极值答案D解析y10，且仅在有限个点上等号成立，函数f(x)在定义域R上为增函数，故其不存在极值.5.若函数f(x)x3(2b1)x2b(b1)x在(0,2)内有极小值，则()A.0b1 B.0b2C.1b1
19、D.1b2答案C解析f(x)x2(2b1)xb(b1)(xb)x(b1).令f(x)0，则xb或xb1，xb1是极小值点，0b12，1b1.6.设函数f(x)xaax(0a1)，则f(x)在0，)内的极大值点x0等于()A.0 B.a C.1 D.1a答案C解析f(x)(xaax)axa1aa(xa11).令a(xa11)0，0a1，x1.当0x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0.x1是0，)内的极大值点.二、填空题7.计算dx .答案4ln 3解析dx32ln 34ln 3.8.函数f(x)ax44ax2b(a0,1x2)的最大值为3，最小值为5，则a ，b .答案23解析y4ax38a
20、x4ax(x22)，令y0，解得x10，x2，x3.f(1)a4abb3a，f(2)16a16abb，f()b4a，f(0)b，9.在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：yx310x3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为 .答案(2,15)解析y3x210，令y2，解得x2.又点P在第二象限内，x2，此时y15，点P的坐标为(2,15).10.已知曲线y与直线xa，y0所围成的封闭区域的面积为a3，则a .答案解析由题意a3dxxa，即a，解得a.三、解答题11.求抛物线yx24x3与其在点(0，3)和点(3,0)处的切线所围成的图形的面积.解如图，y2x4
21、，y|x04，y|x32.在点(0，3)处的切线方程是y4x3，在点(3,0)处的切线方程是y2(x3)，求两切线交点：交点为.所以由它们围成的图形面积为S (4x3)(x24x3)dx 2(x3)(x24x3)dxx2dx (x26x9)dx12.有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是P万元和Q万元，它们与投入资金x万元的关系，有经验公式：P，Q，今共有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少？能获得的最大利润是多少？解设对乙种商品投资x万元，则对甲种商品投资为(3x)万元，总利润为y万元，根据题意得y(0x3).y.令y0，
22、解得x.由实际意义知x即为函数的极大值点，也是最大值点，此时3x.因此，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入应分别为0.75万元和2.25万元，获得的最大利润为1.05万元.13.已知函数f(x)ex.(1)当a时，求函数f(x)在x0处的切线方程.(2)函数f(x)是否存在零点？若存在，求出零点的个数；若不存在，说明理由.解(1)f(x)ex，f(x)ex，f(0)1.当a时，f(0)3.又f(0)1，f(x)在x0处的切线方程为y(1)3(x0)，即y3x1.(2)函数f(x)的定义域为(，a)(a，).当x(a，)时，ex0，0，f(x)ex0.即f(x)在区间(a，)上没有零点.当x(，a)时，f(x)ex，令g(x)ex(xa)1.只要讨论g(x)的零点即可.g(x)ex(xa1)，g(a1)0.当x(，a1)时，g(x)0，g(x)是减函数；当x(a1，a)时，g(x)0，g(x)是增函数.g(x)在区间(，a)上的最小值为g(a1)1ea1.显然，当a1时，g(a1)0，xa1是f(x)的唯一的零点；当a1时，g(a1)1ea10，f(x)没有零点；当a1时，g(a1)1ea10，f(x)有两个零点.
