1、指数与指数函数【考纲要求】1.理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质2.掌握无理指数幂的概念，将指数的取值范围推广到实数集；3.掌握指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性，明确指数函数的定义域；4.掌握指数函数图象：5.通过对指数函数的概念、图象、性质的学习，培养观察、分析归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法；【知识网络】指数与指数函数图象与性质指数运算性质指数函数的图像与性质指数的概念【考点梳理】考点一、整数指数幂的概念及运算性质(1)整数指数幂的概念(2)运算法则；.考点二、根式的概念和运算法则(1)n次方根的定义：若xn=y(nN*，n1，yR)，则x称为y的n次方根.要
2、点诠释：n为奇数时，正数y的奇次方根有一个，是正数，记为；负数y的奇次方根有一个，是负数，记为；零的奇次方根为零，记为；n为偶数时，正数y的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为.(2)根式的意义与运算法则考点三、分数指数幂的概念和运算法则为避免讨论，我们约定a0，n，mN*，且为既约分数，分数指数幂可如下定义：考点四、有理数指数幂的运算性质(1) (2) (3)当a0，p为无理数时，ap是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用.要点诠释：(1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；(2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的
3、顺序何时可以交换、何时不能交换.如；(3)幂指数不能随便约分.如.考点五、指数函数(1)定义：函数y=ax(a0且a1)叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为R.(2)图象及性质：y=ax0a1时图象图象性质定义域R，值域 （0，+）a0=1, 即x=0时，y=1，图象都经过(0，1)点ax=a，即x=1时，y等于底数a在定义域上是单调减函数在定义域上是单调增函数x1x0时，0ax1x0时，0ax0时，ax1 既不是奇函数，也不是偶函数【典型例题】类型一、指数运算、化简、求值例1.已知，且，求的值。【解析】【总结升华】运算顺序(能否应用公式)；举一反三：【变式】计算下列各式：(1
4、)；(2)；(3).【解析】(1)原式；(2)原式=；(3)原式.类型二、函数的定义域、值域例2求下列函数的定义域、值域.(1)；(2)y=4x-2x+1；(3)；(4)(a为大于1的常数)【解析】(1)函数的定义域为R (对一切xR，2x-1). ，又 2x0， 1+2x1， ， ， ， 值域为(0，1).(2)定义域为R， 2x0， 即 x=-1时，y取最小值，同时y可以取一切大于的实数， 值域为).(3)定义域为R，|x|0， -|x|0， ， 值域为(0，1.(4) 定义域为(-，-1)1，+)，又 ， ， 值域为1，a)(a，+).【总结升华】求值域时有时要用到函数单调性；第(3)小
5、题中值域切记不要漏掉y0的条件，第(4)小题中不能遗漏.举一反三：【变式】求下列函数的定义域：(1) (2) (3)【解析】(1)需满足3-x0，即(3) 为使得函数有意义，需满足2x-10，即2x1，故x0(4)a1时，；0a10.983.1 (4)a1时，0a1， 所以y=1.3x在R上为增函数1.30.71.30=1， .【变式2】求函数的值域及单调区间.【解析】设u=-x2+3x-2， y=3u，其中y=3u为R上的单调增函数，u=-x2+3x-2在上单增，u=-x2+3x-2在上单减，则在上单增，在上单减.又u=-x2+3x-2， 的值域为.例4.化简：【解析】类型四、判断函数的奇偶
6、性例5判断下列函数的奇偶性： (为奇函数)【解析】f(x)定义域关于原点对称(定义域关于原点对称，且f(x)的定义域是定义域除掉0这个元素)，令，则 g(x)为奇函数， 又 为奇函数， f(x)为偶函数.举一反三：【变式】判断函数的奇偶性：.【解析】定义域x|xR且x0，又 ， f(-x)=f(x)，则f(x)偶函数.类型五、指数函数的图象问题例6为了得到函数的图象，可以把函数的图象()A向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度B向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度C向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度D向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度【解析】，把函数的图象向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，可得到函数的图象，故选C【总结升华】用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数的图象，并掌握图象的变化规律，比如：平移、伸缩、对称等
