1、一、求积分的基本方法一、求积分的基本方法机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、多元函数微分法二、多元函数微分法微积分II总复习三、二重积分的计算三、二重积分的计算四、级数的敛散性与求和四、级数的敛散性与求和五、求解微分方程五、求解微分方程2010级20110607一、一、求不定积分的基本方法求不定积分的基本方法机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、几种特殊类型的积分二、几种特殊类型的积分不定积分的计算方法 第六六章 一、一、求不定积分的基本方法求不定积分的基本方法1.直接积分法直接积分法通过简单变形,利用基本积分公式和运算法则求不定积分的方法.2.换元积分法换元积分法xxfd)(第一类换元
2、法第一类换元法tttfd)()(第二类换元法(注意常见的换元积分类型)(代换:)(tx机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.分部积分法分部积分法vuxvud使用原则:1)由v易求出 v;2)xvud比xvud好求.一般经验:按“反,对,幂,指,三”的顺序,排前者取为 u,排后者取为.v计算格式:列表计算xvud机动 目录 上页 下页 返回 结束 xvund)1(xvuvunnd)()()1()(nnvuvu xvund)1()2()1()(nnnvuvuvuxvunnd)1()1(1多次分部积分的多次分部积分的 规规 律律机动 目录 上页 下页 返回 结束)2()1()(nnnvuvuvux
3、vund)2(快速计算表格:)(ku)1(knvuuu)(nu)1(nv)(nv)1(nvvn)1()1(nuv1)1(n特别特别:当 u 为 n 次多项式时,0)1(nu计算大为简便.例例1.求.d4932xxxxx解解:原式xxxxxd233222xxxd)(1)(23232xx2323232)(1)(dln1xaaaxxdlndCx3ln2ln)arctan(32机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.求.d15)1ln(22xxxx解解:215)1ln(2xx原式5)1ln(d2xx21xxxxxd)1(212221dxx325)1ln(2xxC23机动 目录 上页 下页 返回 结
4、束 分析分析:5)1ln(d2xx例例3.求.dcos1sinxxxx解解:原式xxxxxd2cos22cos2sin222tandxxxxd2tanCxx2tan分部积分抵消机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.设,)(2xyxy解解:令,tyx求积分.d31xyxxyxy2)(即txy,123ttx,12tty而ttttxd)1()3(d2222 1原式ttttd)1()3(2222123tt132tttttd12Ct1ln221Cyx1)(ln221机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5.求.darctanxeexx解解:xearctan原式xedxxeearctanxexee
5、xxd12xxeearctanxeeexxxd1)1(222xxeearctanxCex)1(ln221机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6.求.d)2(23xexxx解解:取,23xxuxev2)4(23 xx132xx660)(ku)4(kvxe2xe221xe241xe281xe2161xe2 原式)2(321 xx)13(241xx681Cxxxex)7264(232816161CxxaxaexPxkndcossin)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:此法特别适用于如下类型的积分:例例7.设,dsecxxInn证证:证明递推公式:)2(12tansec1122nIn
6、nxxnInnnxInn2secxn 2secxxxnntansecsec)2(3xxdtanxxntansec2xxxnnd)1(secsec)2(22xxntansec2nIn)2(2)2(nInxxdsec2xtan)2(12tansec1122nInnxxnInnn机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例8.求.d1xx解解:设1)(xxF1x,1x1x,1x则)(xF1,1221xCxx1,2221xCxx因)(xF连续,)1()1()1(FFF得21211121CC221121CC记作C得xxd1)(xF1,21221xCxx1,21221xCxx,)1(221Cx,)1(221C
7、x利用 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例9.设 解解:)(xF为)(xf的原函数,时时当当0 x,2sin)()(2xxFxf有有且,1)0(F,0)(xF求.)(xf由题设,)()(xfxF则,2sin)()(2xxFxF故xxFxFd)()(xxd2sin2xxd24cos1即CxxxF4sin)(412,1)0(F,1)0(2FC0)(xF,因此14sin)(41xxxF故)()(xFxf14sin2sin412xxx又机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、几种特殊类型的积分二、几种特殊类型的积分1.一般积分方法一般积分方法有理函数分解多项式及部分分式之和指数函数有理式指数代换
8、三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.需要注意的问题需要注意的问题(1)一般方法不一定是最简便的方法,(2)初等函数的原函数不一定是初等函数,要注意综合使用各种基本积分法,简便计算.因此不一定都能积出.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如例如,d2xex,dsinxxx,dsin2xx,dln1xx,1d4 xx,d13xx,)10(dsin122kxxk例例10 求.1d632xxxeeex解解:令,6xet 则,ln6tx txtdd6原式原式ttttt)1(d623tttt)1)(1(d621331362ttttt dtln61ln
9、3t)1ln(232tCt arctan3Ceeexxxx636arctan3)1ln()1ln(323机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例11 求.dsincossincos3xxxxx解解:令xxsincos3xBAxBAsin)(cos)(比较同类项系数3 BA1 BA,故2,1BA 原式xxxxxsincos)sind(cos2dCxxxsincosln说明说明:此技巧适用于形为xxdxcxbxadsincossincos的积分.)sin(cos)sin(cosxxBxxAxbxasincos令)sincos()sincos(xdxcBxdxcA机动 目录 上页 下页 返回 结束
10、例例12.解解：xxbxaxIdsincossin1求因为.dsincoscos2xxbxaxI及12IbIaxxbxaxbxadsincossincos1Cx12IaIbxxbxaxaxbdsincossincos)sincosd(xbxa2sincoslnCxbxaCxbxaabxbaI)sincosln(1221CxbxabaxbaI)sincosln(1222机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例13.求不定积分.dsin)cos2(1xxx解解:)cos(xu 令令原式 uuud)1)(2(12)1)(2(12uuuA21uB1uC31A61B21C2ln31u1ln61uCu1l
11、n21)2ln(cos31x)cos1ln(61xCx)1ln(cos21机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxxxdsin)cos2(sin2一、与定积分概念有关的问题的解法一、与定积分概念有关的问题的解法机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、有关定积分计算和证明的方法二、有关定积分计算和证明的方法定积分及其相关问题 第七七章 一、与定积分概念有关的问题的解法一、与定积分概念有关的问题的解法1.用定积分概念与性质求极限2.用定积分性质估值3.与变限积分有关的问题机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1 求.d1lim10 xeexxxnn解解:因为 1,0 x时,xxneex10所以x
12、eexxxnd1100 xxnd1011n利用夹逼准则得0d1lim10 xeexxxnn,nx例例2.d411032xxx估计下列积分值解解:因为 1,0 x3241xx 41,412xxxxd411032xd2110 xxd41102即xxxd411032216机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3 证明.2d222042exeexx证证:令,)(2xxexf则xxexxf2)12()(令,0)(xf得,21x,1)0(f,1)(421ef2)2(ef,1)(min42,0exf22,0)(maxexf故22042d22exeexx机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4 设)(xf
13、在1,0上是单调递减的连续函数，试证1,0q都有不等式100d)(d)(xxfqxxfq证明证明：显然1,0qq时结论成立.(用积分中值定理)qxxf0d)(10d)(xxfqqxxfq0d)()1(1d)(qxxfq)1(q)(1fqq)()1(2fq,01q1,2q10 q当时,)()()1(21ffqq0故所给不等式成立.机动 目录 上页 下页 返回 结束 明对于任何例例5 解：解：,3)1(,0)(fxxf处连续在已知且由方程xyyxttfyttfxttf111d)(d)(d)(确定 y 是 x 的函数,求.)(xf方程两端对 x 求导,得)(yxfyttf1d)(yyfx)(xttf
14、y1d)()(xfy)(yxy令 x=1,得)1(d)()(1fyttfyyfy再对 y 求导,得)1(1)(fyyfy3Cyyf ln3)(,3,1Cy得令3ln3)(xxf机动 目录 上页 下页 返回 结束 故例例6ttttfxfxdcos2sin)()(02求可微函数 f(x)使满足解解:等式两边对 x 求导,得)()(2xfxfxxxfcos2sin)(不妨设 f(x)0,则xxxfcos2sin21)(xxfxfd)()(xxxdcos2sin21Cx)cos2ln(21机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意 f(0)=0,得3ln21C3ln21)cos2ln(21)(xxfxc
15、os23ln21机动 目录 上页 下页 返回 结束 ttttfxfxdcos2sin)()(02Cxxf)cos2ln(21)(例例7 求多项式 f(x)使它满足方程解解:令,t xu 10302d)1(d)(xxttfttxfx则10d)(ttxfxxuuf01d)(代入原方程得xuuf0d)(xttfx0d)1(242xx 两边求导:)(xfxttf0d)1()1(xfxxx443)(xf)1(2xf)1(xfx4122x可见 f(x)应为二次多项式,设cbxaxxf2)(代入 式比较同次幂系数,得.1,4,3cba故143)(2xxxf机动 目录 上页 下页 返回 结束 再求导:二、有关
16、定积分计算和证明的方法二、有关定积分计算和证明的方法1.熟练运用定积分计算的常用公式和方法2.注意特殊形式定积分的计算3.利用各种积分技巧计算定积分4.有关定积分命题的证明方法思考思考:下列作法是否正确?xxx1d1112112xxd111132)(32xt 令0d23112111ttt机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例8 求.d12ln02xex解解:令,sintex则,sinlntx,dsincosdtttx原式ttttdsincoscos62tttdsinsin1262tttd)sin(csc26coscotcsclnttt6223)32(ln机动 目录 上页 下页 返回 结束 例
17、例9 求.d2sin120 xxI解解:xxxId)cos(sin202xxxdcossin20 xxxd)sin(cos40 xxxd)cos(sin24cossinxx04sincosxx42)12(2机动 目录 上页 下页 返回 结束 2yox4xsinxcostttcbcadcos99例例10 选择一个常数 c,使0d)(cos)(99xcxcxba解解:令,cxt则xcxcxbad)(cos)(99因为被积函数为奇函数,故选择 c 使)(cbca即2bac可使原式为 0.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例11 设,d)(022yexfxyy解解:.d)()1(102xxfx求x
18、xfxd)()1(102013)()1(31xfxxxfxd)()1(31103xexxxd)1(31102322101)1(2)1d()1(612xexx)1(2 xu令10d6ueueu01)1(6ueue)2(61e机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例12 若,1,0)(Cxf解解:令试证:xxfxd)(sin0 xxfd)(sin20 xxfd)(sin20,xt则xxfxd)(sin0ttftd)(sin)(0ttfd)(sin0ttftd)(sin0 xxfxd)(sin0 xxfd)(sin20机动 目录 上页 下页 返回 结束 因为xxfd)(sin0 xxfd)(sin2
19、0 xxfd)(sin2对右端第二个积分令xtxxfd)(sin220综上所述xxfxd)(sin0 xxfd)(sin20 xxfd)(sin20机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例13 证明恒等式)20(4darccosdarcsin22cos0sin0 xttttxx证证:令ttttxfxxdarccosdarcsin)(22cos0sin0则)(xfxxxcossin2xxxcossin20因此,)0()(2xCxf又)(4fttttdarccosdarcsin212100tttdarccosarcsin210td21024故所证等式成立.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1
20、4,0)(,)(,)(xgbaxgxf且上连续在设试证,),(ba使baxxfd)(baxxgd)()()(gf分析分析:要证0d)()(d)()(babaxxgfxxfg即xaxxgd)(baxxfd)(xaxxfd)(baxxgd)(x0故作辅助函数baxabaxaxxgxxfxxfxxgxFd)(d)(d)(d)()(机动 目录 上页 下页 返回 结束 至少存在一点证明证明:令baxabaxaxxgxxfxxfxxgxFd)(d)(d)(d)()()(,)(xgxf因在,ba上连续,)(上连续在故baxF在,),(内可导ba,0)()(bFaF且至少,),(ba使,0)(F即0d)()(
21、d)()(babaxxgfxxfg因在,ba上)(xg连续且不为0,0d)(baxxg从而不变号,因此故所证等式成立.机动 目录 上页 下页 返回 结束 故由罗尔定理知,存在一点思考思考:本题能否用柯西中值定理证明?如果能,怎样设辅助函数?),(babaxxfd)(baxxgd)(,)()(gf要证:xattfxFd)()(xattgxGd)()(提示提示:设辅助函数 例15 目录 上页 下页 返回 结束 例例15 设函数 f(x)在a,b 上连续,在(a,b)内可导,且.0)(xf:,)2(lim证明存在若axaxfax(1)在(a,b)内 f(x)0;(2)在(a,b)内存在点,使)(2d
22、)(22fxxfabba(3)在(a,b)内存在与 相异的点,使 baxxfaabfd)(2)(22(03考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束 证证:(1),)2(lim存在axaxfax,0)2(limaxfax由 f(x)在a,b上连续,知 f(a)=0.，又0)(xf所以f(x)在(a,b)内单调增,因此),(,0)()(baxafxf(2)设)(d)()(,)(2bxaxxfxgxxFxa,0)()(xfxg则)(),(xgxF故满足柯西中值定理条件,于是存在 使),(baaabattfttfabagbgaFbFd)(d)()()()()(22xxattfxd)()(2机动 目录
23、上页 下页 返回 结束 即)(2d)(22fttfabba(3)因 0)()(ff)()(aff在a,上用拉格朗日中值定理),(),()(aaf代入(2)中结论得)(2d)(22afttfabba因此得 baxxfaabfd)(2)(22机动 目录 上页 下页 返回 结束)(xf例例16 设,)(baCxf证证:设且试证:,0)(xf2)()(dd)(abxfxxxfbabattfxFxad)()(xatft)(d则)(xF)(1xf)(2axxa)(tf)(tftd2ttfxftfxfxad)()()()(20)(,xfax0故 F(x)单调不减,0)()(aFbF即(*)成立.(*)(xf
24、)(xfxattfd)(xatft)(d2)(ax 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.定积分的几何应用定积分的几何应用平面图形面积、旋转体体积2.基本方法基本方法:微元分析法机动 目录 上页 下页 返回 结束 定积分的应用 第七七章 例例1 求抛物线21xy在(0,1)内的一条切线,使它与两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.解解:设抛物线上切点为)1,(2xxM则该点处的切线方程为)(2)1(2xXxxY它与 x,y 轴的交点分别为,)0,(212xxA)1,0(2xB所指面积)(xSxx2)1(2122102d)1(xx324)1(22xx11MBAyx机动 目录 上页 下页 返回 结
25、束)(xS)13()1(22412xxx,33x0)(xS,33x0)(xS且为最小点.故所求切线为34332XY,0)(xS令得 0,1 上的唯一驻点33x11MBAyx,1,0)(33上的唯一极小点在是因此xSx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2 设非负函数上满足在 1,0)(xf)()(xfxfx曲线)(xfy 与直线1x及坐标轴所围图形(1)求函数;)(xf(2)a 为何值时,所围图形绕 x 轴一周所得旋转体解解:(1)时，当0 x由方程得axxfxfx23)()(2axxf23)(,223xa面积为 2,体积最小?即xCxaxf223)(故得机动 目录 上页 下页 返回 结
26、束 又10d)(2xxfxxCxad2321022CaaC 4xaxaxf)4(23)(2(2)旋转体体积Vxxfd)(1021610132aa,01513aV令5a得又V 5a,0155 a为唯一极小点,因此5a时 V 取最小值.xoy1xoy1机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五章 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、一、基本概念基本概念 二、多元函数微分法二、多元函数微分法 三、多元函数微分法的应用三、多元函数微分法的应用 多元函数微分法多元函数微分法一、一、基本概念基本概念连续性 偏导数存在可微性1.多元函数的定义、极限、连续 定义域及对应规律 判断极限不存在及求极限的方法 函
27、数的连续性及其性质2.几个基本概念的关系机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1 已知求出 的表达式.),(yxf解法解法1 令,yxu),(vuf)(uvu即)(),(xyxyxf,)0,(xxf)1(),(yxyxf解法解法2)()(),(yxyxyxyxyxf)(),(xyxyxf以下与解法1 相同.,)(),(22yxyxyxyxf,)0(xxf，）（）（vuyvux2121,则xx)(且,yxv)()()(241241uvuvu机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、多元函数微分法二、多元函数微分法显示结构隐式结构1.分析复合结构(画变量关系图)自变量个数=变量总个数 方程总个数自
28、变量与因变量由所求对象判定2.正确使用求导法则“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”注意正确使用求导符号3.利用一阶微分形式不变性机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2 设其中 f 与F分别具,0),(,)(zyxFyxfxz解法解法1 方程两边对 x 求导,得xzdd)0(23FFfxxzdd1F 23FFfx 1 32FFfx12FFfxffx221FffFxfFx有一阶导数或偏导数,求fxfxzxyfxdddd132ddddFxzFxyFf fx)dd1(xy.ddxzxyFdd20dd3xzF(99 考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束 解法解法2 0),(,)(zyxFy
29、xfxz方程两边求微分,得化简消去 即可得yd.ddxzyF d20d3zFyfxd 0dz)d(dddyxfxxfz 0ddd321zFyFxFxfxfd)(xF d1机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3 设),(zyxfu 有二阶连续偏导数,且,sin2txz,)ln(yxt求.,2yxuxu解解:uzyxtxyxxu1f(3 ftxsin2tx cos2)yxu2 12f(13 ftx cos2)32f 33f)1cos(2yxtx)cossin2(2yxtxtx 3fyxtx1cos222)(yxxyxt1sin)(yx 1cos tyx 1yx 1机动 目录 上页 下页 返回
30、结束 练习题练习题1、设函数 f 二阶连续可微,求下列函数的二阶偏导数.2yxz),()3()()2()()1(222xyxfzxyxfzxyfxz机动 目录 上页 下页 返回 结束 解答提示解答提示:)()1(2xyfxz:)()2(2xyxfzxyxyfxyz2)(2xyfyz2 fxyxyfxy)1(22222fxy 232fy 2yxz2yxz2 fy2)(22xyfxy 2)1(22xyfxy22机动 目录 上页 下页 返回 结束 2222fxyyxz)(2xy21f 2222fxy:),()3(2xyxfz 22fxyyz机动 目录 上页 下页 返回 结束 xvuxuv2、设求,s
31、in,cosvuzveyvexuuyzxz,zvuyxyxxz得由,sin,cosveyvexuu得由,vuz vveuvexuudsindcosd提示提示:vveuveyuudcosdsind机动 目录 上页 下页 返回 结束 yvuyuvyz解出 du,dv：veveveveveyvexuuuuuuucossinsincoscosdsinddxuyxdd veucosveusin机动 目录 上页 下页 返回 结束 yu代入即得;xzxvyxvdddveusinveucosyvxvxu及将代入即得.yzyvyu及将t dtteyxezxxyx0sin,2),(zyxfu 有连续的一阶偏导数,
32、)(xyy 及)(xzz 分别由下两式确定求.ddxu又函数答案答案:321)sin()(1ddfzxzxefxyfxux(2001考研）机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.设三、多元函数微分法的应用三、多元函数微分法的应用极值与最值问题极值与最值问题 极值的必要条件与充分条件 求条件极值的方法 (消元法,拉格朗日乘数法)求解最值问题 最小二乘法机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4 22yxz求旋转抛物面与平面之间的最短距离.解：解：2261zyxd设为抛物面上任一点，则 P),(zyxP22yxz的距离为022zyx问题归结为(min)22(2zyx约束条件:022zyx目标函数:
33、22 zyx作拉氏函数)()22(),(222yxzzyxzyxF机动 目录 上页 下页 返回 结束 到平面)()22(),(222yxzzyxzyxF.81,41,41zyx令22yxz解此方程组得唯一驻点02)22(2yzyxFy0)2)(22(2zyxFz02)22(2xzyxFx由实际意义最小值存在,241414161mind647故机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、一、二重积分计算的基本方法二重积分计算的基本方法 二、二重积分计算的基本技巧二、二重积分计算的基本技巧 三、重积分的应用三、重积分的应用 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第八章 二重积分的计算及应用 一、二重积分
34、的累次积分法一、二重积分的累次积分法1.选择合适的坐标系使积分域成为由平面曲线围成的区域;被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.2.选择易计算的积分序积分域分块要少,累次积分易算为妙.图示法列不等式法(从内到外:面、线、点)3.掌握确定积分限的方法机动 目录 上页 下页 返回 结束 1、计算二重积分,d222DyxR其中D 为圆周xRyx22所围成的闭区域.提示提示:利用极坐标cosRr 原式cos022dRrrRr2033d)sin1(32R)34(313RyDR xo:Dcos0Rr 2222d机动 目录 上页 下页 返回 结束 练习练习2、计算积分Ddyx,)(其中D 由,22xy 12,
35、4yxyx所围成.提示提示:如图所示xy224246oyx,12DDD 内有定义且在2),(DyxyxfDyxd)(2d)(Dyx1d)(Dyx连续,所以yyxyx1222d)(46dyyyxyx422d)(24dy15115431D2DD机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、二重积分计算的基本技巧二、二重积分计算的基本技巧分块积分法利用对称性1.交换积分顺序的方法2.利用对称性简化计算3.消去被积函数绝对值符号机动 目录 上页 下页 返回 结束 axamyxamaxxfexaxxfey0)(0)(0d)()(d)(d1、证明:提示提示:左端积分区域如图,Doyxxy a交换积分顺序即可证得
36、.机动 目录 上页 下页 返回 结束 练习题练习题例例1 计算二重积分,dd)(222yxeyxxIyxD其中:(1)D为圆域;122 yx(2)D由直线1,1,xyxy解解:(1)利用对称性.yox1DyxxIDdd20dd)(2122yxyxD10320dd21rr4yxeyxDyxdd22围成.机动 目录 上页 下页 返回 结束 yxeyxDyxdd122(2)积分域如图:o1yx11D2Dxyxy,xy将D 分为,21DDyxxIDdd2yxeyxDyxdd22200dd1112xyxx32添加辅助线利用对称性,得机动 目录 上页 下页 返回 结束 111 xyo例例2 计算二重积分,
37、dd)sgn()1(2yxxyID,dd)22()2(22yxxyyxID122 yx在第一象限部分.解解:(1)2xy 21,DD两部分,则1ddDyxI1112ddxyx322D2ddDyx2011ddxyx1011:yxD，其中D 为圆域把与D 分成1D作辅助线机动 目录 上页 下页 返回 结束 xy1o1xy(2)提示提示:21,DD两部分 1DyxyxDdd)(22yxyxDdd)2(说明说明:若不用对称性,需分块积分以去掉绝对值符号.xy 作辅助线2D将D 分成Dyxdd2yxxyyxIDdd)22(222)12(32机动 目录 上页 下页 返回 结束 xysinxyo2例例3 1
38、d),(Dyxfyyxyxfarcsinarcsind),(10dyIxyyxfsin0d),(0d x0sind),(xyyxf2d xyyxyxfarcsin2arcsind),(01dy如图所示交换下列二次积分的顺序:xyyxfxIsin020d),(d1D2D2d),(Dyxf解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、二重积分的应用三、二重积分的应用1.几何方面面积(平面域)证明某些结论等 2.其它方面机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4，上连续在设,)(baxf证明babaxxfabxxfd)()(d)(22证证:左端yyfxxfbabad)(d)(yxyfxfDdd)()
39、(222baab利用yxyfxfDdd)()(222121xxfybabad)(d2yyfxbabad)(d22abxdxfba)(2xdxfabba)()(2byabxaD:=右端ydyfba)(2机动 目录 上页 下页 返回 结束 级数的收敛、求和与展开级数的收敛、求和与展开 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、幂级数和函数的求法三、幂级数和函数的求法 四、函数的幂级数和级数展开法四、函数的幂级数和级数展开法一、数项级数的审敛法一、数项级数的审敛法二、求幂级数收敛域的方法二、求幂级数收敛域的方法 第十章)(0 xunn 求和)(xS展开(在收敛域内进行)(0 xunn基本问题基本问题：
40、判别敛散；求收敛域；求和函数；级数展开.时为数项级数;0 xx 当nnnxaxu)(当时为幂级数;机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、数项级数的审敛法一、数项级数的审敛法1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2.正项级数审敛法必要条件0limnnu不满足发 散满足比值审敛法 limn1nunu根值审敛法nnnulim1收 敛发 散1不定 比较审敛法用它法判别积分判别法部分和极限1机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.任意项级数审敛法为收敛级数1nnuLeibniz判别法判别法:若,01nnuu且,0limnnu则交错级数nnnu1)1(收敛,概念概念:且余项.1nnur1nnu若收敛,
41、1nnu称绝对收敛1nnu若发散,1nnu称条件收敛机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1 若级数11nnnnba 与均收敛,且nnnbca,),2,1(n证明级数1nnc收敛.证证:nnnnabac0,),2,1(n则由题设)(1nnnab 收敛)(1nnnac 收敛1nnc)(1nnnnaac)(1nnnac 1nna收敛机动 目录 上页 下页 返回 结束 1、判别下列级数的敛散性:;1)1(1nnnn;2)!()2(122nnn;2cos)3(132nnnn;ln1)4(210nn.)0,0()5(1sanansn提示提示:(1),1limnnn11nnn n据比较判别法,原级数发散
42、.因调和级数发散,机动 目录 上页 下页 返回 结束 练习题练习题利用比值判别法,可知原级数发散.用比值法,可判断级数12nnn因 n 充分大时,ln1110nn原级数发散.:2)!()2(122nnn:2cos)3(132nnnn:ln1)4(210nn:)0,0()5(1sanansn用比值判别法可知:时收敛;时,与 p 级数比较可知时收敛;1s时发散.再由比较法可知原级数收敛.1s1a时发散.1a1a21nn发散,收敛,机动 目录 上页 下页 返回 结束 2、设正项级数1nnu和1nnv12)(nnnvu也收敛.提示提示:因,0limlimnnnnvu存在 N 0,nnnnvvuu22,
43、又因)(222nnvu)()(2Nnvunn利用收敛级数的性质及比较判敛法易知结论正确.都收敛,证明级数当n N 时2)(nnvu 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3、设级数1nnu收敛,且,1limnnnuv1nnv是否也收敛？说明理由.但对任意项级数却不一定收敛.,)1(nunn问级数提示提示:对正项级数,由比较判别法可知1nnv级数1nnu收敛,1nnvnnnuvlim收敛,级数发散.nnn)1(lim11例如,取nnvnn1)1(机动 目录 上页 下页 返回 结束;1ln)1()3(1nnnn4、讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:;1)1()1(1npnn;sin)1()2(1
44、111nnnn.!)1()1()4(11nnnnn提示提示:(1)P 1 时,绝对收敛;0 p 1 时,条件收敛;p0 时,发散.(2)因各项取绝对值后所得强级数 原级数绝对收敛.故 机动 目录 上页 下页 返回 结束,111收敛nn11ln)1()3(nnnn)11(ln1lnnnnun因单调递减,且但nnn1ln1nknkk1ln)1ln(lim)1ln(limnn所以原级数仅条件收敛.kknk1ln1nlim由Leibniz判别法知级数收敛;0limnnu机动 目录 上页 下页 返回 结束 11!)1()1()4(nnnnn因nnuu12)2(!)2(nnn1)111(12nnnn1!)
45、1(nnnn11e所以原级数绝对收敛.机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、求幂级数收敛域的方法二、求幂级数收敛域的方法 标准形式幂级数:先求收敛半径 R,再讨论Rx 非标准形式幂级数通过换元转化为标准形式直接用比值法或根值法处的敛散性.求下列级数的敛散区间:211(1)(1);nnnxn21(2).2nnnnx练习练习:机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 解解:nnnnnna)11(limlim当ex1因此级数在端点发散,enn1)11(nneu nn)11(nn)11()(01ne.)1,1(eee时,211(1)(1)nnnxn,1eR exe11即时原级数收敛.故收敛区间为机动
46、目录 上页 下页 返回 结束 21(2)2nnnnx)()(lim1xuxunnn解解:因)1(2121nnxn22xnnxn22,122x当时，即22x,2时当x故收敛区间为.)2,2(级数收敛;一般项nun不趋于0,nlim级数发散;机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.)1(31的收敛半径求幂级数nnnnxn解解:分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数,lim1nnaannnnalim极限不存在1)(kkx,24212kkkxk1)(kkx12112122kkkxk)()(1limxxnnn,)4(2x411R)()(1limxxnnn,)2(2x212R 原级数=1)(kkx1)(kk
47、x 其收敛半径4121,minRRR注意:机动 目录 上页 下页 返回 结束 求部分和式极限三、幂级数和函数的求法三、幂级数和函数的求法 求和逐项求导或求积分nnnxa0)(*xS对和式积分或求导)(xS难直接求和:直接变换,间接求和:转化成幂级数求和,再代值求部分和等 初等变换法:分解、套用公式（在收敛区间内）数项级数 求和机动 目录 上页 下页 返回 结束 nnnxa0例例3 求幂级数.!)12(1)1(120的和函数nnnxnn法法1 易求出级数的收敛域为),(022)(!)12(1)1(21nnnxn原式120!)12()1(21nnnxnx)sin(21xx,cos2sin21xxx
48、),(x机动 目录 上页 下页 返回 结束 法法2 先求出收敛区间,)(xS则xnnnxxxnnxxS01200d!)12(1)1(d)(220!)12()1(nnnxn21120!)12()1(2nnnxnxxxsin2,cos2sin21)(xxxxS,),(设和函数为),(x机动 目录 上页 下页 返回 结束 练习练习:1(2).(1)nnxn n;212)1()1(21nnnxn解解:(1)(21121nnnx原式)120(2x12)2(1nnxx222211xxx22xx222)2(2xx显然 x=0 时上式也正确,.)2,2(x故和函数为而在2xx0,)2(2)(222xxxS求下
49、列幂级数的和函数：级数发散,机动 目录 上页 下页 返回 结束(2)nnxnn1111原式xnntt011dxnnttx01d1ttxd110tttxxd1100 x)1ln(x)1(ln11xx)1(ln)11(1xx)10(xttnnxd110ttxnnxd110机动 目录 上页 下页 返回 结束 1)1(nnnnx,)1(ln)11(1xx显然 x=0 时,和为 0;根据和函数的连续性,有)(xS110,)1(ln)11(1xxxx及0 0 x，1 1x，10 xx=1 时,级数也收敛.即得机动 目录 上页 下页 返回 结束 00!)12()1(!)2()1(21nnnnnn练习练习:0
50、!)12(1)1(nnnn解解:原式=0!)12()1(nnn1cos21的和.1)12(n211sin求级数机动 目录 上页 下页 返回 结束 四、函数的幂级数和级数展开法四、函数的幂级数和级数展开法 直接展开法 间接展开法练习练习:1.将函数2)2(1x展开成 x 的幂级数.利用已知展式的函数及幂级数性质 利用泰勒公式解解:xx21)2(1221121x0221nnnx,22111nnnxn)2,2(x机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.函数的幂级数展开法2.设)(xf0,arctan12xxxx0,1x,将 f(x)展开成x 的幂级数,1241)1(nnn的和.(01考研)解解:21
