1、1(1)(1)二次函数的解析式二次函数的解析式二次函数的一般式为二次函数的一般式为_._.二次函数的顶点式为二次函数的顶点式为_,_,其中顶其中顶点为点为_._.二次函数的两根式为二次函数的两根式为_,_,其中其中x x1 1,x x2 2是方程是方程axax2 2+bxbx+c c=0=0的两根的两根.(.(也就是函数的零点也就是函数的零点)根据已知条件根据已知条件,选择恰当的形式选择恰当的形式,利用待定系数法可求利用待定系数法可求解析式解析式.y y=axax2 2+bxbx+c c （a a00）y y=a a(x x-h h)2 2+k k(a a0)0)y y=a a(x x-x x
2、1 1)()(x x-x x2 2)()(a a0)0)(h h,k k)二次函数与幂函数二次函数与幂函数 2(3)(3)二次函数图象和性质二次函数图象和性质 二次函数二次函数y y=axax2 2+bxbx+c c(a a0)0)的顶点坐标为的顶点坐标为 ;对称轴方程为对称轴方程为 .熟练通过配熟练通过配方法求顶点坐标及对称轴方法求顶点坐标及对称轴,并会画示意图并会画示意图.在对称轴的两侧单调性相反在对称轴的两侧单调性相反.当当b b=0=0时为偶函数时为偶函数,当当b b00时为非奇非偶函数时为非奇非偶函数.)44,2(2abacababx232.2.二次函数、一元二次方程、一元二次不等式
3、三者之二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之 间的关系间的关系=b b2 2-4-4acac00=0=000)0)方程方程axax2 2+bxbx+c c=0=0的解的解_无解无解axax2 2+bxbx+c c00的解集的解集_axax2 2+bxbx+c c00的解集的解集_x x1 1,x x2 2(x x1 1 x x2 2或或x x x x1 1 x x|x xR R且且x xx x0 0 R R x x|x x1 1 x x 00，而二次函数，而二次函数 开口向下，相互矛盾，排除开口向下，相互矛盾，排除A.A.同理排除同理排除D,D,y y=axax2 2+bxbx+c c的
4、对称轴为的对称轴为 当当a a0,0,b b00时，时，排除排除B.B.当当a a0,0,b b00时，时，故选故选C.C.,2abx,02abx.02abxC62.2.已知二次函数已知二次函数y y=x x2 2-2-2axax+1+1在区间（在区间（2 2，3 3）内是单调）内是单调 函数，则实数函数，则实数a a的取值范围是的取值范围是 （）A.A.a a22或或a a3 B.23 B.2a a33 C.C.a a-3-3或或a a-2 D.-3-2 D.-3a a-2-2 解析解析 本题考查二次函数图象及其性质，由于二次本题考查二次函数图象及其性质，由于二次 函数的开口向上函数的开口向
5、上,对称轴为对称轴为x x=a a,若使其在区间若使其在区间(2,3)(2,3)内是单调函数，则需所给区间在对称轴的同一侧，内是单调函数，则需所给区间在对称轴的同一侧，即即a a22或或a a3.3.A73.3.方程方程x x2 2-mxmx+1=0+1=0的两根为的两根为 且且 则实数则实数m m的取值范围是的取值范围是_._.解析解析,21,0.1,1,mm).25,2(,21211,)2,1(1)2,1(mmm即即上是增函数上是增函数在在且且又又 8题型一题型一 二次函数的解析式的求法二次函数的解析式的求法 【例例1 1】已知二次函数已知二次函数f f(x x)满足满足f f(2)=-1
6、,(2)=-1,f f(-1)=-1,(-1)=-1,且且 f f(x x)的最大值是的最大值是8 8，试确定此二次函数，试确定此二次函数.确定二次函数采用待定系数法，有三种确定二次函数采用待定系数法，有三种 形式，可根据条件灵活运用形式，可根据条件灵活运用.思维启迪思维启迪题型分类题型分类 深度剖析深度剖析9解解.设设f f(x x)=)=a a(x x-m m)2 2+n n.f f(2)=(2)=f f(-1),(-1),抛物线对称轴为抛物线对称轴为 m m=.212)1(2x.21又根据题意函数有最大值为又根据题意函数有最大值为n n=8=8，y y=f f（x x）=f f（2 2）
7、=-1=-1，解之，得解之，得a a=-4.=-4.8)21(2xa,18)212(2a.7448)21(4)(22xxxxf10二次函数的解析式有三种形式：二次函数的解析式有三种形式：(1)(1)一般式：一般式：f f(x x)=)=axax2 2+bxbx+c c(a a0)0)(2)(2)顶点式：顶点式：f f(x x)=)=a a(x x-h h)2 2+k k(a a0)0)(3)(3)两点式：两点式：f f(x x)=)=a a(x x-x x1 1)()(x x-x x2 2)()(a a0)0)具体用哪种形式，可根据具体情况而定具体用哪种形式，可根据具体情况而定.探究提高探究提
8、高11知能迁移知能迁移1 1 设二次函数设二次函数f f(x x)满足满足f f(x x+2)=+2)=f f(2-(2-x x)，且，且 f f（x x）=0=0的两实数根平方和为的两实数根平方和为1010，图象过点，图象过点(0,3),(0,3),求求f f（x x）的解析式）的解析式.解解 设设f f(x x)=)=axax2 2+bxbx+c c(a a0).0).由由f f(x x+2)=+2)=f f(2-(2-x x)知，该函数图象关于直线知，该函数图象关于直线x x=2=2对称对称,即即b b=-4=-4a a.又又图象过（图象过（0 0，3 3）点，）点，c c=3.=3.,
9、22ab12 b b2 2-2-2acac=10=10a a2 2.由由得得a a=1,=1,b b=-4,=-4,c c=3.=3.故故f f（x x）=x x2 2-4-4x x+3.+3.102)(2)(2212212221acabxxxxxx13题型二题型二 二次函数的图象与性质二次函数的图象与性质 【例例2 2】已知函数已知函数 在区间在区间0,10,1 上的最大值是上的最大值是2 2，求实数，求实数a a的值的值.研究二次函数在给定区间上的最值问研究二次函数在给定区间上的最值问 题，要讨论对称轴与给定区间的关系题，要讨论对称轴与给定区间的关系.解解 对称轴为对称轴为 2142aax
10、xy),2(41)2(22aaaxy.2ax 思维启迪思维启迪14(1)(1)当当0 10 1，即，即00a a22时，时，得得a a=3=3或或a a=-2,=-2,与与00a a22矛盾矛盾.不合要求；不合要求；(2)(2)当当 00，即，即a a011，即，即a a22时，时，y y在在00，11上单调递增，上单调递增，有有y ymaxmax=f f(1),(1),f f(1)=2(1)=2 综上，得综上，得a a=-6=-6或或a a=2a,2)2(41),2(4122maxaaaay由.62214aa2a2a22141aa.310 a.31015探究提高探究提高 (1)(1)要注意抛
11、物线的对称轴所在的位置对要注意抛物线的对称轴所在的位置对函数最值的影响函数最值的影响.(2)(2)解二次函数求最值问题，首先采用配方法，将二解二次函数求最值问题，首先采用配方法，将二次函数化为次函数化为y y=a a(x x-m m)2 2+n n的形式，得顶点（的形式，得顶点（m m，n n）或）或对称轴方程对称轴方程x x=m m，分三个类型：，分三个类型：对称轴固定，区间固定；对称轴固定，区间固定；对称轴对称轴含参数，区间固定；含参数，区间固定；对称轴对称轴固定，区间变动固定，区间变动.16知能迁移知能迁移2 2 已知函数已知函数f f(x x)=-)=-x x2 2+8+8x x,求函
12、数求函数f f(x x)在区间在区间 t t,t t+1+1上的最大值上的最大值h h(t t).).解解 f f（x x）=-=-x x2 2+8+8x x=-(=-(x x-4)-4)2 2+16+16 当当t t+14,+14,即即t t344时，时，f f(x x)在在 t t,t t+1+1上单调递减上单调递减.此时此时h h(t t)=)=f f(t t)=-)=-t t2 2+8+8t t.综上可知综上可知.)4(8)43(16)3(76)(22tttttttth17题型三题型三 幂函数的图象及应用幂函数的图象及应用 【例例3 3】点点(,2)(,2)在幂函数在幂函数f f(x
13、x)的图象上的图象上,点点 在幂函数在幂函数g g（x x）的图象上，问当）的图象上，问当x x为何值时，有为何值时，有 f f(x x)g g(x x)，f f(x x)=)=g g(x x)，f f(x x)g g(x x).).由幂函数的定义，求出由幂函数的定义，求出f f(x x)与与g g(x x)的解析式，再利用图象判断即可的解析式，再利用图象判断即可.解解 设设 则由题意得则由题意得 =2 =2，即，即f f（x x）=x x2 2，再设，再设 则由题意得则由题意得 =-2 =-2，即，即g g（x x）=x x-2-2，思维启迪思维启迪2)41,2(,)(xxf,)2(2,)(
14、xxg,)2(4118在同一坐标系中作出在同一坐标系中作出f f(x x)与与g g(x x)的图象，如图所示的图象，如图所示.由图象可知：由图象可知：当当x x1 1或或x x-1-1时，时，f f（x x）g g（x x）;当当x x=1 1时时,f f(x x)=)=g g(x x););当当-1-1x x1 1且且x x00时，时，f f（x x）g g（x x）.(1)(1)函数图象在解方程和不等式时有着函数图象在解方程和不等式时有着重要的应用重要的应用.(2)(2)注意本题中，注意本题中，g g（x x）的定义域为）的定义域为 x x|x x00，所以，所以中不包含中不包含x x=
15、0=0这一元素这一元素.探究提高探究提高19知能迁移知能迁移3 3 已知幂函数已知幂函数 的图象与的图象与x x、y y 轴都无公共点，且关于轴都无公共点，且关于y y轴对称，求整数轴对称，求整数n n的值并画的值并画 出该函数的草图出该函数的草图.解解 函数图象与函数图象与x x、y y轴都无公共点，轴都无公共点，n n2 2-2-2n n-30-30，-1-1n n3.3.又又n n为整数，为整数，n n-1-1，0 0，1 1，2 2，3.3.又图象关于又图象关于y y轴对称，轴对称，n n2 2-2-2n n-3-3为偶数为偶数.n n=-1=-1，1 1，3.3.322nnxy20
16、当当n n=-1=-1和和3 3时时,n n2 2-2-2n n-3=0-3=0，y y=x x0 0图象如图（图象如图（1 1）所示）所示;当当n n=1=1时，时，y y=x x-4-4，图象如图（，图象如图（2 2）所示）所示.图（图（1 1）图（图（2 2）21题型四题型四 幂函数的性质幂函数的性质 【例例4 4】已知幂函数已知幂函数 (m mN N*)的图象关于的图象关于y y轴对称，且在（轴对称，且在（0 0，+）上是减函数，）上是减函数，求满足求满足 的的a a的取值范围的取值范围.由由 (m mN N*)的图象关于的图象关于y y 轴对称知轴对称知m m2 2-2-2m m-3
17、-3为偶数为偶数,又在（又在（0 0，+）上是减函）上是减函 数，数，m m2 2-2-2m m-30-30，从而确定，从而确定m m值，再由函数值，再由函数f f(x x)=)=的单调性求的单调性求a a的值的值.322)(mmxxf322)(mmxxf33)23()1(mmaa思维启迪思维启迪3mx22解解 函数在函数在(0(0，+)+)上递减，上递减，m m2 2-2-2m m-30-30，解得，解得-1-1m m3.3-2+13-2a a00或或00a a+13-2+13-2a a或或a a+103-2+103-2a a.31)(xxf3131)23()1(aa23解得解得 故故a a
18、的取值范围为的取值范围为 1212分分 本题集幂函数的概念、图象及单调性、本题集幂函数的概念、图象及单调性、奇偶性于一体奇偶性于一体,综合性较强，解此题的关键是弄清幂综合性较强，解此题的关键是弄清幂函数的概念及性质函数的概念及性质.解答此类问题可分为两大步：第解答此类问题可分为两大步：第一步，利用单调性和奇偶性（图象对称性）求出一步，利用单调性和奇偶性（图象对称性）求出m m的的值或范围值或范围;第二步，利用分类讨论的思想，结合函数第二步，利用分类讨论的思想，结合函数的图象求出参数的图象求出参数a a的取值范围的取值范围.23321aa或.23321|aaa或探究提高探究提高24知能迁移知能迁
19、移4 4 指出函数指出函数 的单调区间的单调区间,并比较并比较 的大小的大小.解解 =1+(=1+(x x+2)+2)-2-2,其图象可由幂函数其图象可由幂函数y y=x x-2-2的图象向左平移的图象向左平移2 2个单位个单位,再再 向上平移向上平移1 1个单位得到，个单位得到，4454)(22xxxxxf)22()(ff与222)2(114454)(xxxxxxf25该函数在该函数在(-2(-2，+)+)上是减函数，在上是减函数，在(-(-，-2)-2)上是上是增函数，且其图象关于直线增函数，且其图象关于直线x x=-2=-2对称（如图所示）对称（如图所示）.).22()(,222)2(2
20、22)(2ff又26 1.1.二次函数的解析式有三种形式二次函数的解析式有三种形式:一般式、顶点式和一般式、顶点式和 两根式两根式.根据已知条件灵活选用根据已知条件灵活选用.2.2.二次函数的单调性只与对称轴和开口方向有关系二次函数的单调性只与对称轴和开口方向有关系,因此单调性的判断通常用数形结合法来判断因此单调性的判断通常用数形结合法来判断.3.3.幂函数幂函数 （R R）,其中其中 为常数为常数,其本质特征其本质特征 是以幂的底是以幂的底x x为自变量，指数为自变量，指数 为常数，这是判断一为常数，这是判断一 个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准.应
21、当注应当注 意并不是任意的一次函数、二次函数都是幂函数，意并不是任意的一次函数、二次函数都是幂函数，如如y y=x x+1+1，y y=x x2 2-2-2x x等都不是幂函数等都不是幂函数.方法与技巧方法与技巧xy 思想方法思想方法 感悟提高感悟提高274.4.在（在（0 0，1 1）上，幂函数中指数愈大，函数图象愈靠）上，幂函数中指数愈大，函数图象愈靠 近近x x轴（简记为轴（简记为“指大图低指大图低”），在（），在（1 1，+）上，）上，幂函数中指数越大，函数图象越远离幂函数中指数越大，函数图象越远离x x轴轴.1.1.幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会幂函数的图象一定会出现在
22、第一象限内，一定不会 出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限 内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同 时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相 交，则交点一定是原点交，则交点一定是原点.失误与防范失误与防范282.2.幂函数的定义域的求法可分幂函数的定义域的求法可分5 5种情况：种情况：为零；为零；为正整数；为正整数；为负整数；为负整数；为正分数；为正分数；为负分数为负分数.3.3.作幂函数的图象要联系函数的定义域、值域、单作幂函数的图象要联系函数的定义域、值域、单 调性、奇偶性等，只要作出幂函数在第一象限内的调性、奇偶性等，只要作出幂函数在第一象限内的 图象，然后根据它的奇偶性就可作出幂函数在定义图象，然后根据它的奇偶性就可作出幂函数在定义 域内完整的图象域内完整的图象.4.4.利用幂函数的图象和性质可处理比较大小、判断复利用幂函数的图象和性质可处理比较大小、判断复 合函数的单调性及在实际问题中的应用等类型合函数的单调性及在实际问题中的应用等类型.进一进一 步培养学生的数形结合、分类讨论等数学思想和步培养学生的数形结合、分类讨论等数学思想和 方法方法.
