1、第五章第五章 大数定理与中心极限定理大数定理与中心极限定理“概率是频率的稳定值概率是频率的稳定值”。前面已经提到，当。前面已经提到，当随机试验的次数无限增大时，频率总在其概随机试验的次数无限增大时，频率总在其概率附近摆动，逼近某一定值。大数定理就是率附近摆动，逼近某一定值。大数定理就是从理论上说明这一结果。正态分布是概率论从理论上说明这一结果。正态分布是概率论中的一个重要分布，它有着非常广泛的应用。中的一个重要分布，它有着非常广泛的应用。中心极限定理阐明，原本不是正态分布的一中心极限定理阐明，原本不是正态分布的一般随机变量总和的分布，在一定条件下可以般随机变量总和的分布，在一定条件下可以渐近服
2、从正态分布。这两类定理是概率统计渐近服从正态分布。这两类定理是概率统计中的基本理论，在概率统计中具有重要地位。中的基本理论，在概率统计中具有重要地位。5.1 大数定理大数定理22|XP 定理（切比雪夫定理（切比雪夫(Chebyshev)不等式）不等式）:设随机变量X具有数学期望E(X)=,方差D(X)=2,则对于任意正数,有221XP二、二、切比雪夫切比雪夫(Chebyshev)不等式不等式一、独立随机变量序列和依概率一、独立随机变量序列和依概率 收敛的定义收敛的定义|)(|xdxxpXP|kxkxXPXP证明证明 (1)设X的概率密度为p(x),则有(2)设离散型随机变量X的分布律为PX=x
3、k=pk,则有|22)(|xdxxpx2222)()(1dxxpx|22kxkkxXPx22221kkkpx41424|20|22XP 例例:在供暖的季节,住房的平均温度为20度,标准差为2度,试估计住房温度与平均温度的偏差的绝对值小于4度的概率的下界.解解4|20|XP4|20|1XP43411解解 时当2412222XP时当3913322XP1.2 大数定律大数定律1|)(11|lim11nkknkknXEnXnP 定义定义:设Xk是随机变量序列，数学期望E(Xk)(k=1,2,.)存在，若对于任意 0，有则称随机变量序列Xn服从大数定律服从大数定律.1|1|1limnkknXnP 切比雪
4、夫大数定理切比雪夫大数定理:设Xk是两两不相关的随机变量序列,具有相同的数学期望E(Xk)=和方差D(Xk)=2(k=1,2,),则对于任意给定的0,恒有注注:nkknkkXEnXnE11)(1)1(),2,1(ni 解解 所以,满足切比雪夫大数定理的条件,可使用大数定理.伯努里伯努里大数定律大数定律:设进行设进行n次独立重复试验，事次独立重复试验，事件件A发生的次数为发生的次数为 每次试验中事件每次试验中事件A发生的发生的概率为概率为p，则对任意的，则对任意的证明证明:设设01iX第第i次试验事件次试验事件A发生发生第第i次试验事件次试验事件A不发生不发生则则)1()(,)(ppXDpXEi
5、i由切由切比雪夫大数定律比雪夫大数定律iXiX,An0,有：|1limAnnPpn|1limAnnPpn 三、三、中心极限定理中心极限定理 在一定条件下,许多随机变量的极限分布是正态分布:“若一个随机变量X可以看着许多微小而独立的随机因素作用的总后果,每一种因素的影响都很小,都有不起压倒一切的主导作用,则X一般都可以认为近似地服从正态分布.”例如对某物的长度进行测量,在测量时有许多随机因素影响测量的结果.如温度和湿度等因素对测量仪器的影响,使测量产生误差X1;测量者观察时视线所产生的误差X1;测量者心理和生理上的变化产生的测量误差X3;显然这些误差是微小的、随机的,而且相互没有影响.测量的总误
6、差是上述各个因素产生的误差之和,即Xi.一般地,在研究许多随机因素产生的总影响时,很多可以归结为研究相互独立的随机变量之和的分布问题,而通常这种和的项数都很大.因此,需要构造一个项数越来越多的随机变量和的序列:,.2,1,1nXnii 我们关心的是当n时,随机变量和Xi的极限分布是什么?由于直接研究Xi的极限分布不方便,故先将其标准化为:)()(111niiniiniinXDXEXY再来研究随机变量序列Yn的极限分布.nknkknkknknkkknnkknBXXDXEXYXDB111112)()()(dtexYPtnn2221lim 定义：定义：设Xk为相互独立的随机变量序列,有有限的数学期望
7、E(Xk)=k和方差D(Xk)=k2,令若对于一切实数x,有则称随机变量序列Xk服从中心极限定理中心极限定理.nkknkknkknknkkknnXnnXXDXEXY11111)()()(21)(22limlimxdtexYPxFtnnnn 定理定理(独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理):设Xk为相互独立的随机变量序列,服从同一分布,且具有数学期望E(Xk)=和方差D(Xk)=2,则随机变量的分布函数Fn(x),对于任意x,满足例例:将一颗骰子连掷将一颗骰子连掷100100次，则点数之和不少于次，则点数之和不少于500500的概率是多少？的概率是多少？解解 设设Xk为第为第k 次掷
8、出的点数次掷出的点数,k=1,2,100,则则X1,X100独立同分布独立同分布.123544961)(,27)(61211ikXDXE由中心极限定理由中心极限定理1235102710050015001001iiXP0)78.8(1210190100YP21020019021020021052.01707.02dtexpnpnpYPtnn2221)1(lim 定理定理(De Moivre-Laplace中心极限定理中心极限定理):设随机变量Yn服从二项分布Yn B(n,p),(op105的近似值.解解:易知E(Vk)=5,D(Vk)=100/12,由独立同分布的中心极限定理知近似服从标准正态分
9、布N(0,1),于是 例例:在一家保险公司里有10000个人参加寿命保险，每人每年付12元保险费。在一年内一个人死亡的概率为0.6%，死亡时其家属可向保险公司领得1000元，问：(1)保险公司亏本的概率有多大？(2)其他条件不变，为使保险公司一年的利润不少于60000元，赔偿金至多可设为多少？解解 设设X表示一年内死亡的人数，则表示一年内死亡的人数，则XB(n,p),其中其中n=10000，p=0.6%，设设Y表示保险公司一年的利润，表示保险公司一年的利润，Y=10000 12-1000X于是于是由中心极限定理由中心极限定理 (1)PY0=P10000 12-1000X60000=P1000012-aX60000=PX 60000/a 0.9;9.0)994.0006.010000006.01000060000(a（2）设赔偿金为）设赔偿金为a元，则令元，则令3017 a由中心极限定理由中心极限定理,上式等价于上式等价于
