1、（理科）1开封市 2023 届高三年级第三次模拟考试数学（理科）参考答案开封市 2023 届高三年级第三次模拟考试数学（理科）参考答案一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）题号123456789101112答案ACBDCADADCCB二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）13.2,1 答案不唯一14.215.1316.2 21三、解答题（共三、解答题（共 70 分）分）17.（1）由频率分布直方图得：“锻炼时间达标”的学生的概率估计为0.0100.005100.15，2 分所以该校“锻炼时间达标”的学生
2、人数估计为1000 0.15150（人）.4 分（2）样本数据中：“锻炼时间达标”的学生人数为100 0.1515（人），其中女生有 5 人，男生有 10 人，“锻炼时间未达标”的女生人数为50545（人），男生人数为50 1040（人），所以 22 列联表为：锻炼时间达标锻炼时间未达标合计8 分男104050女54550合计1585100210010 455 401.96150 50 15 85k 2.706，10 分所以没有 90的把握认为“锻炼时间达标”与性别有关.12 分18.（1）记等差数列abc，的公差为d，设abdcbd，由7sin3sinAC得：73ac，即73bdbd，可得：
3、25db，3 分2222222222223321125cos.422214225bbdbdbacbbdBacbdbdbdb6 分（2）由11cos14B 得5 3sin14B，8 分115 315 3sin22144ABCSacBbdbd，10 分将25db代入解之可得5b.12 分19.（1）证明：连接AF，四边形ABCD是圆柱1OO的轴截面，AB为圆O的直径，AFBF，（理科）2又EF是圆柱的母线，EFABF 平面，BFABF 平面，EFBF，3 分又AFEFF，ADEF，BFADEF 平面，又P是线段AD的中点，平面ADEF即为平面EPF，BFEPF 平面,5 分BFBEF 平面，EPF
4、BEF平面平面.6 分（2）由（1）知BFEPF 平面，AF为AB在平面EPF内的射影，AB与平面EPF所成角为BAF，由已知60BAF，4AB，6BC，sin602 3,cos602BFABAFAB，7 分以F为坐标原点，,FB FA FE所在直线分别为,x y z轴建立空间直角坐标系，则0,0,0,0,0,6,0,2,3,2 3,0,0FEPB，0,2,3,2 3,0,6EPEB ，8 分BFEPF 平面，所以2 3,0,0FBEPF=是平面的一个法向量，9 分设,x y zn是平面EPB的一个法向量，则0,0,EPEB nn即230,2 360,yzxz令1x 得331,23n，10 分
5、2 32 3cos55 32 36FBFBFB n,nn，11 分所以二面角FPEB的余弦值为2 35.12 分20.（1）当1m 时，1PFx轴，设P点坐标为0cy，代入椭圆方程得：220221ycab，所以4202bya，即223bPAa，1 分又因为2221,2ceabca，2 分解得：2,3,1abc，所以椭圆C的标准方程为：22143xy.4 分（2）设00112212,:,:.P xyA xyB xyPA xt yc PB xt yc，5 分由222211xyabxt yc得：2 222241120b tayb ct yb，所以4102 221by yb ta，同理可得：4202
6、222by yb ta，7 分由1122,PFmF APFnF B 可得10200,0,myynyy8 分（理科）32222000000441201022 222 2212222222222222222220000120044400=()1(2)()()2)(222)yyyyyymnbbyyy yy yb tab tayyxcxcb tb tabbab xa ybbbyyb 所以，22224221110(22)3aa bbbb，10 分所以22335ab，又223ba，解得：22122334aabb或（舍），所以椭圆C的标准方程为：22143xy.12 分21.（1）函数 xf的定义域为，0，
7、1()fxax，1 分当0a时，()0fx，此时 xf在，0上单调递增；2 分当0a时，1()00fxxa，1()0fxxa，此时 xf在a10，上单调递增，在，a1上单调递减.3 分综上可知：当0a时，xf在，0上单调递增；当0a时，xf在a10，上单调递增，在，a1上单调递减.4 分（2）由（1）知：当0a时，xf在，0上单调递增，存在0mn，使得 xf的定义域为nm,，所以 nanmamxfln,ln，xff的定义域也为nm,，需满足：nmnanmam,ln,ln，6 分即ln10,ln10mamnan,设函数 xaxxh1ln，则上式转化为 00h mh n且，由1()+1h xax可
8、知：8 分当1a 时，()0h x，函数 xh在，0上单调递增，不成立；9 分当01a时，函数 xh在10,1a上单调递增，在1,1a上单调递减，因为 0h m，所以 011maxahxh，得11ea ，取211na，则aaah1111ln2112，设 2lneg xxx x，2()10g xx，所以 g x在e,上单调递减，所以 e2e0g xg，所以 0h n，成立.11 分（理科）4综上可知：a的取值范围为11,1e.12 分22.（1）3,2P，P的直角坐标为31，又等边OPQ的边长为 2，圆P的直角坐标方程为：43122yx，2 分CQ的直角坐标方程为：233xy，即023yx，CQ
9、的极坐标方程为：02sin3cos；4 分（2）设AB，两点的极坐标分别为,21BA，圆P的直角坐标方程为：43122yx，圆P的极坐标方程为：43sin1cos22，6 分即223sincos0，cossin321，直线CQ的极坐标方程为02sin3cos，cossin322，8 分122=23sincos43sincosOA OB.综上所述：OA OB为定值 4.10 分23.（1）根据三角形不等式得，babxaxbxaxxf，2 分 abc，f xc恒成立，不等式 f xc的解集为R.4 分（2）当1b 时，不等式 22f xa的解集非空，即存在x使不等式 221axaxxf成立，即 22minaxf成立，6 分 11axaxxf，1min axf，221aa，即221aa，8 分当,1a,121,21,22321aaaaa当,21 a,21,2121aaa当,2a,252,25,23221aaaaa综上所述：a的取值范围是25,21.10 分
