1、 唐山市 2023 年普通高等学校招生统一考试第二次模拟演练 数 学 注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上 2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效 3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知全集 UR，集合 Ax|x2，Bx|4x0，则 AB Ax|4x2 Bx|x0 Cx|2x0 Dx|x4 2i(3i)
2、的共轭复数为 A3i B3i C13i D13i 3 某校高三年级一共有 1200 名同学参加数学测验，已知所有学生成绩的第 80 百分位数是 103 分，则数学成绩不小于 103 分的人数至少为 A220 B240 C250 D300 4函数 f(x)2sin(2x3)的单调递减区间为 A(k12，k712)，kZ B(k12，k56)，kZ C(k6，k56)，kZ D(k6，k712)，kZ 5已知圆 C1：x2y22x0，圆 C2：(x3)2(y1)24，则 C1与 C2的位置关系是 A外切 B内切 C相交 D外离 6从 2 艘驱逐舰和 6 艘护卫舰中选出 3 艘舰艇分别担任防空、反潜
3、、巡逻任务，要求其中至少有一艘驱逐舰，则不同的安排方法种数为 A336 B252 C216 D180 7椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，直线 l 过 F2与 E 交于 A，B 两点，ABF1为直角三角形，且|AF1|，|AB|，|BF1|成等差数列，则 E 的离心率为 A12 B22 C32 D34 8已知函数 f(x)exexax2有三个极值点，则实数 a 的取值范围是 A(，1)B(，1 C1，)D(1，)二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错
4、的得 0 分 9如图，直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1的所有棱长均为 2，BAD60，则 AAB1与 BC1所成角的余弦值为14 BAB1与 BC1所成角的余弦值为34 CAB1与平面 BCC1B1所成角的正弦值为64 DAB1与平面 BCC1B1所成角的正弦值为104 10如图，ABC 是边长为 2 的等边三角形，连接各边中点得到A1B1C1，再连接A1B1C1的各边中点得到A2B2C2，如此继续下去，设AnBnCn的边长为 an，AnBnCn的面积为 Mn，则 AMn34a2n Ba24a3a5 Ca1a2an222n DM1M2Mn33 11已知向量 a(cos，cos)，b(sin
5、，sin)，c(1，1)，下列命题成立的是 A若 ab，则k（kZ）B若 ab1，则2k2（kZ）C若(ab)(ab)，则k2（kZ）D设 acm，bcn，当 m2n2取得最大值时，2k（kZ）12已知函数 f(x)及其导函数 g(x)的定义域均为 Rf(2x)f(42x)，f(x)f(x)0，当 x2，4时，g(x)0，g(1)1，则 Af(x)的图象关于 x1 对称 Bg(x)为偶函数 Cg(x)g(x4)0 D不等式 g(ex)1 的解集为(，0ln(8k1)，ln(8k1)（kN*）三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13某种产品的广告费支出 x（单位：万元）与
6、销售额 y（单位：万元）之间有如下对应数据：x 1 3 4 5 7 y 15 20 30 40 45 根据上表数据得到 y 关于 x 的经验回归方程为y 4.5xa，则 a 的值为_ 14已知直线 l：3xy2 30 过双曲线 C：x2a2y2b21（a0，b0）的一个焦点，且与 C 的一条渐近线平行，则 C 的实轴长为_ 15正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2，E，F 分别为棱 AB，BC 的中点，过 D1，E，F 做该正方体的截面，则截面形状为_，周长为_ 16x0，aexlnxlna0，则实数 a 的取值范围是_ 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证
7、明过程或演算步骤 17（10 分）已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，2sinAsinBcosCsin2C（1）求a2b2c2的值；（2）若 c2，求ABC 面积 S 的最大值 18（12 分）党的十八大以来，习近平总书记多次对职业病防治工作作出重要指示，并在全国卫生与健康大会上强调，推进职业病危害源头治理。东部沿海某蚕桑种植场现共有工作人员 110 人，其中有 22 人从事采桑工作，另外 88 人没有从事采桑工作（1）为了解职工患皮炎是否与采桑有关，现采用分层随机抽样的办法从全体工作人员中抽取 25人进行调查，得到以下数据：采桑 不采桑 合计 患皮炎 4 未患皮炎 18
8、 合计 25 请完成上表；依据小概率值 0.005 的独立性检验，分析患皮炎是否与采桑有关？（2）为了进一步了解职工职业病的情况，需要在上表患皮炎的工作人员中抽取 4 人做进一步调查，将其中采桑的人数记作 X，求 X 的分布列和期望 附：2n(adbc)2(ab)(cd)(ac)(bd)，其中 nabcd，19（12 分）已知数列an是正项等比数列，其前 n 项和为 Sn，bn是等差数列，且 a1b11，a2a3b6，a3b4（1）求an和bn的通项公式；（2）求数列anbn的前 n 项和 Tn；（3）证明：TnSnbnn1k1Sk(bkbk1)20（12 分）在四棱锥 PABCD 中，ADB
9、C，ABAD2，BC1，BAD120，PACD，PDAC，点 E 是棱 PD 上靠近点 P 的三等分点（1）证明：PA平面 ABCD；（2）若平面 PAC 与平面 EAC 的夹角的余弦值为3 1010，求四棱锥 PABCD 的体积 21（12 分）已知抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，A 为 C 上一点，B 为准线 l 上一点，BF2 FA，|AB|9（1）求 C 的方程；（2）M，N，E(x0，2)是 C 上的三点，若 kEMkEN43，求点 E 到直线 MN 距离的最大值 22（12 分）已知函数 f(x)xe2x（1）求 f(x)的极值；（2）若 a1，b1，ab，f(a)f(
10、b)4，证明：ab4 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 x 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 C D E B A P 唐山市 2023 年普通高等学校招生统一考试第二次模拟演练 数 学 参 考 答 案 一选择题：14BDBA 58CCBD 二选择题：9BC 10ABD 11AD 12BCD 三填空题：1312 142 15五边形，2 13 2 16 1 e，)第 15 题 第一空 2 分，第二空 3 分 四解答题：（若有其他解法，请参照给分）17解：（1）因为 2sinAsinBcosCsin2C，由正弦定理得，2abcos
11、Cc2，2 分 由余弦定理得，a2b2c2c2，2 分 整理得，a2b2c22 1 分（2）S 1 2absinC 1 分 因为 c2，由（1）可得 cosC2ab，1 分 则 sinC14a2b2 1 分 又 2c28a2b22ab，即 ab4，1 分 于是 S 1 2a2b24 1 2164 3 所以 S 的最大值为 3 1 分 18解：（1）采桑 不采桑 合计 患皮炎 4 2 6 未患皮炎 1 18 19 合计 5 20 25 2 分 零假设为 H0：患皮炎与采桑之间无关联根据列联表中的数据，经计算得到 225(41821)2619520 2 分 122511410.7467.879x0
12、.005 1 分 根据小概率值 0.005 的独立性检验，我们推断 H0不成立 即认为患皮炎与采桑之间有关联，此推断犯错误的概率不大于 0.005 1 分（2）用 X 表示抽取的 4 人中采桑的工作人员人数，X 的取值为：2，3，4 P(X2)C24C22C46 2 5，P(X3)C34C12C46815，P(X4)C44C02C46115 3 分 随机变量 X 的分布列为：X 2 3 4 P 2 5 815 115 1 分 则 E(X)2 2 538154115 8 3 2 分 19解：（1）设等比数列an的公比为 q，等差数列bn的公差为 d，qq215d，q213d，2 分 解得 d1，
13、q2，或 d 1 4，q 1 2，（舍去）1 分 故 an2n1，bnn 1 分（2）由（1）知 anbnn2n1，则 Tn120221322n2n1，则 2Tn121222323n2n 1 分 由得，Tn121222n1n2n 1 分 12n12n2n 1 分(1n)2n1 所以 Tn(n1)2n1 1 分（3）由（1）知，an2n1，bnn，所以 Sn2n1，1 分 n1k1Sk(bkbk1)S1(b1b2)S2(b2b3)Sn1(bn1bn)(S1S2Sn1)(1)(2112212n11)(1)2n2(n1)(1)(1)(2nn1)2 分 所以 Snbnn1k1Sk(bkbk1)(2n1
14、)n(1)(2nn1)(n1)2n1，即 TnSnbnn1k1Sk(bkbk1)1 分 20解：（1）在ABC 中，ABC60，AB2，BC1，由余弦定理可得，AC 3，2 分 从而有 AB2BC2AC2，所以 ACBC，1 分 ADBC，ACAD，PDAC，PDADD，AC平面 PAD，1 分 PA平面 PAD，ACPA 1 分 PACD，ACCDC，PA平面 ABCD 1 分（2）以 AC，AD，AP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系 Axyz，设 APt，则 A(0，0，0)，C(3，0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，t)，E(0，2 3，2 3t)，1 分
15、 由（1）知，AD平面 PAC，AD(0，2，0)是平面 PAC 的一个法向量1 分 设平面 EAC 的法向量 n(x，y，z)，AC(3，0，0)，AE(0，2 3，2 3t)，由 ACn0，AEn0 得3x0，2 3y 2 3tz0，取 n(0，t，1)2 分 因为平面 PAC 与平面 EAC 的夹角的余弦值为3 1010 所以|cosAD，n|AD n|AD|n|2t|2 1t23 1010，解得 t3 1 分 所以四棱锥 PABCD 的体积 V 1 3 1 2(12)333 32 1 分 21解：（1）过 A 做准线 l 的垂线，交 l 于点 A1，准线 l 交 x 轴于点 F1，由抛
16、物线的定义可知，|AA1|AF|1 3|AB|3，1 分 由BFF1BAA1，BF2 FA，可得|BF|BA|FF1|AA1|2 3，1 分 所以 F 到准线 l 的距离 p|FF1|2，1 分 则 C 的方程为 y24x 1 分 （2）E(x0，2)在抛物线 C 上，所以 x01，1 分 设直线 MN 的方程为 xtyn，M(x1，y1)，N(x2，y2)，将 xtyn 代入 y24x，得 y24ty4n0 则 y1y24t，y1y24n 1 分 kEMy12x11y12y21414y12，同理 kEN4y22 1 分 kEMkEN4y124y224(y1y2)16y1y22(y1y2)41
17、6t164n8t4 4 3，2 分 整理得，nt2，1 分 直线 MN 的方程为 xtyt2，所以直线 MN 过定点 T(2，1)1 分 当 ETMN 时，点 E 到直线 MN 距离最大，且最大距离为|ET|10 1 分 22解：（1）因为 f(x)xe2x，所以 f(x)(1x)e2x，1 分 由 f(x)0，解得 x1，由 f(x)0，解得 x1，所以 f(x)在(，1)单调递增，在(1，)单调递减，2 分 因此，f(x)在 x1 处取得极大值 e，无极小值 1 分（2）由（1）可知，f(x)在(1，)单调递减，f(2)2，1 分 且 a1，b1，ab，f(a)f(b)4，不妨设 1a2b
18、，要证 ab4，只要证 b4a，而 b2，24a3，且 f(x)在(1，)单调递减，所以只要证 f(b)f(4a)，1 分 即证 4f(a)f(4a)，即证 f(a)f(4a)4 1 分 即证当 1x2 时，f(x)f(4x)4 令 F(x)f(x)f(4x)，1x2，则 F(x)f(x)f(4x)(1x)e2xex2(x3)1 分 令 h(x)(1x)e2xex2(x3)，1x2，则 h(x)e2x(x2)ex2(x2)(x2)(e2xex2)，1 分 因为 1x2，所以 x20，e2xex20，所以 h(x)0，即 h(x)在(1，2)单调递减，1 分 则 h(x)h(2)0，即 F(x)0，所以 F(x)在(1，2)单调递增，1 分 所以 F(x)F(2)2f(2)4 即当 1x2 时，f(x)f(4x)4 所以，原命题成立 1 分 x z y
