1、20232023年年4 4月稽阳联谊学校高三联考月稽阳联谊学校高三联考数学试题卷数学试题卷一、选择题：本题共一、选择题：本题共8 8小题，每小题小题，每小题5 5分，共分，共4040分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.若集合A=x log22x-13，B=x 3-2x1，则A R RB=()A.1,92B.2,72C.1,72D.2,922.若复数z满足iz=1-2i，则z=()A.-2-iB.-2+iC.2+iD.2-i3.在正方形ABCD中，O为两条对角线的交点，E为边BC上中点，记AC=m，DO=n，则AE=()A
2、.14m+12nB.14m-12nC.34m+12nD.34m-12n4.双曲函数是一类与常见三角函数类似的函数，在生活中有着广泛的应用，如悬链桥常见的有双曲正弦函数sinhx=ex-e-x2，双曲余弦函数coshx=ex+e-x2下列结论不正确的是()A.coshx2-sinhx2=1B.cosh x+y=coshxcoshy-sinhxsinhyC.双曲正弦函数是奇函数，双曲余弦函数是偶函数D.若点P在曲线y=sinhx上，为曲线在点P处切线的倾斜角，则4,25.甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是()A.120B.210C.211D.21
3、66.函数 f x=2sin 2x+2的图象向左平移6个单位长度后对应的函数是奇函数，函数g x=1+3cos2x若关于 x 的方程 f x+g x=-12在 0,内有两个不同的解，则cos-的值为()A.-24B.24C.12D.227.已知lnx-ax2-b0在 0,+上恒成立，则a+2b的最小值是()A.0B.-1C.-ln4D.-ln28.九章算术 中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑现有鳖臑 S-ABC，其中SA平面ABC，ABBC，过A作ADSB，AESC，记四面体S-ADE，四棱锥A-BCED，鳖臑S-ABC的外接球
4、体积分别为V1，V2，V，则V1+V2V的取值范围是()A.22,1 B.1,2C.2,2D.3,2二、选择题：本题共二、选择题：本题共4 4小题，每小题小题，每小题5 5分，共分，共2020分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得得5 5分，部分选对的得分，部分选对的得2 2分，有选错的得分，有选错的得0 0分分19.已知某地区某周7天每天的最高气温分别为23，25，13，10，13，12，19(单位)则()A.该组数据的平均数为1157B.该组数据的中位数为13C.该组数据的第70百分位数为16D.该组数据的极差为151
5、0.如图，多面体ABCDEF的8个面都是边长为2的正三角形，则()A.AECFB.平面EAB平面FABC.直线EA与平面ABCD所成的角为4D.点E到平面ABF的距离为2 6311.定义：若存在正实数M使anM nN N*，则称正数列 an为有界正数列已知数列 an满足an=ln n2+1n+1，Sn为数列 an的前n项和则()A.数列 an为递增数列B.数列 Sn为递增数列C.数列 an为有界正数列D.数列 Sn为有界正数列12.已知函数 f x=12x+k-23,2kx2k+43,2x-2k-83,2k+43x0”的否定为14.已知甲盒中有3个红球2个白球，乙盒中有4个红球1个白球，从甲盒
6、中随机取1球放入乙盒，然后再从乙盒中随机取2球，记取到红球的个数为随机变量X，则X的期望为15.已知正数x，y满足x x+2y=9，则yx+y2的最大值为16.已知椭圆:x2a2+y2b2=1 ab0的左，右焦点为F1，F2，上顶点为P，直线PF1交于点Q，若5 QF2=4 PQ，则椭圆的离心率是四、解答题：本题共四、解答题：本题共6 6小题，共小题，共7070分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.(10分)设数列 an的前n项和为Sn，已知Sn+1=2annN N*()求 an的通项公式；()设bn=an,n为奇数,n,n为偶数,求数列 bn的
7、前n项和为Tn218.(12分)如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB=AC，AM=2MC，C1N=2NA1()证明：B1C平面BMN；()若BC=3AB，求二面角B-MN-A的余弦值19.(12分)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知cos2A-cos2B=8sinBsinCcosA()证明：tanA=-3tanB；()若ABC的面积为a26，求B20.(12分)甲、乙两个学校分别有n+1位同学和n位同学参加某项活动，假定所有同学成功的概率都是12，所有同学是否成功互不影响.记事件 A=“甲成功次数比乙成功次数多一次”，事件 B=“甲成功次数等于乙成功次数”()若
8、n=3，求事件A发生的条件下，恰有5位同学成功的概率；()证明：P A=P B321.(12 分)已知F为抛物线 C:y2=2px p0的焦点，过点 P-1,1的直线与抛物线 C交于不同的两点 A,B，满足AFAP=BFBP()求抛物线C的方程；()过点B且斜率为2的直线与直线PF交于点Q，BQ=QM，证明：直线AM经过定点22.(12分)已知 f x=ex-1sinx，x 0,2()求 f x在点P,f 的切线方程；()设g x=f x-x2，x 0,2，判断g x的零点个数，并说明理由420232023年年4 4月稽阳联谊学校高三联考数学参考答案月稽阳联谊学校高三联考数学参考答案一、选择题
9、：ABCBDBDA1答案A解析：A=12,92,B=,1，则A RB=1,92，故选A.2答案B解析：z=2i，从而z=2+i，故选B.3答案C解析：AE=AC+CE=AC+12OB OC=m+12n12m=34m+12n，故选C.4答案B解析：cosh x+y=ex+y+e c+y2,coshxcoshysinhxsinhy=exy+eyx2,故选B.5答案D解析：A36+C23A26+C33A16=216，故选D.6答案B解析：=3，g x=2cos 2x+4，可知2+4+2+4=3，则+=54，cos=cos542=sin4+2=24，故选B.7答案D解析：lnxax2b0lnx22ax
10、22b0，记 f x=lnx2ax2b，x 0,+，fx=1x2a，fmaxx=f12a=ln 2a12b02bln 2a1，a+2baln 2a1ln2.故选D.8答案A.记四面体S-ADE，四棱锥A-BCED，鳖臑S-ABC的外接球半径分别为r1,r2,r，记SA=2a,AC=2b,SC=2c，易知AD面SBC，则r1=SA2=a，r2=AC2=b,r=SC2=cV1+V2V=a3+b3c3=a3+b3a2+b231，当且仅当a=b时，V1+V2Vmin=22，故选A.二、选择题：ABDACDBCABD9答案：ABD解析：该组数据的第70百分位数为19，故C错误10答案：ACD解析：如图，
11、由BAE,BEC,BCF,BFA为正三角形可得AECF为正方形，故AECF，故A正确；取AB中点为M，EMF为二面角E-AB-F的平面角，由EM=FM=3，EF=2 2，得EMF90，故B错误；EAC为直线EA与平面ABCD所成的角，由EA=EC=2，AC=2 2，得EMF=45，故C正确；EMF中边MF上的高即为点E到平面ABF的距离，由EM=FM=3，EF=2 2，得高为边MF上的高为2 63，故D正确11答案：BC解析：设f(x)=ln(x2+1)x+1，f(x)=ln(x2+1)x+1=2x(x+1)x2+1-ln(x2+1)(x+1)23x2+3x2+1-ln(x2+1)(x+1)2
12、0，所以数列Sn为递增数列，故B正确；由an=ln(n2+1)n+1ln2n+1ln2ln 1+1n+1得Snln2(ln(n+2)-ln2)，故D错误12答案：ABD解析：函数f(x)为连续函数，故A正确；1f(x+2)=12x+k+43,2kx2k+43,2x-2k-23,2k+43x2k+2,(kZ)，f(f(x+2)=212x+k+43-2k-83,2kx2k+43,122x-2k-23+k+1-23,2k+43x-1，故C错误；f(x)-x=-12x+k-23,2kx2k+43,x-2k-83,2k+43x2k+2,-122k+k-23,2kx2k+43,2k+2-2k-83,2k+
13、43x2k+2,=-23 所以f(x)+f(x+1)x-23+x+132x，故D正确三、填空题13答案：x0(1,+),x0014答案：y2-x24=1，答案不唯一15答案：16解析：y(x+y)2=y9+y21616答案：55解析：设|QF2|=4t，|PQ|=5t，故|QF1|=2a-4t，|PF1|=9t-2a=a，得t=13a，所以|QF2|=43a，|PQ|=53a，所以cosF1PF2=35，故4c2=2a2-65a2=45a2，解得e=55四、解答题17、解：(I)当n=1时，a1=1，当n2时，Sn+1=2anSn-1+1=2an-1 an=2an-1，所以an=2n-13分(
14、II)bn=2n-1，n为奇数，n，n为偶数，当n为偶数时，Tn=(b1+b3+bn-1)+(b2+b4+bn)=(20+22+2n-2)+(2+4+n)=2n-13+n(n+2)46分当n为奇数时，Tn=(b1+b3+bn)+(b2+b4+bn-1)=(20+22+2n-1)+(2+4+n-1)=2n+1-13+n2-149分综上可知Tn=2n-13+n(n+2)4,n为偶数2n+1-13+n2-14,n为奇数10分18、解：(I)如图，延长MN，AA1交于P，连结PB，设AB1PB=Q，连结MQ2由PA1PA=NA1MA=12可知，PA=2AA1，所以BB1PA=QB1QA=12，所以MQ
15、 CB1，又CB1平面BMN所以B1C平面BMN6分(II)过点A作平面ABB1A1的垂线Az，因为AB，AA1，Az两两互相垂直，可以建立空间直角坐标系，因为BC=3AB，所以BAC=120，设AB=3a，所以B(3a,0,0)，M(-a,0,3a)，N-a2,3a,3a2所以BM=(-4a,0,3a)，BN=-72a,3a,3a2，所以平面BMN的法向量n1=(2 3,3,8)又AM=(-a,0,3a)，AN=-a2,3a,3a2，所以平面AMN的法向量n2=(3,0,1)所以cos n1,n2=14279=7 7979所以二面角B-MN-A的余弦值是7 797912分19、解：(I)co
16、s2A-cos2B=8sinBsinCcosAcos(A+B)+(A-B)-cos(A+B)+(A-B)=8sinBsinCcosA-2sin(A+B)sin(A-B)=8sinBsinCcosA-sin(A-B)=4sinBcosA-sinAcosB+cosAsinB=4sinBcosA-sinAcosB=3sinBcosAtanA=-3tanB6分(II)SABC=12absinC=a263sinBsinC=sinA3sinBsinAcosB+3sinBcosAsinB=sinAtanA=3sin2B1-3sinBcosB3-3tanB=3tan2BtanB2-3tanB+3tanB2-4
17、tanB+3=0tanB=1或tanB=3若tanB=3，则60B120，三角形不存在所以B=4512分20、解：(I)因为P(A)=C14124123+C24124 C13123+C34124 C23123+C44124 C33123=3527，P(AB)=C34124C23123=1227，所以P(B|A)=12356分(II)P(A)=C1n+1C0n+C2n+1C1n+C3n+1C2n+Cn+1n+1Cnn22n+1P(B)=C0n+1C0n+C1n+1C1n+C2n+1C2n+Cnn+1Cnn22n+1因为Ck+1n+1Ckn=Cn-kn+1Cn-kn，k=0,1,2,n所以P(A)
18、=P(B)12分21、解：(I)设A(x1,y1),B(x2,y2)，由|AF|AP|=|BF|BP|得x1+p2x1+1=x2+p2x2+12分解得p=2，故抛物线C的方程为y2=4x4分(II)联立lPF:y=-12x+12与lBQ:y=2x-2x2+y2得Q45x2-25y2+15,-25x2+15y2+25由BQ=QM 得M35x2-45y2+25,-45x2-35y2+45要证A，F，M三点共线，即证y1x1-1=-4x2-3y2+43x2-4y2-3，8分设直线AB的方程为x=my-m-1，将x1=my1-m-1与x2=my2-m-1代入得y1my1-m-2=(-4m-3)y2+4
19、m+8(3m-4)y2-3m-6，化简得(m+2)(4m-2)y1y2-(4m+3)(y1+y2)+4(m+2)=0联立x=my-m-1与y2=4x得y2-4my+4m+4=0，故y1y2=4m，y1+y2=4m+4，所以(4m-2)y1y2-(4m+3)(y1+y2)+4(m+2)=(4m-2)(4m+4)-4m(4m+3)+4(m+2)=0，故成立，所以A，F，M三点共线12分22、解：(I)f(x)=ex(sinx+cosx)-cosx f()=-e+1，又f()=0所以切线方程是y=(1-e)(x-)2分(II)g(x)=(ex-1)sinx-x2当x,2)时，因为(ex-1)sinx
20、0，-x20，所以g(x)0，即g(x)无零点4分4当x2,时，g(x)=ex(sinx+cosx)-cosx-2x，g(x)=2excosx+sinx-2因为2excosx0，sinx-20，所以g(x)0 e2-0e2，g()=-e+1-2e2-40，所以g(x0)g20，而g()=-20所以g(x)在2,上存在唯一零点8分当x 0,2时，设h(x)=g(x)，则h(x)=2ex(cosx-sinx)+cosx，h(x)=-4exsinx-sinx因为-4exsinx-sinx0，所以h(x)0，h2=-2e20，所以存在x1 0,2，使得g(x)在(0,x1)上递增，在x1,2上递减又g(0)=0，g2=-10，所以g(x)在0,2上递增，所以g(x)g(0)=0所以g(x)在0,2上无零点综上可知，g(x)在(0,2)上存在唯一零点12分5
