1、反比例函数【知识点梳理】一、 反比例函数的定义函数（k为常数，k0）叫做反比例函数，其中k叫做比例系数，x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。二、 反比例函数的图形反比例函数（k为常数，k0）的图像由两条曲线组成，每条曲线随着x的不断增大（或减小）越来越接近坐标轴，反比例函数的图像属于双曲线。三、 反比例函数的性质 反比例函数（k为常数，k0）的图像是双曲线； 当k0时，函数图像的两个分支分别位于第一、第三象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y随x的增大而减小； 当k0时，函数图像的两个分支分别位于第二、第四象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y随x的增大而
2、增大。 注意：（1） 反比例函数（k为常数，k0）的取值范围是x0，因此， 图像是断开的两条曲线，画图像时，不要把两个分支连接起来， 叙述反比例函数的性质时，一定要加上“在每一个象限内”， 如当k0时，双曲线的两支分别在第一、第三象限内，在每一个象限内，y随x的增大而减小， 这是由于x0，即x0或x0的缘故。 如果笼地叙述为k0，y随x的增大而增大就是错误的。（2） 由于反比例函数中自变量x和函数y的值都不能为零，所以图像和x轴、y轴都没有交点，但画图时要体现出图像和坐标轴无限贴近的趋势。（3） 在画出的图像上要注明函数的解析式。四、 反比例函数解析式的求法 反比例函数的解析式（k0）中，只有
3、一个系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数的解析式，因此，只需给出一组x、y的对应值或图像上一点的坐标，利用待定系数法，即可确定反比例函数的解析式。【典例解析】考点1：反比例函数的概念【例1】已知（1） 如果y是x正比例函数，求m的值；（2） 如果y是x反比例函数，求m的值。【例2】已知yy1y2，其中y1与x成反比例，y2与x2成正比例，且y1、y2所表示的函数图像相交于点P（1,5）。求当x5时，y的值。DBACEFOxy变式训练1：1. 已知函数是反比例函数，则m的值是 ；2. 若y与成反比例函数，x与成正比例函数，则y是z的（ ）A. 正比例函数 B.反比例函数 C.一次函数 D.
4、二次函数考点2：反比例函数的图像和性质【例3】若M（，y1）、N（，y2）、P（，y3）三点都在函数的图像上，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）A. y2y3y1 B.y2y1y3 C.y3y1y2 D.y3y2y1【例4】如图，一次函数yx3的图像与x轴，y轴交于A、B两点，与反比例函数的图像相交于C、D两点，分别过C、D两点作y轴、x轴的垂线，垂足为E、F，连接CF、DE。有下列四个结论：CEF与DEF的面积相等；AOBFOE；DCECDF；ACBD。其中正确的结论是 ；变式训练2：1. 如图，过点C（1,2）分别作x轴、y轴的平行线，交直线yx6于A、B两点，若反比例函数y（x0）的图
5、像与ABC有公共点，则k的取值范围是（ ）xyCABOA.2k9 B.2k8 C.2k5 D.5k8 xyNPFAMyBE2. 如图，P是函数（x0）的图像上的一点，直线yx1,分别交x轴、y轴于点A、B，过点P分别作PMX轴于点M，交AB于点E，作PNy轴于点N，交AB于点F，则AFBE的值为 ；考点3：反比例函数（k0）中的比例系数k的几何意义与面积法的综合应用xyABCO【例5】如图，正方形OABC的面积是4，点B在反比例函数（k0，x0）的图像上，若点R是该反比例函数图像上异于点B的任意一点，过点R分别作x轴、y轴的垂线，垂足为M、N，从矩形OMRN的面积中减去其与正方形OABC重合部
6、分的面积，记剩余部分的面积为S，则当Sm（m为常数，且0m4）时，则点R的坐标是 ；（用含m的代数式表示）变式训练3：1. 如图，若点M是x轴正半轴上的任意一点，过点M作PQy轴，分别交函数（x0）和（x0）的图像上点P和点Q，连接OP、OQ，则下列结论正确的是（ ）A. POQ不可能等于90 B. B. 这两个函数的图像一定关于x轴对称 D.POQ的面积是xyPMQOXYEFOCDBAG2. 如图，点A（x1，y1）、B（x2，y2）都在双曲线（x0）上，且x2x14，y1y22；分别过点A、B向x轴、y轴作垂线段，垂足分别为C、D、E、F，AC与BF相交于点G，四边形FOCG的面积是2，五
7、边形AEODB的面积是14，那么双曲线的解析式为 ；考点4：函数综合题（待定系数法数形结合、函数与方程思想、分类讨论思想）【例6】已知反比例函数与一次函数y2x1，其中一次函数的图像经过（a，b）、（a1，bk）两点。（1） 求反比例函数的解析式；（2） 如图，已知A点是上述两函数图像在第一象限内的交点，求A点的坐标；xAyO（3） 利用（2）的结果，在x轴上是否存在点P，使AOP为等腰三角形？若存在，请把所有符合条件的P点坐标都求出来；若不存在，请说明理由。【例7】如图，已知双曲线，经过点D（6,1），点C是双曲线第三象限上的动点，过C作CAx轴，过D作DBy轴，垂足分别为A、B，连接AB、
8、BC。（1） 求k的值；（2） 若BCD的面积为12，求直线CD的解析式；xyBACDO（3） 判断AB与CD的位置关系，并说明理由。变式训练4：如图，直线ykx4与函数（x0，m0）的图像交于A、B两点，且与x、y轴分别交于C、D两点。（1） 若直线ykx4与直线yx2平行，且AOD的面积为2，求m的值；（2） 若COD的面积是AOB的面积的倍，过A作AEx轴于E，过B作BFy轴于F，AE与BF交于H点。求AHOD的值；求k与m之间的函数关系式；（3） 若点P坐标为（2,0），在（2）的条件下，是否存在k，m，使得APB为直角三角形，且APB90，若存在，求出k，m的值，若不存在，请说明理由。xCOEBHFADy
