1、.等比数列知识点并附例题及解析1、等比数列的定义：，称为公比2、通项公式：，首项：；公比：推广：3、等比中项：（1）如果成等比数列，那么叫做与的等差中项，即：或注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（2）数列是等比数列4、等比数列的前项和公式：（1）当时，（2）当时，（为常数）5、等比数列的判定方法：（1）用定义：对任意的，都有为等比数列（2）等比中项：为等比数列（3）通项公式：为等比数列6、等比数列的证明方法：依据定义：若或为等比数列7、等比数列的性质：（2）对任何，在等比数列中，有。（3）若，则。特别的，当时，得 注：（4）数列，为等比数列，则数列，（为非零常数）均为等比
2、数列。（5）数列为等比数列，每隔项取出一项仍为等比数列（6）如果是各项均为正数的等比数列，则数列是等差数列（7）若为等比数列，则数列，成等比数列（8）若为等比数列，则数列，成等比数列（9）当时， 当时，当时，该数列为常数列（此时数列也为等差数列）；当时,该数列为摆动数列.（10）在等比数列中，当项数为时，二 例题解析【例1】 已知Sn是数列an的前n项和，Snpn(pR，nN*)，那么数列an（ ）A 是等比数列 B当p0时是等比数列B C当p0，p1时是等比数列 D不是等比数列【例2】 已知等比数列1，x1，x2，x2n，2，求x1x2x3x2n式；(2)已知a3a4a58，求a2a3a4a
3、5a6的值【例4】 求数列的通项公式：(1)an中，a12，an+13an2(2)an中，a1=2，a25，且an+23an+12an0三、 考点分析考点一：等比数列定义的应用1、数列满足，则_2、在数列中，若，则该数列的通项_考点二：等比中项的应用1、已知等差数列的公差为，若，成等比数列，则（ ）A B C D2、若、成等比数列，则函数的图象与轴交点的个数为（ ）AB CD不确定3、已知数列为等比数列，求的通项公式考点三：等比数列及其前n项和的基本运算1、若公比为的等比数列的首项为，末项为，则这个数列的项数是（ ）A B C D2、已知等比数列中，则该数列的通项_3、若为等比数列，且，则公比
4、_4、设，成等比数列，其公比为，则的值为（ ）AB C D5、等比数列an中，公比q=且a2+a4+a100=30，则a1+a2+a100=_.考点四：等比数列及其前n项和性质的应用1、在等比数列中，如果，那么为（ ）A B C D2、如果，成等比数列，那么（ ）A，B，C， D，3、在等比数列中，则等于（ ）ABCD4、在等比数列中，则等于（ ）A B C D5、在等比数列中，和是二次方程的两个根，则的值为（ ）ABCD6、若是等比数列，且，若，那么的值等于 考点五：公式的应用1、若数列的前n项和Sn=a1+a2+an，满足条件log2Sn=n，那么an是( )A.公比为2的等比数列 B.公
5、比为的等比数列C.公差为2的等差数列 D.既不是等差数列也不是等比数列2、 等比数列前n项和Sn=2n-1，则前n项的平方和为( )A. (2n-1)2 B.(2n-1)2 C.4n-1 D.(4n-1)3、 设等比数列an的前n项和为Sn=3n+r，那么r的值为_.一、等差和等比数列比较：等差数列等比数列定义递推公式；通项公式（）中项（）（）前项和重要性质二、等差数列的定义与性质定义：（为常数）， 通项：等差中项：成等差数列前项和：性质：是等差数列（1）若，则（2）数列仍为等差数列，仍为等差数列，公差为；（3）若是等差数列，且前项和分别为，则（4）为等差数列（为常数，是关于的常数项为0的二次
6、函数，可能有最大值或最小值）（5）项数为偶数的等差数列，有，.(6)项数为奇数的等差数列，有， ，.三、等比数列的定义与性质定义：（为常数，），通项：.等比中项：成等比数列，或.前项和： （要注意q ！）性质：是等比数列（1）若，则（2）仍为等比数列,公比为.四、数列求和的常用方法：1 、裂项分组法：、 2、 错位相减法：凡等差数列和等比数列对应项的乘积构成的数列求和时用此方法，例：求：解： 减 得： 从而求出。错位相减法的步骤：(1)将要求和的杂数列前后各写出三项，列出式；(2)将式左右两边都乘以公比q，得到式；(3)用，错位相减；(4)化简计算。3、倒序相加法：前两种方法不行时考虑倒序相加
7、法例：等差数列求和： 两式相加可得：即 ：所以等比数列例题解析【例1】 已知Sn是数列an的前n项和，Snpn(pR，nN*)，那么数列an A是等比数列B当p0时是等比数列C当p0，p1时是等比数列D不是等比数列【例2】 已知等比数列1，x1，x2，x2n，2，求x1x2x3x2n式；(2)已知a3a4a58，求a2a3a4a5a6的值【例4】 已知a0，b0且ab，在a，b之间插入n个正数x1，x2，xn，使得a，x1，x2，xn，b成等比数列，求【例5】 设a、b、c、d成等比数列，求证：(bc)2(ca)2(db)2(ad)2【例6】 求数列的通项公式：(1)an中，a12，an+13
8、an2(2)an中，a1=2，a25，且an+23an+12an0【例8】 若a、b、c成等差数列，且a1、b、c与a、b、c2都成等比数列，求b的值【例9】 已知等差数列an的公差和等比数列bn的公比都是d，又知d1，且a4=b4，a10=b10：(1)求a1与d的值；(2)b16是不是an中的项？【例11】 三个数成等比数列，若第二个数加4就成等差数列，再把这个等差数列的第3项加32又成等比数列，求这三个数【例12】 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数【例13】 已知三个数成等差数列，其和为126
9、；另外三个数成等比数列，把两个数列的对应项依次相加，分别得到85，76，84求这两个数列【例14】 已知在数列an中，a1、a2、a3成等差数列，a2、a3、a4成等比数列，a3、a4、a5的倒数成等差数列，证明：a1、a3、a5成等比数列【例15】 已知(bc)logmx(ca)logmy(ab)logmz=0(1)设a，b，c依次成等差数列，且公差不为零，求证：x，y，z成等比数列(2)设正数x，y，z依次成等比数列，且公比不为1，求证：a，b，c成等差数列等比数列例题解析【例1】 已知Sn是数列an的前n项和，Snpn(pR，nN*)，那么数列an A是等比数列B当p0时是等比数列C当p
10、0，p1时是等比数列D不是等比数列分析 由Snpn(nN*)，有a1=S1p，并且当n2时，an=SnSn-1pnpn-1(p1)pn-1但满足此条件的实数p是不存在的，故本题应选D说明 数列an成等比数列的必要条件是an0(nN*)，还要注【例2】 已知等比数列1，x1，x2，x2n，2，求x1x2x3x2n解 1，x1，x2，x2n，2成等比数列，公比q21q2n+1x1x2x3x2nqq2q3q2n=q1+2+3+2n式；(2)已知a3a4a58，求a2a3a4a5a6的值a42【例4】 已知a0，b0且ab，在a，b之间插入n个正数x1，x2，xn，使得a，x1，x2，xn，b成等比数
11、列，求证明 设这n2个数所成数列的公比为q，则b=aqn+1【例5】 设a、b、c、d成等比数列，求证：(bc)2(ca)2(db)2(ad)2证法一 a、b、c、d成等比数列b2ac，c2bd，adbc左边=b22bcc2c22aca2d22bdb2=2(b2ac)2(c2bd)(a22bcd2)a22add2(ad)2右边证毕证法二 a、b、c、d成等比数列，设其公比为q，则：baq，caq2，d=aq3左边(aqaq2)2(aq2a)2(aq3aq)2a22a2q3a2q6=(aaq3)2(ad)2=右边证毕说明 这是一个等比数列与代数式的恒等变形相综合的题目证法一是抓住了求证式中右边没
12、有b、c的特点，走的是利用等比的条件消去左边式中的b、c的路子证法二则是把a、b、c、d统一化成等比数列的基本元素a、q去解决的证法二稍微麻烦些，但它所用的统一成基本元素的方法，却较证法一的方法具有普遍性【例6】 求数列的通项公式：(1)an中，a12，an+13an2(2)an中，a1=2，a25，且an+23an+12an0思路：转化为等比数列an1是等比数列an1=33n-1 an=3n1an+1an是等比数列，即an+1an=(a2a1)2n-1=32n-1再注意到a2a1=3，a3a2=321，a4a3=322，anan-1=32n-2，这些等式相加，即可以得到说明 解题的关键是发现
13、一个等比数列，即化生疏为已知(1)中发现an1是等比数列，(2)中发现an+1an是等比数列，这也是通常说的化归思想的一种体现证 a1、a2、a3、a4均为不为零的实数上述方程的判别式0，即又a1、a2、a3为实数因而a1、a2、a3成等比数列a4即为等比数列a1、a2、a3的公比【例8】 若a、b、c成等差数列，且a1、b、c与a、b、c2都成等比数列，求b的值解 设a、b、c分别为bd、b、bd，由已知bd1、b、bd与bd、b、bd2都成等比数列，有整理，得bd=2b2d 即b=3d代入，得9d2=(3dd1)(3dd)9d2=(2d1)4d解之，得d=4或d=0(舍)b=12【例9】
14、已知等差数列an的公差和等比数列bn的公比都是d，又知d1，且a4=b4，a10=b10：(1)求a1与d的值；(2)b16是不是an中的项？思路：运用通项公式列方程(2)b16=b1d15=32b1b16=32b1=32a1，如果b16是an中的第k项，则32a1=a1(k1)d(k1)d=33a1=33dk=34即b16是an中的第34项解 设等差数列an的公差为d，则an=a1(n1)d解这个方程组，得a1=1，d=2或a1=3，d=2当a1=1，d=2时，an=a1(n1)d=2n3当a1=3，d=2时，an=a1(n1)d=52n【例11】 三个数成等比数列，若第二个数加4就成等差数
15、列，再把这个等差数列的第3项加32又成等比数列，求这三个数解法一 按等比数列设三个数，设原数列为a，aq，aq2由已知：a，aq4，aq2成等差数列即：2(aq4)=aaq2a，aq4，aq232成等比数列即：(aq4)2=a(aq232)解法二 按等差数列设三个数，设原数列为bd，b4，bd由已知：三个数成等比数列即：(b4)2=(bd)(bd)bd，b，bd32成等比数列即b2=(bd)(bd32)解法三 任意设三个未知数，设原数列为a1，a2，a3由已知：a1，a2，a3成等比数列a1，a24，a3成等差数列得：2(a24)=a1a3a1，a24，a332成等比数列得：(a24)2=a1
16、(a332)说明 将三个成等差数列的数设为ad，a，ad；将三个成简化计算过程的作用【例12】 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数分析 本题有三种设未知数的方法方法一 设前三个数为ad，a，ad，则第四个数由已知条方法二 设后三个数为b，bq，bq2，则第一个数由已知条件推得为2bbq方法三 设第一个数与第二个数分别为x，y，则第三、第四个数依次为12y，16x由这三种设法可利用余下的条件列方程组解出相关的未知数，从而解出所求的四个数，所求四个数为：0，4，8，16或15，9，3，1解法二 设后三个数
17、为：b，bq，bq2，则第一个数为：2bbq所求四个数为：0，4，8，16或15，9，3，1解法三 设四个数依次为x，y，12y，16x这四个数为0，4，8，16或15，9，3，1【例13】 已知三个数成等差数列，其和为126；另外三个数成等比数列，把两个数列的对应项依次相加，分别得到85，76，84求这两个数列解 设成等差数列的三个数为bd，b，bd，由已知，bdbbd=126b=42这三个数可写成42d，42，42d再设另三个数为a，aq，aq2由题设，得解这个方程组，得a1=17或a2=68当a=17时，q=2，d=26从而得到：成等比数列的三个数为17，34，68，此时成等差的三个数为
18、68，42，16；或者成等比的三个数为68，34，17，此时成等差的三个数为17，42，67【例14】 已知在数列an中，a1、a2、a3成等差数列，a2、a3、a4成等比数列，a3、a4、a5的倒数成等差数列，证明：a1、a3、a5成等比数列证明 由已知，有2a2=a1a3即 a3(a3a5)=a5(a1a3)所以a1、a3、a5成等比数列【例15】 已知(bc)logmx(ca)logmy(ab)logmz=0(1)设a，b，c依次成等差数列，且公差不为零，求证：x，y，z成等比数列(2)设正数x，y，z依次成等比数列，且公比不为1，求证：a，b，c成等差数列证明 (1)a，b，c成等差数列，且公差d0bc=ab=d，ca=2d代入已知条件，得：d(logmx2logmylogmz)=0logmxlogmz=2logmyy2=xzx，y，z均为正数x，y，z成等比数列(2)x，y，z成等比数列且公比q1y=xq，z=xq2代入已知条件得：(bc)logmx(ca)logmxq(ab)logmxq2=0变形、整理得：(ca2b)logmq=0q1 logmq0ca2b=0 即2b=ac即a，b，c成等差数列 . . .
