1、第一讲 等腰三角形【要点梳理】 要点一、等腰三角形的定义1.等腰三角形有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在ABC中，ABAC，ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,A是顶角，B、C是底角2.等腰三角形的作法 已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a.作法：1.作线段BC=a； 2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧，两弧 相交于点A; 3.连接AB,AC. ABC为所求作的等腰三角形3.等腰三角形的对称性 (1)等腰三角形是轴对称图形； (2
2、)BC； (3)BDCD，AD为底边上的中线.(4)ADBADC90，AD为底边上的高线.结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴.4.等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.要点诠释：（1）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.A1802B，BC .（2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.要点二、等腰三角形的性质1.等腰三角形
3、的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”推论：等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60.性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”2.等腰三角形中重要线段的性质等腰三角形的两底角的平分线（两腰上的高、两腰上的中线）相等.要点诠释：这条性质，还可以推广到一下结论：（1）等腰三角形底边上的高上任一点到两腰的距离相等。（2）等腰三角形两底边上的中点到两腰的距离相等.（3）等腰三角形两底角平分线，两腰上的中线，两腰上的高的交点到两腰的距离相等，到底边两端上的距离相等.（4）等腰三角形顶点到两腰上的高、中线、角平分线
4、的距离相等.要点三、等腰三角形的判定定理1.等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 要点诠释：(1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系.（2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形2.等边三角形的判定定理三个角相等的三角形是等边三角形.有一个角是60的等腰三角形是等边三角形.3. 含有30角的直角三角形定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半.要点
5、四、反证法在证明时，先假设命题的结论不成立，然后从这个假设出发，经过逐步推导论证，最后推出与学过的概念、基本事实，以证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明命题的方法叫做反证法.要点诠释：反证法也称归谬法，是一种间接证明的方法，一般适用于直接证明有困难的命题一般证明步骤如下：（1） 假定命题的结论不成立； （2） 从这个假设和其他已知条件出发，经过推理论证，得出与学过的概念、基本事实，以证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果； （3）由矛盾的结果，判定假设不成立，从而说明命题的结论是正确的.【典型例题】类型一、等腰三角形中有关角度的计算题例1、（2016春太
6、仓市期末）如图，已知ABC中，AB=BD=DC，ABC=105，求A，C度数【思路点拨】由于AB=BD=DC，所以ABD和BDC都是等腰三角形，可设C=CDB=x，则BDA=A=2x，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理的推论，可以求出A，C度数【答案与解析】解：AB=BD，BDA=A，BD=DC，C=CBD，设C=CBD=x，则BDA=A=2x，ABD=1804x，ABC=ABD+CDB=1804x+x=105，解得：x=25，所以2x=50，即A=50，C=25【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；解题中运用了等腰三角形“等边对等角”的性质，并联系三角形的内角定理求解
7、有关角的度数问题【变式】已知：如图，D、E分别为AB、AC上的点，ACBCBD，ADAE，DECE，求B的度数【答案】解：ACBCBD，ADAE，DECE，设ECDEDC，BCDBDC，则AEDADE2，AB1804在ABC中，根据三角形内角和得，18041804180又A、D、B在同一直线上，2180由 ，解得36B180418014436.类型二、等腰三角形中的分类讨论例2、在等腰三角形中，有一个角为40，求其余各角【思路点拨】由一个等腰三角形内角为40，分别从40是等腰三角形顶角与40是底角的角度去分析求解即可求得答案【答案与解析】解：(1)当40的角为顶角时，由三角形内角和定理可知：两
8、个底角的度数之和18040140，又由等腰三角形的性质可知：两底角相等，故每个底角的度数；(2)当40的角为底角时，另一个底角也为40，则顶角的度数1804040100其余各角为70，70或40，100 【总结升华】此题考查了等腰三角形的性质此题比较简单，注意掌握分类讨论思想的应用，小心别漏解例3、已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边【答案与解析】解：(1)3为腰长时，则另一腰长也为3，底边长13337； (2)3为底边长时，则两个腰长的和13310，则一腰长 这样得两组：3，3，7 5，5，3 由三角形三边关系可知：两边之和大于第三边，337，故不能构成三角形，应舍去 等腰三角
9、形的周长为13，一边长为3，其余各边长为5，5【总结升华】唯独等腰三角形的边有专用名词“腰”“底”，别的三角形没有，此题没有说明边长为3的边是腰还是底，所以做此题应分类讨论同时结合三角形内角和定理、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，来验证讨论哪些情况符合，哪些情况不符合，从而决定取舍，最后得到正确答案【变式】已知等腰三角形的底边BC8，且|ACBC|2，那么腰AC的长为( ) A10或6 B10 C6 D8或6【答案】A；解 ： |ACBC|2， ACBC2 又BC8 AC10或6 AB10（）或（6）类型三、等腰三角形的性质及其运用例4、如图，在ABC中，边ABAC求证：ACBA
10、BC【思路点拨】在AB上截取AE=AC，连接CE，根据等腰三角形的性质推出AEC=ACE，根据三角形的外角性质求出AECABC即可【答案与解析】证明：证明：在AB上截取AE=AC，连接CE，AE=AC，AEC=ACE，AECB，ACBABC【总结升华】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质，能推出AEC=ACE和AECABC是解此题的关键【变式】已知：如图，在ABC中，AB=AC，A=60，BD是中线，延长BC至点E，使CE=CD求证：DB=DE【答案与解析】证明：如图，在ABC中，AB=AC，A=60，ABC是等边三角形，ABC=2=60，BD是中线，BD是ABC的平分线，1=30
11、，CE=CD，E=3，E=2=30，E=1，DB=DE类型四、等腰三角形的判定例5、如图1，在ABC中，BO平分ABC，CO平分ACB，过点O作DEBC，交AB于点D，交AC于点E（1）试找出图中的等腰三角形，并说明理由；（2）若BD=4、CE=3，求DE的长；（3）若 AB=12、AC=9，求ADE的周长；（4）若将原题中平行线DE的方向改变，如图2，ODAB，OEAC，BC=16，你能得出什么结论呢？【思路点拨】（1）运用两三角形两底角相等得出等腰三角形；（2）由等腰三角形两腰相等求解；（3）由ADE的周长=AD+DO+OE+AE=AB+AC求解；（4）由ODAB，OEAC，BO平分ABC
12、，CO平分ACB，得出BDO和ECO是等腰三角形，利用等腰三角形两腰相等得出ODE的周长等于BC的长度【答案与解析】解：（1）DBO和EOC是等腰三角形BO平分ABC，DBO=CBO，DEBC，CBO=DOB，DBO=DOB，DB=DO，DBO是等腰三角形，同理EOC是等腰三角形；（2）BD=4、CE=3，由（1）得出DO=4，EO=3，DE=DO+OE=4+3=7；（3）ADE的周长=AD+DO+OE+AE；DO=DB，OE=EC，ADE的周长=AB+AC，AB=12、AC=9，ADE的周长=AB+AC=12+9=21；（4）ODAB，OEAC，BO平分ABC，CO平分ACB，BDO和ECO
13、是等腰三角形，BD=DO，CE=OE，BC=16，ODE的周长为16即ODE的周长等于BC的长度【总结升华】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质及平行线的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的两角相等或两边相等【变式】如图，ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O给出下列四个条件：EBD=DCO；BEO=CDO；BE=CD；OB=OC上述四个条件中，哪两个条件可判定ABC是等腰三角形，选择其中的一种情形，证明ABC是等腰三角形【答案】；都可以组合证明ABC是等腰三角形；选为条件证明ABC是等腰三角形；证明：在EBO和DCO中，EBODCO（AAS），BO=CO，OBC=OCB
14、，EBO+OBC=DCO+OCB，即ABC=ACB，AB=AC，ABC是等腰三角形类型五、 含有30角的直角三角形例6. 如图所示，ABC中，ACB=90，CDAB，垂足是D，A=60.求证：BD=3AD.【答案与解析】证明：CDAB，ADC=90，又A=60，ACD=30在RtACD中，AD=AC，又ACB=90，在RtACB中，B=30，AC=AB AD= AB，则AD=BD，即BD=3AD.【总结升华】根据直角三角形中30角所对的边是斜边的一半可得到BC=2BD，AB=2BC，从而可推出AB=4BD，从而不难证得BD与AD的数量关系此题主要考查含30角的直角三角形的性质：在直角三角形中，
15、30角所对的直角边等于斜边的一半【变式】如图，已知，在四边形ABCD中，ADBC，BD平分ABC，A=120，CD=4cm，ABC=DCB，求BC的长【答案】解：ADBC，A=120，ABC=180120=60，BD平分ABC，DBC=ABC=60=30，又ABC=DCB=60，BDC=1803060=90，BC=2CD=24=8cm类型六、反证法例7. 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60。【答案】已知：ABC 求证：ABC中至少有一个内角小于或等于60证明： 假设ABC中没有一个内角小于或等于60则A60,B60,C60A+B+C60+60+60=180即A+B+C180，这与三角形的内角和为180度矛盾假设不成立ABC中至少有一个内角小于或等于60【总结升华】本题结合三角形内角和定理考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤反证法的步骤是： （1）假设结论不成立； （2）从假设出发推出矛盾； （3）假设的结论不成立，则原题中的结论成立 在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定【变式】下列选项中，可以用来证明命题“若a21，则a1”是假命题的反例是（） A . a= 2 B . a= 1 C . a=1 D. a=2【答案】A7 八年级数学第一讲 等腰三角形
