1、高中空间点线面之间位置关系知识点总结DCBA第二章直线与平面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.11平面含义：平面是无限延展的2平面的画法及表示（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）（2）平面通常用希腊字母、等表示，如平面、平面等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等。3三个公理：（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号表示为LAALBL=LAB公理1作用：判断直线是否在平面内CBA（2）公理2：过不在一条直线上的
2、三点，有且只有一个平面。符号表示为：A、B、C三点不共线=有且只有一个平面，使A、B、C。公理2作用：确定一个平面的依据。（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。PL符号表示为：P=L，且PL公理3作用：判定两个平面是否相交的依据2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系1空间的两条直线有如下三种关系：共面直线相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：设a、b、c是三条直线=acab。2公理4：平行于cb强调：公理4实质上是说平行具有
3、传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。3等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4注意点：a与b所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为简便，点O一般取在两直线中的一条上；两条异面直线所成的角(0，)；当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作ab；两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。2.1.32.1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系：（1）直线在平面内有无数个公共点（2
4、）直线与平面相交有且只有一个公共点（3）直线在平面平行没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a来表示aa=Aa2.2.直线、平面平行的判定及其性质2.2.1直线与平面平行的判定1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。简记为：线线平行，则线面平行。符号表示：ab=aab2.2.2平面与平面平行的判定1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。符号表示：abab=Pab2、判断两平面平行的方法有三种：（1）用定义；（2）判定定理；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。2.2.3
5、1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。简记为：线面平行则线线平行。符号表示：aaab=b作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。符号表示：=aab=b作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行2.3直线、平面垂直的判定及其性质1、定义如果直线L与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面互相垂直，记作L，直线L叫做平面的垂线，平面叫做直线L的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。Lp2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
6、注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形A梭lB2、二面角的记法：二面角-l-或-AB-3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。2.3.32.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。2性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。异面直线所成的角是指经过空间任意一点作两条分别和异面的两条直线平行的直线所成的锐角（或直角）.一般通过平移后转化到三角形
7、中求角，注意角的范围.例1在正方体ABCD-ABCD中,O是底面ABCD的中心，M、N分别是棱DD、DC的中点，则直线OM().A.是AC和MN的公垂线.B.垂直于AC但不垂直于MN.C.垂直于MN，但不垂直于AC.D.与AC、MN都不垂直.错解:B.错因：学生观察能力较差，找不出三垂线定理中的射影.正解：A.例2如图，已知在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点，G,H分别是BC,CD上的点,且,求证:直线EG,FH,AC相交于一点.错解：证明：、F分别是AB,AD的中点,BD,EF=BD,又,GHBD,GH=BD,四边形EFGH是梯形，设两腰EG,FH相交于一点T,F分别是AD
8、.AC与FH交于一点.直线EG,FH,AC相交于一点正解：证明：、F分别是AB,AD的中点,BD,EF=BD,又,GHBD,GH=BD,四边形EFGH是梯形，设两腰EG,FH相交于一点T,平面ABC,FH平面ACD,T面ABC,且T面ACD,又平面ABC平面ACD=AC,直线EG,FH,AC相交于一点T.例3在立方体ABCDA1B1C1D1中，（1）找出平面AC的斜线BD1在平面AC内的射影；（2）直线BD1和直线AC的位置关系如何？（3）直线BD1和直线AC所成的角是多少度？解：(1)连结BD,交AC于点O.(2)BD1和AC是异面直线.(3)过O作BD1的平行线交DD1于点M，连结MA、M
9、C，则MOA或其补角即为异面直线AC和BD1所成的角.不难得到MAMC，而O为AC的中点，因此MOAC，即MOA90，异面直线BD1与AC所成的角为90.例4a和b为异面直线，则过a与b垂直的平面().A有且只有一个B一个面或无数个C可能不存在D可能有无数个错解：A.错因：过a与b垂直的平面条件不清.正解：C.例5在正方体A1B1C1D1ABCD中，E、F分别是棱AB、BC的中点，O是底面ABCD的中点求证：EF垂直平面BB1O证明?：如图,连接AC、BD，则O为AC和BD的交点E、F分别是AB、BC的中点，EF是ABC的中位线，EFACB1B平面ABCD,AC平面ABCDACB1B，由正方形
10、ABCD知：ACBO，又BO与BB1是平面BB1O上的两条相交直线，AC平面BB1O(线面垂直判定定理)ACEF，EF平面BB1O例6如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BB1的中点，O是底面正方形ABCD的中心，求证：OE平面ACD1分析：本题考查的是线面垂直的判定方法根据线面垂直的判定方法，要证明OE平面ACD1，只要在平面ACD1内找两条相交直线与OE垂直证明：连结B1D、A!D、BD，在B1BD中，E,O分别是B1B和DB的中点，EOB1DB1A1面AA1D1D，DA1为DB1在面AA1D1D内的射影又AD1A1D，AD1DB1同理可证B1DD1C又AD1，AD1,D1C面
11、ACD1，B1D平面ACD1B1DOE，OE平面ACD1点?评：要证线面垂直可找线线垂直，这是立体几何证明线面垂直时常用的转化方法在证明线线垂直时既要注意三垂线定理及其逆定理的应用，也要注意有时是从数量关系方面找垂直，即勾股定理或余弦定理的应用例7如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中,点N在BD上,点M在B1C上,且CM=DN,求证:MN平面AA1B1B.证明：证法一.如图,作MEBC,交BB1于E,作NFAD,交AB于F,连EF则EF平面AA1B1B.ME=NF又MEBCADNF,MEFN为平行四边形,MNEF.MN平面AA1B1B.证法二.如图,连接并延长CN交BA延长线于点P,连B1
12、P,则B1P平面AA1B1B.,又CM=DN,B1C=BD,B1P.B1P平面AA1B1B,MN平面AA1B1B.证法三.如图,作MPBB1,交BC于点P,连NP.MPBB1,BD=B1C,DN=CM,NPCDAB.面MNP面AA1B1B.MN平面AA1B1B.点、线、面之间的位置关系单元测试第1题.下列命题正确的是（）经过三点确定一个平面经过一条直线和一个点确定一个平面四边形确定一个平面两两相交且不共点的三条直线确定一个平面答案：第2题.如图，空间四边形中，分别是，的中点求证：四边形是平行四边形答案：证明：连接因为是的中位线，所以，且同理，且因为，且所以四边形为平行四边形第3题.如图，已知长
13、方体中，（）和所成的角是多少度？（）和所成的角是多少度？答案：（）；（）第4题.下列命题中正确的个数是（）若直线上有无数个点不在平面内，则若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点A123答案：第5题.若直线不平行于平面，且，则下列结论成立的是（）内的所有直线与异面内不存在与平行的直线内存在唯一的直线与平行内的直线与都相交答案：第6题.已知，是三条直线，角，且与的夹角为，那么与夹角为答案：第7题.如图，是长方体的一条棱，这个长方体中与垂直的棱共条答案：8条第8题.如果，
14、是异面直线，直线与，都相交，那么这三条直线中的两条所确定的平面共有个答案：2个第9题.已知两条相交直线，则与的位置关系是答案：，或与相交第10题.如图，三条直线两两平行且不共面，每两条确定一个平面，一共可以确定几个平面？如果三条直线相交于一点，它们最多可以确定几个平面？答案：3个，3个第11题.如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：与平行与是异面直线与成角与垂直以上四个命题中，正确命题的序号是（），答案：第12题.下列命题中，正确的个数为（）两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行；平行移动两条异面直线中的任何一条，它们所成的角不变；过空间四边形的顶点引的平行线段，则是异面直线与所成
15、的角；四边相等，且四个角也相等的四边形是正方形0123答案：第13题.在空间四边形中，分别是，的中点，则与的大小关系是答案：第14题.已知是一对异面直线，且成角，为空间一定点，则在过点的直线中与所成的角都为的直线有条答案：第15题.已知平面，是平面外的一点，过点的直线与平面分别交于两点，过点的直线与平面分别交于两点，若，则的长为答案：第16题.空间四边形中，分别是，的中点，若，且与所成的角为，则四边形的面积是答案：第17题.已知正方体中，分别为，的中点，求证：（），四点共面；（）若交平面于点，则，三点共线答案：证明：如图（）是的中位线，在正方体中，确定一个平面，即，四点共面（）正方体中，设确定
16、的平面为，又设平面为，又，则是与的公共点，又，则故，三点共线第18题.已知下列四个命题： 很平的桌面是一个平面； 一个平面的面积可以是m； 平面是矩形或平行四边形； 两个平面叠在一起比一个平面厚其中正确的命题有（）个个个个答案：第19题.给出下列命题：和直线都相交的两条直线在同一个平面内；三条两两相交的直线在同一平面内；有三个不同公共点的两个平面重合；两两平行的三条直线确定三个平面其中正确命题的个数是（）答案：第20题.直线，在上取点，上取点，由这点能确定的平面有（）个个个个答案：第21题.三条直线相交于一点，可能确定的平面有（）个个个个或个答案：第22题.下列命题中，不正确的是（）一条直线和
17、两条平行直线都相交，那么这三条直线共面；每两条都相交但不共点的四条直线一定共面；两条相交直线上的三个点确定一个平面；两条互相垂直的直线共面与与与与答案：第23题.分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是（）异面直线相交直线不相交直线不平行直线答案：第24题.在长方体中，点，分别是四边形，的对角线的交点，点，分别是四边形，的对角线的交点，点，分别是四边形，的对角线的交点求证：答案：证明：如图，连结，由三角形中位线定理可知，又，同理可证由等角定理可得第25题.若，是异面直线，也是异面直线，则与的位置关系是（）异面相交或平行平行或异面相交或平行或异面答案：第26题.，是异面直线，是上两点，是上的两点，分别是线段和的中点，则和的位置关系是（）异面直线平行直线相交直线平行、相交或异面答案：第27题.如下图是正方体的平面展开图，在这个正方体中与平行；与是异面直线；与成角；与垂直以上四个命题中，正确命题的序号是（）答案：第28题.直线与平面平行的条件是这条直线与平面内的（）一条直线不相交两条直线不相交任意一条直线不相交无数条直线不相交答案：第29题.如果直线平行于平面，则（）平面内有且只有一直线与平行平面内有无数条直线与平行平面内不存在与平行的直线平面内的任意直线与直线都平行答案：
