1、平行四边形知识点一、四边形相关 1、四边形的内角和定理及外角和定理四边形的内角和定理：四边形的内角和等于360。四边形的外角和定理：四边形的外角和等于360。推论：多边形的内角和定理：n边形的内角和等于180； 多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360。2、多边形的对角线条数的计算公式设多边形的边数为n，则多边形的对角线条数为。3三角形中位线定理：三角形的中位线平行第三边，并且等于它的一半.二、平行四边形 1定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 平行四边形的定义既是平行四边形的一条性质，又是一个判定方法2平行四边形的性质：平行四边形的有关性质和判定都是从 边、角、对角线 三个方面
2、的特征进行简述的（1）角：平行四边形的对角相等，邻角互补；（2）边：平行四边形两组对边分别平行且相等；（3）对角线：平行四边形的对角线互相平分；（4）面积：； 平行四边形的对角线将四边形分成4个面积相等的三角形3平行四边形的判别方法定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 方法1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形方法2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 方法3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形方法4： 对角线互相平分的四边形是平行四边形三、矩形1. 矩形定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。2. 矩形性质边：对边平行且相等； 角：对角相等、邻角互补，矩形的四个角都是直角；对角
3、线：对角线互相平分且相等； 对称性：轴对称图形（对边中点连线所在直线，2条）3. 矩形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形有一个角是直角的平行四边形； 对角线相等的平行四边形； 四个角都相等识别矩形的常用方法 先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任意一个角为直角 先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的对角线相等 说明四边形ABCD的三个角是直角4. 矩形的面积 设矩形ABCD的两邻边长分别为a,b，则S矩形=ab四、菱形1. 菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。2. 菱形性质边：四条边都相等； 角：对角相等、邻角互补；对角线：对角线互相垂
4、直平分且每条对角线平分每组对角； 对称性：轴对称图形（对角线所在直线，2条）3. 菱形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形有一组邻边相等的平行四边形； 对角线互相垂直的平行四边形； 四条边都相等识别菱形的常用方法 先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任一组邻边相等 先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明对角线互相垂直 说明四边形ABCD的四条相等4. 菱形的面积设菱形ABCD的一边长为a，高为h，则S菱形=ah；若菱形的两对角线的长分别为a,b，则S菱形=五、正方形1. 正方形定义：有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形叫做正方形。它是最特殊的平行四边形，它既是平行
5、四边形，还是菱形，也是矩形。2. 正方形性质边：四条边都相等； 角：四角相等；对角线：对角线互相垂直平分且相等，对角线与边的夹角为450； 对称性：轴对称图形（4条）3. 正方形的判定：满足下列条件之一的四边形是正方形 有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形 有一组邻边相等的矩形； 对角线互相垂直的矩形 有一个角是直角的菱形 对角线相等的菱形；识别正方形的常用方法 先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的一个角为直角且有一组邻边相等 先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明对角线互相垂直且相等 先说明四边形ABCD为矩形，再说明矩形的一组邻边相等 先说明四边形ABCD为菱形
6、，再说明菱形ABCD的一个角为直角4. 正方形的面积 设正方形ABCD的一边长为a，则S正方形=；若正方形的对角线的长为a，则S正方形=六、梯形1. 梯形定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。等腰梯形：是一种特殊的梯形，它是两腰相等的梯形。特殊梯形还有直角梯形（有一个角是直角）。2. 等腰梯形性质边：上下底平行但不相等，两腰相等； 角：同一底边上的两个角相等；对角互补；对角线：对角线相等； 对称性：轴对称图形（上下底中点所在直线）梯形中位线定理：梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。3. 等腰梯形的判定：满足下列条件之一的梯形是等腰梯形 同一底两个底角相等的梯形； 对角线
7、相等的梯形识别等腰梯形的常用方法 先说明四边形ABCD为梯形，再说明两腰相等 先说明四边形ABCD为梯形，再说明同一底上的两个内角相等 先说明四边形ABCD为梯形，再说明对角线相等4. 梯形的面积 设梯形ABCD的上底为a，下底为b，高为h，则S梯形=一、学习目标 复习平行四边形、特殊平行四边形、梯形的性质与判定，能利用它们进行计算或证明.二、学习重难点 重点：性质与判定的运用；难点：证明过程的书写。1平行四边形是特殊的 ；特殊的平行四边形包括 、 、 。2梯形 （是否）特殊平行四边形， （是否）特殊四边形。3特殊的梯形包括 梯形和 梯形。4、本章学过的四边形中，属于轴对称图形的有 ；属于中心
8、对称图形的有 。四、复习过程 （一）知识要点1：平行四边形的性质与判定OABCD1.平行四边形的性质：（1）从边看：对边 ，对边 ；（2）从角看：对角 ，邻角 ；（3）从对角线看：对角线互相 ；（4）从对称性看：平行四边形是 图形。2、平行四边形的判定：（1）判定1：两组对边分别 的四边形是平行四边形。（定义）（2）判定2：两组对边分别 的四边形是平行四边形。（3）判定3：一组对边 且 的四边形是平行四边形。（4）判定4：两组对角分别 的四边形是平行四边形。（5）判定5：对角线互相 的四边形是平行四边形。【基础练习】1.已知ABCD中，B=70，则A=_，C=_，D=_2.已知O是ABCD的对
9、角线的交点，AC=38 mm，BD=24 mm,AD=14 mm，那么BOC的周长等于_ _.3.如图1，ABCD中，对角线AC和BD交于点O，若AC=8，BD=6，则边AB长的取值范围是（ ）.A.1AB7 B.2AB14 C.6AB8 D.3AB44.不能判定四边形ABCD为平行四边形的题设是（ ）A.AB=CD,AD=BC B.ABCD C.AB=CD,ADBC D.ABCD,ADBC5.在ABCD中，AEBC于E，AFCD于F，AE=4，AF=6，ABCD的周长为40，则ABCD的面积是 （ ）A、36 B、48 C、 40 D、24【典型例题】OABCD例1、若平行四边形ABCD的周
10、长是20cm,AOD的周长比ABO的周长大6cm.求AB,AD的长. 例2、 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BCD的平分线CF交边AB于F，ADC的平分线DG交边AB于G。（1）求证：AF=GB；（2）请你在已知条件的基础上再添加一个条件，使得EFG为等腰直角三角形,并说明理由 【课堂练习】：BEFCAD1、已知：E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，且AE=CF，（1）试判断BE、CF的关系；（2）若E、F是平行四边形ABCD对角线AC延长线上的两点，上述结论还成立吗？说明理由 2、如图，四边形ABCD为平行四边形，M,N分别从D到从B到C运动，速度相同，E,F分别从A到B，
11、从C到D运动，速度相同，它们之间用绳子连紧。（1）没有出发时，这两条绳子有何关系？（2）若同时出发，这两条绳子还有（1）中的结论吗？为什么？（二）知识要点2：特殊平行四边形的性质与判定1矩形：（1）性质：具有平行四边形的所有性质。另外具有：四个角都是 ，对角线互相平分而且 ，也是 图形。（2）判定：从角出发：有 个角是直角的平行四边形或有 个角是直角的四边形。从对角线出发：对角线 的平行四边形或对角线 且互相 的四边形。2菱形：（1）性质：具有平行四边形的所有性质。另外具有：四条边都 ，对角线互相 且 每一组对角，也是 图形。（2）判定：从边出发：一组 边相等的平行四边形或有 条边相等的四边形
12、。从对角线出发：对角线互相 的平行四边形或对角线互相 且 的四边形。 3正方形：（1）性质：具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质证明证明证明（2）判定方法步骤： 矩形四边形 平行四边形 正方形 菱形【基础练习】 OADBC1、如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AOD=120，AC=12cm，则AB的长_ _2、菱形的周长为100 cm，一条对角线长为14 cm，它的面积是_.3、若菱形的周长为16 cm，一个内角为60，则菱形的面积为_cm2。4、两直角边分别为12和16的直角三角形,斜边上的中线的长是 。5、下列条件中，能判定四边形是菱形的是（ ）A.两组对边分别相等 B.两条对
13、角线互相平分且相等C.两条对角线相等且互相垂直 D.两条对角线互相垂直平分6、在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AO=CO，BO=DO，增加一个条件 可以判定四边形是矩形；增加一个条件 可以判定四边形是菱形。ABCDE7、四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，能判定它是正方形的是（）.A.AOOC，OBOD B.AOBOCODO，ACBDC.AOOC，OBOD，ACBD D.AOOCOBOD8、如图，E是正方形ABCD内一点，如果ABE为等边三角形，则DCE= .【典型例题】BDCPEA例3：如图，BD，BE分别是ABC与它的邻补角ABP的平分线，AEBE，ADBD，E，D
14、为垂足求证：四边形AEBD是矩形例5：如图，点E、F在正方形ABCD的边BC、CD上，BE=CF. AE与BF相等吗？为什么？ AE与BF是否垂直？说明你的理由。【课堂练习】1、如图，矩形ABCD中(AD2)，以BE为折痕将ABE向上翻折，点A正好落在DC的A点，若AE=2，ABE=30，则BC=_.2.如图2，菱形ABCD的边长为2，ABC=45，则点D的坐标为_ 1 题图 2题图 4.在ABC中，ADBC于D，E、F分别是AB、AC的中点，连结DE、DF，当ABC满足条件_时，四边形AEDF是菱形(填写一个你认为恰当的条件即可). 5、如图，矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、B
15、C分别交于点E、F，试说明四边形AFCE是菱形.6、如图，分别以ABC的边AB，AC为一边向外画正方形AEDB和正方形ACFG，连接CE，BG.试判断CE、BG的关系.GCBEDAF平行四边形练习1、一个多边形的内角和为1620，则这个多边形对角线的条数是（）A27B35C44D542一只因损坏而倾斜的椅子,从背后看到的形状如图,其中两组对边的平行关系没有发生变化,若1=75,则2的大小是（ ）A75 B115 C65 D105 第4题图12(第2题图)第3题图3如图3，在ABCD中，BM是ABC的平分线交CD于点M，且MC=2，ABCD的周长是在14，则DM等于（）A1B2C3D44. 如图
16、4，在ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于（）A3：2B3：1C1：1D1：25. ABCD中，对角线AC与BD交于点O，DAC=42，CBD=23，则COD是（）A61B63C65D676过ABCD对角线交点O作直线m，分别交直线AB于点E，交直线CD于点F，若AB=4，AE=6，则DF的长是 (第7题图) 7. 如图7，ABCD中，ABC=60，E、F分别在CD、BC的延长线上，AEBD，EFBC，DF=2，则EF= 第5题图8. 在ABCD中，AD=BD，BE是AD边上的高，EBD=20，则A的度数为 9. 在ABCD中，ABBC，已知B=30，AB=
17、2，将ABC沿AC翻折至ABC，使点B落在ABCD所在的平面内，连接BD若ABD是直角三角形，则BC的长为 ABCDEFG10如图，已知：ABCD中，BCD的平分线CE交AD于点E，ABC的平分线BG 交CE于点F，交AD于点G求证：AE=DG11如图，四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为点F，E为四边形ABCD外一点，且ADE=BAD，AEAC（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）如果DA平分BDE，AB=5，AD=6，求AC的长12如图，在菱形ABCD中，AB=6，ABD=30，则菱形ABCD的面积是（）A18B18C36D36第15题图第14题图第13题图第12题图13如图
18、，将矩形纸带ABCD，沿EF折叠后，C、D两点分别落在C、D的位置，经测量得EFB=65，则AED的度数是（）A65B55C50D2514如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为（）ABCD615如图，菱形ABCD中，AB=4，B=60，AEBC，AFCD，垂足分别为E，F，连接EF，则的AEF的面积是（）A4B3C2D16如图，已知在梯形ABCD中，ADBC，BC=2AD，如果对角线AC与BD相交于点O，AOB、BOC、COD、DOA的面积分别记作S1、S2、S3、S4，那么下列结论中，不正确的是（）AS1=S3BS2=2
19、S4CS2=2S1DS1S3=S2S4 第17题图第16题图第18题图 17如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，BE=1，F为AB上一点，AF=2，P为AC上一点，则PF+PE的最小值为18已知：如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=6延长BC到点E，使CE=2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BCCDDA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为或秒时ABP和DCE全等19已知，如图，在四边形ABCD中，ABCD，E，F为对角线AC上两点，且AE=CF，DFBE，AC平分BAD求证：四边形ABCD为菱形20我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”如图，四
20、边形ABCD是一个筝形，其中AB=CB，AD=CD对角线AC，BD相交于点O，OEAB，OFCB，垂足分别是E，F求证OE=OF21. 如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长OD到点G，OC到点E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE（1）求证：DEAG；（2）正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转角（0360）得到正方形OEFG，如图2在旋转过程中，当OAG是直角时，求的度数；若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF长的最大值和此时的度数，直接写出结果不必说明理由22. 如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中
21、点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F点，（1）求证：四边形AECF为平行四边形；（2）若AEP是等边三角形，连结BP，求证：APBEPC；（3）若矩形ABCD的边AB=6，BC=4，求CPF的面积中位线专练例1：如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。四边形EFGH是平行四边形吗？为什么？例2：如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，点E、F、G、H分别是OA、OB、OC、DO的中点，四边形EFGH是矩形吗？为什么？例3：已知：如图，AD是ABC的中线，E、G分别是AB、AC的中点，GFAD交ED的延长线于点F
22、。猜想：EF与AC有怎样的关系？试证明你的猜想。例4：已知在ABC中，B=2C，ADBC于D，M为BC的中点。试说明DM=AB例5：等腰梯形ABCD中，ADBC，EF为中位线，EF=18，ACAB，B=60，求梯形ABCD的周长及面积。3、米饭里面的主要成分是淀粉。米饭淀粉遇到碘酒，颜色变成蓝色，这种蓝色物质是一种不同于米饭和淀粉的新物质。例6、已知：如图，在梯形ABCD中，ADBC，ABC=90，E是梯形外一点，且AE=BE，F是CD的中点。试说明：EFBC。答：月相从新月开始，然后是峨眉月、上弦月、满月、下弦月、峨眉月。18、建立自然保护区是保护生物多样性的有效方法，我国的九寨沟、长白山、
23、四川卧龙等地都建立了自然保护区，自然保护区为物种的生存、繁衍提供了良好的场所。答：当月球运行到地球和太阳的中间，如果月球挡住了太阳射向地球的光，便发生日食。答：说明米饭不是甜的，但米饭含有淀粉，在我们咀嚼的过程中发生了变化，变得有甜味了。答：无色无味，比空气重，不支持燃烧。11、月食：当地球转到月球和太阳的中间，太阳、地球、月球大致排成一条直线时，地球就会挡住太阳射向月球的光，这时在地球上的人就只能看到月球的一部分或全部看不到，于是就发生了月食。21、血液中的细胞好像运输兵，负责运输吸入的氧气和产生的二氧化碳。1、我们每天都要消耗食物和各种各样的生活用品，与此同时，也产生了许多垃圾。8、晶体的
24、形状多种多样，但都很有规则。有的是立方体，有的像金字塔，有的像一簇簇的针有的晶体较大，肉眼可见，有的较小，要在放大镜或显微镜下才能看见。例7：如图，在梯形ABCD中，ADBC，M、N分别是两条对角线BD、AC的中点，试说明：MNBC且MN(BCAD)。MDCBAN例8：已知：如图，四边形ABCD为等腰梯形，ADBC，AC、BD相交于点O，点P、Q、R分别为AO、BO、CD的中点，且AOD60。试判断PQR的形状，并说明理由？三、作业：1、已知：如图，在ABC中，D是AB的中点，DEBC交AC于点E。试说明：DE=BC。2、已知：如图，在ABC中，中线BD、CE相交于点O，F、G分别是OB、OC的中点。试说明：四边形DEFG是平行四边形。3、已知：如图矩形ABCD的对角线相交于点O，E、F分别是OA、OD的中点。试说明：四边形CBEF是等腰梯形。FEODCBA4、已知：如图，在梯形ABCD中，ADBC，AB=DC，E、F、M、N分别是AD、BC、BD、AC的中点。试说明：EF与MN互相垂直平分。
