1、高中数学椭圆的知识总结1.椭圆的定义：平面内一个动点P到两个定点的距离之和等于常数（），这个动点P的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距.注意：若，则动点P的轨迹为线段；若，则动点P的轨迹无图形.（1）椭圆：焦点在轴上时（）（参数方程，其中为参数），焦点在轴上时1（）。2. 椭圆的几何性质：（1）椭圆（以（）为例）：范围：；焦点：两个焦点；对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），四个顶点，其中长轴长为2，短轴长为2； 离心率：，椭圆，越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁。（2）.点与椭圆的位置关系：点在椭圆外；点在椭圆上1；点在椭圆内3直线与圆锥曲线的位置关系：（1
2、）相交：直线与椭圆相交；（2）相切：直线与椭圆相切； （3）相离：直线与椭圆相离； 如:直线ykx1=0与椭圆恒有公共点，则m的取值范围是_；4.焦点三角形（椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形）5.弦长公式：若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，则，若分别为A、B的纵坐标，则，若弦AB所在直线方程设为，则。6.圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率k=；如（1）如果椭圆弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是 ；（2）已知直线y=x+1与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L：x2y=0上
3、，则此椭圆的离心率为_；（3）试确定m的取值范围，使得椭圆上有不同的两点关于直线对称； 特别提醒：因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验！ 椭圆知识点的应用1.如何确定椭圆的标准方程 任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件；一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。2.椭圆标准方程中的三个量的几何意义椭圆标准方程中，三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示
4、椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，且。可借助右图理解记忆： 恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边。3如何由椭圆标准方程判断焦点位置椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看，的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。4方程是表示椭圆的条件方程可化为，即，所以只有A、B、C同号，且AB时，方程表示椭圆。当时，椭圆的焦点在轴上；当时，椭圆的焦点在轴上。5求椭圆标准方程的常用方法：待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数的值。其主要步骤是“先定型，再定
5、量”；定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。6共焦点的椭圆标准方程形式上的差异共焦点，则c相同。与椭圆共焦点的椭圆方程可设为，此类问题常用待定系数法求解。7判断曲线关于轴、轴、原点对称的依据： 若把曲线方程中的换成，方程不变，则曲线关于轴对称； 若把曲线方程中的换成，方程不变，则曲线关于轴对称； 若把曲线方程中的、同时换成、，方程不变，则曲线关于原点对称。8如何求解与焦点三角形PF1F2（P为椭圆上的点）有关的计算问题 思路分析：与焦点三角形PF1F2有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算解题。将有关线
6、段，有关角 ()结合起来，建立、之间的关系. 9如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率，因为，用表示为。显然：当越小时，越大，椭圆形状越扁；当越大，越小，椭圆形状越趋近于圆。题型1:椭圆定义的运用例1.已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于A、B两点若，则_.例2.如果方程表示焦点在x轴的椭圆，那么实数k的取值范围是_.例3.已知为椭圆上的一点，分别为圆和圆上的点，则的最小值为 题型2： 求椭圆的标准方程 例1、求满足下列各条件的椭圆的标准方程. (1) 经过两点； (2)经过点(2，3)且与椭圆具有共同的焦点；(3)一个焦点与短轴两端点的连线互相垂
7、直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为4.题型3:求椭圆的离心率例1、中，若以为焦点的椭圆经过点，则椭圆的离心率为 .例2、过椭圆的一个焦点作椭圆长轴的垂线交椭圆于P，若 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 题型4:椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）例1.已知实数满足,则的范围为 例2.已知点是椭圆（）上两点,且,则= 题型5：焦点三角形问题例1.已知为椭圆的两个焦点，p为椭圆上的一点，已知为一个直角三角形的三个顶点，且,求的值.例2.已知为椭圆C:的两个焦点，在C上满足的点的个数为 .例3.已知椭圆的焦点是,且离心率 求椭圆的方程; 设点P在椭圆上,且,求cos.题型6: 三角代换的应
8、用例1.椭圆上的点到直线l:的距离的最小值为_例2.椭圆的内接矩形的面积的最大值为 题型7：直线与椭圆的位置关系的判断例1.当为何值时，直线与椭圆相交相切相离例2.若直线与椭圆恒有公共点，求实数的取值范围； 题型8：弦长问题例1.求直线被椭圆所截得的弦长. 例2.已知椭圆的左右焦点分别为F1,F2，若过点P（0，-2）及F1的直线交椭圆于A,B两点，求ABF2的面积； 题型9：中点弦问题例1. 求以椭圆内的点A（2，-1）为中点的弦所在的直线方程。例2.中心在原点，一个焦点为的椭圆截直线 所得弦的中点横坐标为，求椭圆的方程例3.椭圆与直线 相交于A、B两点，点C 是AB的中点若 ，OC的斜率为
9、 （O为原点），求椭圆的方程巩固训练1. 如图,椭圆中心在原点,F是左焦点,直线与BF交于D,且,则椭圆的离心率为 2.设为椭圆的两焦点，P在椭圆上，当面积为1时，的值为 3.椭圆的一条弦被平分,那么这条弦所在的直线方程是 4. 若为椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,若, 则此椭圆的离心率为 5.在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为2c，以O为圆心，为半径的圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率= 双曲线基本知识点双曲线标准方程（焦点在轴）标准方程（焦点在轴）定义定义：平面内与两个定点，的距离的差的绝对值是常数（小于）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。PP范围，对称
10、轴轴 ，轴；实轴长为,虚轴长为对称中心原点焦点坐标 焦点在实轴上，；焦距：顶点坐标（,0） (,0)(0, ,) (0，)离心率渐近线方程 共渐近线的双曲线系方程（）（）直线和双曲线的位置双曲线与直线的位置关系：利用转化为一元二次方程用判别式确定。二次方程二次项系数为零直线与渐近线平行。相交弦AB的弦长补充知识点：等轴双曲线的主要性质有：（1）半实轴长=半虚轴长（一般而言是a=b，但有些地区教材版本不同，不一定用的是a,b这两个字母）；（2）其标准方程为，其中；（3）离心率；（4）渐近线：两条渐近线 y=x 互相垂直；例题分析：例1、动点与点与点满足，则点的轨迹方程为（） 同步练习一:如果双曲
11、线的渐近线方程为，则离心率为（）或例2、已知双曲线的离心率为，则的范围为（）同步练习二:双曲线的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为例3、设是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为，分别是双曲线的左、右焦点，若，则的值为同步练习三:若双曲线的两个焦点分别为，且经过点，则双曲线的标准方程为。例4、下列各对曲线中，即有相同的离心率又有相同渐近线的是（ ）(A)-y2=1和-=1 (B)-y2=1和y2-=1(C)y2-=1和x2-=1 (D)-y2=1和-=1同步练习四:已知双曲线的中心在原点，两个焦点分别为和，点在双曲线上且，且的面积为1，则双曲线的方程为（） 例5、与双曲线有共同的渐近线，且
12、经过点A的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是（ ） （A）8 （B）4 （C）2 （D）1同步练习五:以为渐近线，一个焦点是F（0，2）的双曲线方程为_.例6、下列方程中，以x2y=0为渐近线的双曲线方程是 (A)同步练习六:双曲线8kx2-ky2=8的一个焦点是(0，3)，那么k的值是 例7、经过双曲线的右焦点F2作倾斜角为30的弦AB，（1）求|AB|.（2）F1是双曲线的左焦点，求F1AB的周长同步练习七过点（0，3）的直线l与双曲线只有一个公共点，求直线l的方程。高考真题分析1.【2012高考新课标文10】等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，；则的实轴长为（
13、） 2.【2012高考山东文11】已知双曲线：的离心率为2.若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，则抛物线的方程为 (A) (B) (C)(D)3.【2012高考全国文10】已知、为双曲线的左、右焦点，点在上，则（A） （B） （C） （D）4.（2011年高考湖南卷文科6)设双曲线的渐近线方程为则的值为（ ）A4 B3 C2 D1 5.【2012高考江苏8】（5分）在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为，则的值为 抛物线抛物线xyOlFxyOlFlFxyOxyOlF定义平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线。=点M到直线的距离
14、范围对称性关于轴对称关于轴对称焦点(,0)(,0)(0,)(0,)焦点在对称轴上顶点离心率=1准线方程准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。顶点到准线的距离焦点到准线的距离焦半径焦 点弦 长焦点弦的几条性质oxFy以为直径的圆必与准线相切若的倾斜角为，则若的倾斜角为，则 切线方程1、直线与抛物线的位置关系直线，抛物线，由，消y得：（1）当k=0时，直线与抛物线的对称轴平行，有一个交点；（2）当k0时，0，直线与抛物线相交，两个不同交点； =0， 直线与抛物线相切，一个切点； 0，直线与抛物线相离，无公共点。（3） 若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗（不一定）1、 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线： 抛物线，联立方程法： 设交点坐标为,，则有,以及，还可进一步求出， 在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如(1) 相交弦AB的弦长 或 （2）. 中点, ， 点差法：设交点坐标为，代入抛物线方程，得 将两式相减，可得（1）在涉及斜率问题时，（2）在涉及中点轨迹问题时，设线段的中点为，即，同理，对于抛物线，若直线与抛物线相交于两点，点是弦的中点，则有（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）
