1、2020 年三模文科试题 第 1 页 共 7 页 合肥市合肥市20202020届高三第三次教学质量检测届高三第三次教学质量检测 数学试题数学试题( (文科文科) ) ( (考试时间：考试时间：120120分钟分钟 满分：满分：150150分分) ) 第第卷卷 (60(60分分) ) 一、选择题：一、选择题：本大题共本大题共1212 小题，每小题小题，每小题5 5 分，满分分，满分6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的题目要求的. . 1.若集合13Axx ，集合22Bxx ，则AB A.2 2 ， B.1 2 ， C.2
2、 3 ， D.1 3 ， 2.已知i是虚数单位，则复数 1 2i 1 i z 在复平面上所对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.在新冠肺炎疫情联防联控期间，某居委会从辖区内A，B，C三个小区志愿者中各选取1人，随机安 排到这三个小区， 协助小区保安做好封闭管理和防控宣传工作.若每个小区安排1人， 则每位志愿者不安排 在自己居住小区的概率为 A. 1 6 B. 1 3 C. 1 2 D. 2 3 4.若xyR，则 22 xy是1 x y 成立的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知函数 1 x x f x
3、a a (1a )，则不等式 2 210fxf x 的解集是 A. 1 1 2 ， B. 1 1 2 ， C. 1 1 2 ， D. 1 1 2 ， 6.已知向量a，b满足2a bab，其中b是单位向量，则a在b方向上的投影是 A.1 B. 3 4 C. 1 2 D. 1 4 7.公元前 1650 年的埃及莱因德纸草书上载有如下问题：“十人分十斗玉米，从第二人开始，各人所 得依次比前人少八分之一，问每人各得玉米多少斗？”在上述问题中，第一人分得玉米 A. 10 1010 10 8 87 斗 B. 9 1010 10 8 87 斗 C. 8 1010 10 8 87 斗 D. 9 10 70 8
4、 81 斗 8.在C中，若 1111 2 sinsintantanABAB ，则 A.C的最大值为 3 B.C的最大值为 2 3 C.C的最小值为 3 D.C的最小值为 6 9.某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复 兴号高铁在某时刻的速度，其工作原理是：激光器发出的光平均分成两 束射出， 在被测物体表面汇聚， 探测器接收反射光.当被测物体横向速度 为零时， 反射光与探测光频率相同.当横向速度不为零时， 反射光相对探 测光会发生频移 2 sin p v f ，其中v为测速仪测得被测物体的横向速 度，为激光波长，为两束探测光线夹角的一半，如图.若激光测速 仪安装在距离高铁1m处
5、， 发出的激光波长为1550nm( 9 1nm10 m )， 测得某时刻频移为 9 9.030 10(1/h)，则该时刻高铁的速度约等于 A.320km/h B.330km/h C.340km/h D.350km/h 10.经过抛物线 2 4yx的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，则4AFBF的最小值为 2020 年三模文科试题 第 2 页 共 7 页 A. 9 2 B.5 C.9 D.10 11.点P是正方体 1 111 ABCDABCD的侧面 11 DCC D内的一个动点，若APD与BCP的面积之比等 于2，则点P的轨迹是 A.圆的一部分 B.椭圆的一部分 C.双曲线的一部分 D.抛物线的
6、一部分 12.若关于x的不等式 2 2lnaxxax在区间 1 e e ，(e为自然对数的底数)上有实数解，则实数 a的最大值是 A.1 B. 12 1 e e e C. 3 1 ee e D. 2 1 e e e 第第IIII卷卷 (90(90分分) ) 本卷包括必考题和选考题两部分本卷包括必考题和选考题两部分. .第第1313 题题第第2121 题为必考题，每个试题考生都必须作答题为必考题，每个试题考生都必须作答. .第第2222 题、题、 第第2323题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. . 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共4 4小题，每小题小题，每小题5
7、5分，满分分，满分2020分分. .把答案填在答题卡上的相应位置把答案填在答题卡上的相应位置. . 13.设函数 2 2 2 log5 x exe f x xxe ， ， (其中e为自然对数的底数)，则 3ff的值等于 . 14.某高中各年级男、女生人数如下表： 年级 性别 高一 高二 高三 男生 592 563 520 女生 528 517 a 按年级分层抽样，若抽取该校学生80人中，高二学生有27人，则上表中a . 15.已知数列 n a中 n an，数列 n b的前n项和21 n n S .若数列 n n a b 的前n项和 n TM对于 * nN 都成立，则实数M的最小值等于 . 16
8、.已知长方体 1 111 ABCDABCD的棱 1 2AA ，3AD ，点E，F分别为棱BC， 1 CC上的动点. 若四面体 11 AB EF的四个面都是直角三角形， 则下列命题正确的是 .(写出所有正确命题的编号) 存在点E，使得 1 EFAF； 不存在点E，使得 11 B EAF； 当点E为BC中点时，满足条件的点F有3个； 当点F为 1 CC中点时，满足条件的点E有3个； 四面体 11 AB EF四个面所在平面，有4对相互垂直. 三、 解答题： 本大题共三、 解答题： 本大题共6 6小题， 满分小题， 满分7070分分. .解答应写出文字说明、解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤证明
9、过程或演算步骤. . 17.(17.(本小题满分本小题满分1212分分) ) 某市积极贯彻落实国务院“十三五”节能减排综合工作方 案，空气质量明显改善.该市生态环境局统计了某月(30 天)空 气质量指数，绘制成如下频率分布直方图.已知空气质量等级与 空气质量指数对照如下表： 在这 30 天中随机抽取一天，试估计这一天空气质量等级 是优或良的概率； 根据体质检查情况，医生建议：当空气质量指数高于 90 空气质 量指数 (0， 50 (50，100 (100，150 (150，200 (200，300 300以上 空气质 量等级 一级 (优) 二级 (良) 三级 (轻度污染) 四级 (中度污染)
10、五级 (重度污染) 六级 (严重污染) 人数 2020 年三模文科试题 第 3 页 共 7 页 时，某市民不宜进行户外体育运动.试问：该市民在这30天内，有多少天适宜进行户外体育运动? 18.(18.(本小题满分本小题满分1212分分) ) 如图，边长为 2 的等边ABC所在平面与菱形 11 A ACC所在平面 互相垂直，且 11 /BCBC， 11 2BCBC， 11 3ACAC. 求证： 11 AB平面ABC； 求多面体 1 11 ABCABC的体积V. 19.(19.(本小题满分本小题满分1212分分) ) 已知函数 2sinf xx(0 2 ，)的部分图象如图所示. 求函数 f x的解
11、析式； 将函数 f x的图象向左平移 4 个单位， 再将图象上各点的横坐标伸 长到原来的 2 倍(纵坐标不变)得到函数 g x的图象，求函数 g x在区间 0，上的值域. 20.(20.(本小题满分本小题满分1212分分) ) 在平面直角坐标系xOy中， 已知点P是椭圆E： 2 2 1 4 x y上的动点， 不经过点P的直线l交椭圆E 于A，B两点. 若直线l经过坐标原点，证明：直线PA与直线PB的斜率之积为定值； 若0OAOBOP，证明：ABP三边的中点在同一个椭圆上，并求出这个椭圆的方程. 21.(21.(本小题满分本小题满分1212分分) ) 已知函数 xx f xeeg xax ，(e
12、为自然对数的底数)，其中aR. 试讨论函数 F xf xg x的单调性； 当2a 时，记函数 f x， g x的图象分别为曲线 1 C， 2 C.在 2 C上取点 n P( nn xy， )作x轴的垂 线交 1 C于 n Q，再过点 n Q作y轴的垂线交 2 C于 1n P( 11nn xy ， )( * nN)，且1 1x . 用 n x表示 1n x ； 设数列 n x和ln n x的前n项和分别为 nn ST，求证： 1 ln2. nn STn 请考生在第请考生在第(22)(22)、(23)(23)题中任选一题作答题中任选一题作答. .注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一注
13、意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一 2020 年三模文科试题 第 4 页 共 7 页 个题目计分，作答时，请用个题目计分，作答时，请用2B2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑. . 22.(22.(本小题满分本小题满分1010分分) )选修选修4 4- -4 4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，直线m的参数方程为 cos sin xt yt (t为参数，0).以坐标原点为极点， 以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.曲线E的极坐标方程为 2+2 cos 30，直线m与曲线E交 于A，C两点. 求曲线E的直角坐标
14、方程和直线m的极坐标方程； 过原点且与直线m垂直的直线n，交曲线E于B，D两点，求四边形ABCD面积的最大值. 23.(23.(本小题满分本小题满分1010分分) )选修选修4 4- -5 5：不等式选讲：不等式选讲 已知函数 221f xxx的最小值为m. 求m的值； 若0abcm，证明： 222 2420abcbc . 合合肥市肥市20202020届高三第三次教学质量检测数学试题届高三第三次教学质量检测数学试题( (文科文科) ) 参考答案及评分参考答案及评分标准标准 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共1212小题，每小题小题，每小题5 5分，共分，共6060分分. . 二、填空题：
15、本大题共二、填空题：本大题共4 4小题，每小题小题，每小题5 5分分，共，共2 20 0分分. . 13. 2 2e 14.480 15.4 16. 三、三、解答题：本大题共解答题：本大题共6 6小题，满分小题，满分7070分分. . 17.(17.(本小题满分本小题满分1212分分) ) 解：(1)由题中图表可知，在这30天中，空气质量指数在区间 90 110， 内的天数为 7711 3020302 300600100600 天， 空气质量等级为优或良，即空气质量指数不超过100， 在这30天中随机抽取一天，其空气质量等级是优或良的概率为 1 114 1 3015 P . 6分 (2)由题中
16、图表可知， 在这30天中， 空气质量指数不高于90有 771 203027 300600100 (天)， 某市民在这个月内，有27天适宜进行户外体育运动. 12分 1 18.8.( (本小题满分本小题满分1212分分) ) 解：(1)四边形 11 A ACC是菱形，AC 11 AC. 又AC 平面ABC， 11 AC 平面ABC， 11 AC平面ABC. 同理得， 11 BC平面ABC. 11 AC， 11 BC 平面 111 ABC，且 11 AC 111 BCC， 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C B B D C B A D C A D 2020 年
17、三模文科试题 第 5 页 共 7 页 平面ABC平面 111 ABC. 又 11 AB 平面 111 ABC， 11 AB平面ABC. 5分 (2)AC 11 AC， 11 BCBC， 111 60AC BACB . 11 2ACAC， 11 22BCBC， 1 1 1 133 1 2 222 A B C S . 在菱形 11 A ACC中， 11 3ACAC， 1 60ACC， 11 3 2 22 3 2 A ACC S . 平面ABC平面 1 ACC，取AC的中点为M，连接 1 BMCM， BM平面 1 ACC， 1 C M平面ABC. 由(1)知，平面ABC平面 111 ABC， 点B到
18、平面 111 ABC的距离为 1 3C M . 又点B到平面 11 A ACC的距离为3BM ，连接 1 BC， 则 1 1 111 135 2 33 322 B A B CB A ACC VVV . 12分 1 19.9.( (本小题满分本小题满分1212分分) ) 解：(1)由已知得 2 4 2 8 2 k k (kZ)，解得 2 4 ， 2sin 2 4 f xx . 6分 (2)由题意得， 2sin 4 g xx . 0x ， 5 444 x ， 2 sin 1 42 x ， g x的值域为1 2 ，. 12分 20.(20.(本小题满分本小题满分1212分分) ) 解：设点 00 P
19、 xy， 11 A xy， 22 B xy，. (1)直线l经过坐标原点， 2121 xxyy ，. 0 2 20 1 4 x y， 0 2 20 1 4 x y . 同理得， 1 2 21 1 4 x y . 0011 01 010101 2222 22 0101 222222 0101 11 4444 1 4 PAPB xxxx yy yyyy kk xxxxxxxxxx ， 直线PA与直线PB的斜率之积为定值. 6分 2020 年三模文科试题 第 6 页 共 7 页 (2)设线段AB的中点为Q x y，则2.OA OBOQ 0OAOBOP，2OPOQ ，则 0 0 2 2 xx yy .
20、 将 0 0 2 2 xx yy 代入 0 2 20 1 4 x y得， 22 41xy， 线段AB的中点Q的轨迹方程为 22 41xy. 同理，线段AP和线段BP中点的轨迹方程也为 22 41xy. ABP三边的中点在同一个椭圆 22 41xy上. 12分 21.(21.(本小题满分本小题满分1212分分) ) 解：(1) xx Fxeea . 当2a 时， 20 xx Fxeeaa 恒成立， F x在R上单调递增. 当2a 时，由 0Fx得， 2 4 2 x aa e ， 2 4 ln 2 aa x . F x在 2 4 ln 2 aa ，和 2 4 ln 2 aa ，上单调递增， 在 2
21、2 44 ln ln 22 aaaa ，上单调递减. 5分 (2)由(1)知，当1x 时， 1 0F xF ，即当1x 时，曲线 1 C恒在 2 C上方. 按题意有， 1nn f xg x ，即 1 2 nn xx n eex ， 1 2 nn xx n ee x . 由知 1 22 nnn xxx n eee x . 注意到 1 1x ， 11 12121 222 nn xxx nnnn eee xxxxxxx ， 11 121 1 2 nn n xxx nn xxxxe ， 两边同取自然对数得， 12111 1 lnlnlnlnln 2 nnnn xxxxnxxx ， 即 1 ln2 nn
22、 STn . 12分 22.(22.(本小题满分本小题满分1010分分) ) (1)曲线E的直角坐标方程为 2 2 +14xy， 直线m的极坐标方程为(R). 5分 (2)设点A，C的极坐标分别为 1 ， 2 ，. 由 2 = +2 cos30 得， 2+2 cos 30， 12 2cos ， 12 3 ， 2 12 2 cos3AC. 同理得， 2 2 sin3BD. 2222 1 2 cos3sin3cos3sin37 2 ABCD SACBD ， 2020 年三模文科试题 第 7 页 共 7 页 当且仅当 22 cos3sin3 ，即 3 44 或时，等号成立， 四边形ABCD面积的最大值为7. 10分 23.(23.(本小题满分本小题满分1010分分) ) (1) 3 1 2211 311 3 1 xx f xxxxx xx ， ， ， ， 根据函数图象得， f x的最小值为-2， 2m . 5分 (2)由(1)知，2abc， 2 222 2222 1211111 12 119abcabcabc ， 22 2 123abc， 当且仅当12abc ，2abc，即1a ，2b ，1c 时等号成立， 222 2420abcbc. 10分
