1、盈亏问题知识点说明：盈亏问题的特点是问题中每一同类量都要出现两种不同的情况分配不足时，称之为“亏”，分配有余称之为“盈”；还有些实际问题，是把一定数量的物品平均分给一定数量的人时，如果每人少分，则物品就有余(也就是盈)，如果每人多分，则物品就不足(也就是亏)，凡研究这一类算法的应用题叫做“盈亏问题”可以得出盈亏问题的基本关系式：(盈亏)两次分得之差人数或单位数(盈盈)两次分得之差人数或单位数(亏亏)两次分得之差人数或单位数物品数可由其中一种分法和人数求出.也有的问题两次都有余或两次都不足，不管哪种情况，都是属于按两个数的差求未知数的“盈亏问题”. 注意1.条件转换 2.关系互换板块一、直接计算
2、型盈亏问题【例 1】 三年级一班少先队员参加学校搬砖劳动如果每人搬4块砖，还剩7块；如果每人搬5块，则少2块砖这个班少先队有几个人？要搬的砖共有多少块？【解析】 比较两种搬砖法中各个量之间的关系：每人搬4块，还剩7块砖；每人搬5块，就少2块这两次搬砖，每人相差（块）第一种余7块，第二种少2块，那么第二次与第一次总共相差砖数：（块），每人相差1块，结果总数就相差9块，所以有少先队员（人）共有砖：（块）【巩固】 明明过生日，同学们去给他买蛋糕，如果每人出8元，就多出了8元；每人出7元，就多出了4元那么有多少个同学去买蛋糕？这个蛋糕的价钱是多少？【巩固】 老猴子给小猴子分桃，每只小猴分10个桃，就多
3、出9个桃，每只小猴分11个桃则多出2个桃，那么一共有多少只小猴子？老猴子一共有多少个桃子？【巩固】 有一批练习本发给学生，如果每人5本，则多70本，如果每人7本，则多10本，那么这个班有多少学生，多少练习本呢？【例 2】 （年“走进美妙的数学花园”初赛）猴王带领一群猴子去摘桃下午收工后，猴王开始分配若大猴分个，小猴分个，猴王可留个若大、小猴都分个，猴王能留下个在这群猴子中，大猴（不包括猴王）比小猴多只【详解】 当大猴分个，小猴分个时，猴王可留个若大、小猴都分个，猴王能留下个也就是说在大猴分个，小猴分个后，每只大猴都拿出个，分给每只小猴个后，还剩下个，所以大猴比小猴多只【巩固】 学而思学校新买来
4、一批书，将它们分给几位老师，如果每人发10本，还差9本，每人发9本，还差2本，请问有多少老师？多少本书？【巩固】 幼儿园给获奖的小朋友发糖，如果每人发6块就少12块，如果每人发9块就少24块，总共有多少块糖呢？【巩固】 王老师去琴行买儿童小提琴，若买7把，则所带的钱差110元；若买5把，则所带的钱还多30元，问儿童小提琴多少钱一把？王老师一共带了多少钱？【巩固】 工人运青瓷花瓶250个，规定完整运到目的地一个给运费20元，损坏一个倒赔100元运完这批花瓶后，工人共得4400元，则损坏了多少个？【例 3】 某校安排学生宿舍，如果每间住5人则有14人没有床位；如果每间住7人，则多出4个床位，问宿舍
5、几间?住宿生几人?【解析】 由已知条件 每间5人 少14个床位 每间7人 多4个床位比较两次分配的方案，可以看出，由于第二种方案比第一种每间多住人，一共要多出个床位，根据两种方案每间住的人数的差和床位差，可以求出宿舍间数，然后根据已知条件可求出住宿生人数 解：(间)(人)，或(人)【巩固】 学校有30间宿舍，大宿舍每间住6人，小宿舍每间住4人已知这些宿舍中共住了168人，那么其中有多少间大宿舍？【巩固】 智康学校三年级精英班的一部分同学分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒则少6粒，问：有多少位同学分多少粒糖果？【巩固】 秋天到了，小白兔收获了一筐萝卜，它按照计划吃的天数算了一下，如果
6、每天吃4个，要多出48个萝卜；如果每天吃6个，则又少8个萝卜那么小白兔买回的萝卜有多少个？计划吃多少天？板块二、条件关系转换型盈亏问题【例 4】 猫妈妈给小猫分鱼，每只小猫分10条鱼，就多出8条鱼，每只小猫分11条鱼则正好分完，那么一共有多少只小猫？猫妈妈一共有多少条鱼？【解析】 猫妈妈的第一种方案盈8条鱼，第二种方案不盈不亏，所以盈亏总和是8条，两次分配之差是（条），由盈亏问题公式得，有小猫：（只），猫妈妈有（条）鱼【巩固】 学而思学校三年级基础班的一部分同学分小玩具，如果每人分4个就少9个，如果每人分3个正好分完，问：有多少位同学分多少个小玩具？【巩固】 学而思学校买来一批小足球分给各班：
7、如果每班分4个，就差66个，如果每班分2个，则正好分完，学而思小学一共有多少个班？买来多少个足球？【巩固】 一位老师给学生分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒正好分完，问：有多少位学生？共多少粒糖果？【巩固】 实验小学学生乘车去春游，如果每辆车坐60人，则有15人上不了车；如果每辆车多坐5人，恰好多出一辆车.问一共有几辆车，多少个学生？【例 5】 甲、乙两人各买了相同数量的信封与相同数量的信纸，甲每封信用2 张信纸，乙每封信用3 张信纸，一段时间后，甲用完了所有的信封还剩下20 张信纸，乙用完所有信纸还剩下10 个信封，则他们每人各买了多少张信纸？【例 6】 幼儿园将一筐苹果分给小朋
8、友，如果全部分给大班的小朋友，每人分5个，则余下10个。如全部分给小班的小朋友，每人分到8个，则缺2个。已知大班比小班多3人，问：这筐苹果共有多少个？【巩固】 幼儿园把一袋糖果分给小朋友如果分给大班的小朋友，每人5 粒就缺6 粒如果分给小班的小朋友，每人4 粒就余4 粒已知大班比小班少2 个小朋友，这袋糖果共有多少粒？【例 7】 有一些糖，每人分块则多块，如果现有人数增加到原有人数的倍，那么每人块就少两块，这些糖共有多少块？【解析】 第一次每人分块，第二次每人分块，可以认为原有的人每人拿出块糖分给新增加的人，而新增加的人刚好是原来的一半，这样新增加的人每人可分到块糖果，这些人每人还差块，一共差
9、了块，所以新增加了人，原有人糖果数为：(块)【巩固】 卧龙自然保护区管理员把一些竹子分给若干只大熊猫，每只大熊猫分5个还多余10棵竹子，如果大熊猫数增加到3倍还少5只，那么每只大熊猫分2棵竹子还缺少8棵竹子，问有大熊猫多少只，竹子多少棵？【巩固】 体育队将一些羽毛球分给若干个人，每人5个还多余10个羽毛球，如果人数增加到3倍，那么每人分2个羽毛球还缺少8个，问有羽毛球多少个？【例 8】 王老师给小朋友分苹果和桔子，苹果数是桔子数的2倍.桔子每人分3个，多4个；苹果每人分7个，少5个.问有多少个小朋友？多少个苹果和桔子？【解析】 因为桔子每人分3个多4个，而苹果是桔子的2倍，因此苹果每人分6个就
10、多8个.又已知苹果每人分7个少5个，所以应有（8+5）（6-5）=13（人）.苹果个数为137-5=86（个）.桔子数为133+4=43（个）.答：有13个小朋友，86个苹果和43个桔子.【巩固】 学而思学校买来一批体育用品，羽毛球拍是乒乓球拍的2倍，分给同学们，每组分乒乓球拍5副，余乒乓球拍15副，每组分羽毛球拍14副，则差30副，问：学而思学校买来羽毛球拍、乒乓球拍各多少副？【例 9】 用一根长绳测量井的深度，如果绳子两折时，多5M；如果绳子3折时，差4M.求绳子长度和井深.【例 10】 乐乐有一个储蓄筒，存放的都是硬币，其中2分币比5分币多22个；按钱数算，5分币却比2分币多4角；另外，
11、还有36个1分币乐乐共存了多少钱？【例 11】 阳光小学学生乘汽车到香山春游如果每车坐65人，则有5人不能乘上车；如果每车多坐5人，恰多余了一辆车，问一共有几辆汽车，有多少学生？【巩固】 幸福小学少先队的同学到会议室开会，若每条长椅上坐3人则多出7人，若每条长椅上多坐4人则多出3条长椅问：到会议室开会的少先队员有多少人？【巩固】 智康小合唱队的同学到会议室开会，若每条长椅上坐3人则多出9人，若每条长椅上坐4人则多出3人.问：合唱队有多少人？【巩固】 少先队员去植树，如果每人挖5个树坑，还有3个树坑没人挖；如果其中两人各挖4个树坑，其余每人挖6个树坑，就恰好挖完所有的树坑。请问，共有多少名少先队
12、员？共挖了多少树坑？【巩固】 六年级学生出去划船。老师算了一下，如果每船坐6人，那么还剩下22人没船坐。安排时发现有3条船坏了，于是改为每船坐8人，结果还剩下6人没地方坐，请问：一共有多少学生？【例 12】 学校为新生分配宿舍每个房间住3人，则多出23人；每个房间住5人，则空出3个房间问宿舍有多少间？新生有多少人？【解析】 每个房间住3人，则多出23人，每个房间住5人，就空出3个房间，这3个房间如果住满人应该是(人)，由此可见，每一个房间增加(人)两次安排人数总共相差(人)，因此，房间总数是：38219(间)，学生总数是：(人)，或者(人)【巩固】 学校为新生分配宿舍每个房间住3人，则多出22
13、人；每个房间多住5人，则空1个房间问宿舍有多少间？新生有多少人？【巩固】 军队分配宿舍，如果每间住3人，则多出20人；如果每间住6人，余下2人可以每人各住一个房间，现在每间住10人，可以空出多少个房间？【巩固】 猪妈妈带着孩子去野餐，如果每张餐布周围坐4只小猪就有6只小猪没地方坐，如果每张餐布周围多坐一只小猪就会余出4个空位子，问：一共有多少只小猪，猪妈妈一共带了多少张餐布？【例 13】 国庆节快到了，学而思学校的少先队员去摆花盆如果每人摆5盆花，还有3盆没人摆；如果其中2人各摆4盆，其余的人各摆6盆，这些花盆正好摆完问有多少少先队员参加摆花盆活动，一共摆多少花盆？【巩固】 妈妈买来一篮橘子分
14、给全家人，如果其中两人分4个，其余人每人分2个，则多出4个；如果其中一人分6个，其余人每人分4个，则缺少12个，妈妈买来橘子多少个?全家共有多少人?【例 14】 四班举行“六一”联欢晚会，辅导员老师带着一笔钱去买糖果如果买芒果千克，还差元；如果买奶糖千克，则还剩元已知每千克芒果比奶糖贵元，那么，辅导员老师带了元钱【解析】 这笔钱买千克芒果还差元，若把这千克芒果换成奶糖就会多出元，所以这笔钱买千克奶糖会多出元而这笔钱买千克奶糖会多出元，所以每千克奶糖的价格为：（元）辅导老师共带了元【巩固】 小明妈妈带着一笔钱去买肉，若买10千克牛肉则还差6元，若买12千克猪肉则还剩4元已知每千克牛肉比猪肉贵3元
15、，问：小明妈妈带了多少钱？【巩固】 食堂采购员小李到集贸市场去买肉，如果买牛肉18千克，则差4元；如果买猪肉20千克，则多2元.已知牛肉、猪肉每千克差价8角.问牛肉、猪肉各多少钱一千克？【巩固】 李明的妈妈去超市买洗衣粉，雕牌和碧浪的单价分别为8元和10元，李妈妈带的钱买雕牌洗衣粉比买碧浪洗衣粉可多买3袋，并且没有剩余的钱问：李妈妈带了多少钱？【例 15】 小强由家里到学校，如果每分钟走M，上课就要迟到分钟；如果每分钟走M，就可以比上课时间提前分钟到校。小强家到学校的路程是多少M？【解析】 迟到分钟转化成M数：（M），提前分钟到校转化成M数：（M），距离上课时间为：（分钟），家到学校的路程为：
16、（M）【巩固】 东东从家去学校，如果每分走80M，结果比上课提前6分到校，如果每分走50M，则要迟到3分，那么东东家到学校的路程是_M【巩固】 王老师由家里到学校，如果每分钟骑车500M，上课就要迟到3分钟；如果每分钟骑车600M，就可以比上课时间提前2分钟到校.王老师家到学校的路程是多少M？【巩固】 学校规定上午8时到校，小明去上学，如果每分种走60M，可提早10分钟到校；如果每分钟走50M，可提早8分钟到校，求小明几时几分离家刚好8时到校？由家到学校的路程是多少？【例 16】 “六一”儿童节，小明到商店买了一盒花球和一盒白球，两盒内的球的数量相等花球原价1元钱2个，白球原价1元钱3个因节日
17、商店优惠销售，两种球的售价都是2元钱5个，结果小明少花了4元钱，那么小明共买了多少个球？【解析】 花球原价1元钱2个，白球原价1元钱3个即花球原价10元钱20个，白球原价10元钱30个那么，同样买花球和白球各30个，花球要比白球多花（元），共需要（元）现在两种球的售价都是2元钱5个，花球和白球各买30个需要（元），说明花球和白球各买30个能省下（元）现在共省了4元，说明花球和白球各有（个），共买了（个）【例 17】 （2009“数学解题能力展示”中年级组复试卷）幼儿园老师买了同样多的巧克力、奶糖和水果糖她发给每个小朋友2块巧克力，7块奶糖和8块水果糖发完后清点一下，水果糖还剩15块，而巧克力恰
18、好是奶糖的3倍那么共有_个小朋友【解析】 画线段图分析，由题意知：从奶糖的7份中取2份，那么剩下的5份就和上面的2小段相等如图：那么2小段和5份都看成10份量，那么总量就相当于19份量，水果糖中原有的8份就是现在的16份，则剩下的15块水果糖就占有3份，则1份就是5块，给小朋友们分出去的水果糖数量是：（块），小朋友的人数是：（人）方法二：由上图知，设发完后奶糖剩下份，则巧克力剩下份，而巧克力与奶糖每人分得相差块，对应剩下的糖相差份，水果糖与奶糖每人分得相差块，则对应剩下的糖应相差份，所以水果糖最后应剩下份，恰是块，所以1份对应的是，所以应用盈亏问题共有（人）【例 18】 一盒咖啡中有若干袋，一
19、包方糖中有若干块小唐喝前两盒咖啡时每袋咖啡都放3块方糖，结果共用了1包方糖和第2包中的24块；小唐喝后三盒咖啡时每袋咖啡都只放1块方糖，最后第3包方糖还剩下36块，那么每盒咖啡有多少袋？【解析】 小唐喝前2盒咖啡，每袋放3块糖，相当于喝6盒咖啡每袋放1块糖；小唐喝后3盒咖啡，每袋放1块糖，所以喝后3盒用掉的方糖总量是前2盒用掉方糖量的一半同时，小唐喝前2盒咖啡一共用掉方糖一包又24块，喝后3盒咖啡用掉方糖一包差12块，因此一包又24块方糖与两包差24块方糖一样多，一包方糖有（块）于是喝前两盒咖啡用掉方糖（块），每盒咖啡的袋数为：（袋）【巩固】 巧克力每盒块，软糖每盒块，要把这两种糖分发给一些小
20、朋友，每种糖每人一块，由于又来了一位小朋友，软糖就要增加一盒，两种糖分发的盒数就一样多，现在又来了一位小朋友，巧克力还要增加一盒，则最后共有多少个小朋友？【例 19】 有若干盒卡片分给一些小朋友，如果只分一盒，每人至少可以得到7张；如果每人分8张卡片，则还缺少5张现在把所有卡片都分完，每人分到60张，而且还多出4张问：共有多少个小朋友？【详解】 首先由题意，一盒卡片每人分7张则有剩余，每人分8张则少5张，证明总人数多于5个如果一共有7盒卡片，则所有人每人要想分到（张）卡片，还缺35张，卡片张数比题中所述要少如果一共有9盒卡片，则只要再添上（张）卡片，就能使所有人每人分到（张），人数为，不满足总
21、人数多于5个的要求类似地，当卡片总盒数多于9时，都不满足总人数多于5个的要求因此卡片一共有8盒，添上（张）卡片，就能使所有人每人分到（张），所以总人数为：（人）(二解)，说明卡片的盒数是8盒，“若都分8张则还缺少5张”，即如果我们在每盒中加5张（8盒共加40张），每人就可以得到（张），现在实际每人得到60张，即每人需要退出4张，其中要有4张是每人60张后多下来的，还有40张是我们一开始借来的要还出去，即要退出44张，（人），说明有11人【例 20】 有若干个苹果和若干个梨.如果按每1个苹果配2个梨分堆，那么梨分完时还剩2个苹果；如果按每3个苹果配5个梨分堆，那么苹果分完时还剩1个梨.苹果和梨各
22、有多少个?【解析】 容易看出这是一道盈亏应用题，但是盈亏总额与两次分配数之差很难找到.原因在于第一种方案是1个苹果“搭配”2个梨，第二种方案是3个苹果“搭配”5个梨.如果将这两种方案统一为1个苹果“搭配”若干个梨，那么问题就好解决了.将原题条件变为“1个苹果搭配2个梨，缺4个梨；1个苹果搭配5/3个梨，多1个梨”，此时盈亏总额为(个)梨，两次分配数之差为(个)梨.所以有苹果(个)，有梨(个).【巩固】 有若干个苹果和梨，如果按1个苹果配3个梨分一堆，那么苹果分完时，还剩2个梨；如果按半个苹果配2个梨分一堆，那么梨分完时，还剩半个苹果.问梨有多少个？【例 21】 幼儿园老师给小朋友分糖果若每人分
23、8块，还剩10块；若每人分9块，最后一人分不到9块，但至少可分到一块那么糖果最多有多少块？【分析】 最后一人分不到9块，那么最多可以分到8块，即若每人分9块，还差1块根据盈亏计算公式，人数有（人），糖果最多有（块）；最后一人分不到9块，但至少可分到一块，即最少是最后一人差8块，根据盈亏计算公式，人数有（人），糖果最多有（块）；所以，这批糖果最多有154块【例 22】 幼儿园有三个班，甲班比乙班多人，乙班比丙班多人，老师给小孩分枣，甲班每个小孩比乙班每个小孩少分个枣，乙班每个小孩比丙班每个小孩少分个枣，结果甲班比乙班共多分个枣，乙班比丙班总共多分个枣问：三个班总共分了多少个枣？【解析】 设丙班有
24、个小孩，那么乙班就有个小孩，甲班有个小孩乙班每个小孩比丙班每个小孩少分个枣，那么个小孩就少分个枣，而乙班比丙班总共多分个枣，所以多出来的那个小孩分了个枣 同样的道理，甲班每个小孩比乙班每个小孩少分个枣，那么个小孩就少分个枣，而甲班比乙班总共多分个枣，所以多出来的那个小孩分了个枣甲班每个小孩比乙班每个小孩少分个枣，个小孩就少个枣，因此我们得到：，解得 所以，丙班有个小朋友，乙班有个小朋友，甲班有个小朋友；甲班每人分个枣，乙班每人分个枣，丙班每人分个枣共分了（个）枣【巩固】 有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够如果把书全分
25、给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够问第二组有多少人？【例 23】 “六一”儿童节，小明到商店买了一盒花球和一盒白球，两盒内的球的数量相等花球原价1元钱2个，白球原价1元钱3个因节日商店优惠销售，两种球的售价都是2元钱5个，结果小明少花了4元钱，那么小明共买了多少个球？【解析】 花球原价1元钱2个，白球原价1元钱3个即花球原价10元钱20个，白球原价10元钱30个那么，同样买花球和白球各30个，花球要比白球多花（元），共需要（元）现在两种球的售价都是2元钱5个，花球和白球各买30个需要（元），说明花球和白球各买30个能省下（元）现在共省了4元，说明花球和白球各有（个），共买了（个）
26、【巩固】 有红、黄、绿3种颜色的卡片共有100张，其中红色卡片的两面上分别写有1和2，黄色卡片的两面上分别写着1和3，绿色卡片的两面上分别写着2和3现在把这些卡片放在桌子上，让每张卡片写有较大数字的那面朝上，经计算，各卡片上所显示的数字之和为234若把所有卡片正反面翻转一下，各卡片所显示的数字之和则变成123问黄色卡片有多少张？【例 24】 四(2)班在这次的班级评比中，获得了“全优班”的称号为了奖励同学们，班主任刘老师买了一些铅笔和橡皮刘老师把这些铅笔和橡皮分成一小堆一小堆，以便分给几位优秀学生如果每堆有1块橡皮2支铅笔，铅笔分完时橡皮还剩5块；如果每堆有3块橡皮和5支铅笔，橡皮分完时还剩5支铅笔那么，刘老师一共买了多少块橡皮?多少支铅笔? 【解析】 如果增加10支铅笔，则按1块橡皮、2支铅笔正好分完；而按3块橡皮、5支铅笔分，则剩下10+5=15(支)铅笔，但如果按3块橡皮、6支铅笔分，则正好分完，可以分成：15(65)=15(堆)，所以，橡皮数为：153=45(块)，铅笔数为：15610=80(支)【巩固】 小白兔和小灰兔各有若干只如果5只小白兔和3只小灰兔放到一个笼子中，小白兔还多4只，小灰兔恰好放完；如果7只小白兔和3只小灰兔放到一个笼子中，小白兔恰好放完，小灰兔还多12只那么小白兔和小灰兔共有多少只？11 / 11
