1、3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示一、复习引入一、复习引入l定义：定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么称这条直线和这个平面垂直。那么称这条直线和这个平面垂直。判定：判定：如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，则这条直线与这个平面垂直。则这条直线与这个平面垂直。mnA性质：性质：(1)(1)垂直于同一个平面的两条直垂直于同一个平面的两条直线平行。线平行。(2)(2)垂直于同一条直线的两个平垂直于同一条直线的两个平面平行。面平行。l二、概念形成二、概念形成概念概念1.1.平面的法向
2、量平面的法向量已知平面已知平面 ，如果向量，如果向量 的基线与平面的基线与平面 垂直，则垂直，则 叫做平面叫做平面 的的法向量法向量或说向量或说向量 与平面与平面 正交正交。nnnn m由平面的法向量的定义可知，由平面的法向量的定义可知，平面平面 的法向量有无穷多个的法向量有无穷多个，法向量一定垂直于与平面法向量一定垂直于与平面 共面的所有向量。共面的所有向量。abc由于垂直于同一平面的两条直线由于垂直于同一平面的两条直线平行，所以，一个平面的所有法平行，所以，一个平面的所有法向量都是平行的。向量都是平行的。m模为模为1 1的法向量，叫做的法向量，叫做单位法向量单位法向量，记作记作 显然显然0
3、 n0|nnn 正方体正方体ACAC1 1棱长为棱长为1 1，求平面，求平面ADBADB1 1的的一个法向量一个法向量。二、概念形成二、概念形成概念概念1.1.平面的法向量平面的法向量例子：例子：A AB BC CD DA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1一个平面的法向量不只一个，但它们都是平行一个平面的法向量不只一个，但它们都是平行(或共线或共线)的，的，我们借助于待定系数法可求出平面的一个法向量。我们借助于待定系数法可求出平面的一个法向量。例题例1：已知点 ，其中求平面 的一个法向量。)0,0,(aA),0,0(cC)0,0(bB0 abcABCn解：由已知得),0,()0,(
4、caOAOCACbaOAOBAB ),(zyxnABC 的一个法向量为设平面 0),0,(),(0)0,(),(czaxcazyxACnbyaxbazyxABn则xcazxbay ,解得abzacybcx ,则令),(abacbcn cazbayx ,1则令),1(caban 有何关系？二、概念形成二、概念形成概念概念2.2.直线与平面垂直的判定定理的向量证明直线与平面垂直的判定定理的向量证明直线与平面垂直的判定定理：直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，那么这条直如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。线垂直于这个平面。abn已知：已知
5、：是平面是平面 内的两条相交的直线，且内的两条相交的直线，且 求证：求证：,a b,na nbn二、概念形成二、概念形成概念概念3.3.平面的向量表示平面的向量表示空间直线可以用向量来表示，对于空间的平面也可以用向空间直线可以用向量来表示，对于空间的平面也可以用向量来刻画。量来刻画。设设A A是空间任意一点，是空间任意一点，为空间任意一个非零向量，适合条为空间任意一个非零向量，适合条件件 的点的点 M M 的集合构成什么样的图形？的集合构成什么样的图形？n0AMnnA AM MM M1 1M M2 2我们可以通过空间一点和一个我们可以通过空间一点和一个非零向量确定唯一的一个与该非零向量确定唯一
6、的一个与该向量垂直的平面。向量垂直的平面。0AMn称此为称此为平面的向量表达式。平面的向量表达式。二、概念形成二、概念形成概念概念4.4.用法向量证明平面与平面平行及垂直用法向量证明平面与平面平行及垂直2 n1 n设设 分别是平面分别是平面 的法向量，则有的法向量，则有12,n n,12/nn或 与 重合1 n12120 nnnn 已知正方体已知正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，E E，F F分别是分别是BBBB1 1，CDCD的的中点。求证：平面中点。求证：平面DEADEA平面平面A A1 1FDFD1 1 。二、概念形成二、概念形成概念概念4.
7、4.用法向量证明平面与平面平行及垂直用法向量证明平面与平面平行及垂直例子例子A AB BC CD DA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1E EF F利用法向量证明两个平面垂直的基本思路是证明两个平面利用法向量证明两个平面垂直的基本思路是证明两个平面的法向量互相垂直。的法向量互相垂直。三、应用举例三、应用举例利用法向量证明两个平面平行的基本思路是证明两个平面利用法向量证明两个平面平行的基本思路是证明两个平面的法向量平行的法向量平行(或共线或共线)。三、应用举例三、应用举例例例2.2.已知正方体已知正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，求证：，求证：
8、(1)AD(1)AD1 1/平面平面BDCBDC1 1 ；(2)AC(2)AC1 1平面平面BDCBDC1 1 。A AB BC CD DA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1利用法向量证明直线与平面的平行的基本思路是证明法向利用法向量证明直线与平面的平行的基本思路是证明法向量与直线平行量与直线平行(或共线或共线)的向量垂直；证明直线与平面垂直的向量垂直；证明直线与平面垂直只要证明法向量与该直线共线的向量平行即可。只要证明法向量与该直线共线的向量平行即可。射影：射影：已知平面已知平面 和一点和一点A A，过点，过点A A作作 的垂线的垂线 与与 交交于点于点 ，则，则 就是点就是点A
9、 A在平面在平面 内的正射影，也可简内的正射影，也可简称射影。称射影。二、概念形成二、概念形成概念概念5.5.用法向量证明用法向量证明“三垂线定理三垂线定理”预备知识：预备知识：AlA AAABl斜线在平面上的正射影：设直斜线在平面上的正射影：设直线线 与平面与平面 交于点交于点B B，但不，但不和和 垂直，那么直线垂直，那么直线 叫做叫做这个平面的斜线。斜线和平面这个平面的斜线。斜线和平面的交点的交点B B叫做斜足。叫做斜足。ll斜线在平面上的正射影斜线在平面上的正射影：在直在直线线 上任取一点上任取一点A A，作，作A A点在平点在平面面 内的射影内的射影 ，则平面内，则平面内直线直线 叫
10、做斜线叫做斜线 在该平在该平面内的射影。面内的射影。lAA BlA AA已知已知 是平面是平面 的斜线，的斜线，是是 在平面在平面 内的射影内的射影,直线直线 且且lA BlaaA B二、概念形成二、概念形成概念概念5.5.用法向量证明用法向量证明“三垂线定理三垂线定理”三垂线定理：三垂线定理：如果在如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，的射影垂直，则它也则它也和这条斜线垂直和这条斜线垂直。BlA AAa求证：求证：alA(1,3，3)B(9,1,1)C(1，3,3)D(9，1，1)答案B答案BA28 B28C14 D14答案D二、填空题4已知a(2，2,3)，b(4,2，x)，且ab，则x_.解析代入夹角公式，求得分析利用线面平行满足的条件，转化为向量运算求待定量方法二：如图，以A为坐标原点，直线AD、AP分别为y轴、z轴，过A点垂直于平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系
