1、空间解析几何简介空间解析几何简介v向量及其线性运算向量及其线性运算v数量积数量积 向量积向量积 *混合积混合积v空间平面及其方程空间平面及其方程v空间直线及其方程空间直线及其方程v二次曲线及其方程二次曲线及其方程v二次曲面及其方程二次曲面及其方程数量关系数量关系 第一部分第一部分 向量向量第二部分第二部分 空间解析几何空间解析几何 在三维空间中:空间形式空间形式 点点,线线,面面基本方法基本方法 坐标法坐标法;向量法向量法坐标坐标,方程（组）方程（组）空间解析几何四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算 第一节一、向量的概念一、向量的概念二、向量的线性运算二、向量的线性运算 三
2、、空间直角坐标系三、空间直角坐标系五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 向量及其线性运算.a或表示法:向量的模:向量的大小,21MM记作一、向量的概念一、向量的概念向量:(又称矢量).1M2M既有大小,又有方向的量称为向量向径(矢径):自由向量:与起点无关的向量.起点为原点的向量.单位向量:模为 1 的向量,.a或记作 a零向量:模为 0 的向量,.00或，记作有向线段 M1 M2,或 a,a或.a或规定:零向量与任何向量平行;若向量 a 与 b大小相等,方向相同,则称 a 与 b 相等,记作 ab;若向量 a 与 b 方向相同或相反,则称 a 与 b 平行,ab;与 a 的模
3、相同,但方向相反的向量称为 a 的负向量,记作因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称 两向量共线.若 k(3)个向量经平移可移到同一平面上,则称此 k 个向量共面.记作a;二、向量的线性运算二、向量的线性运算1.向量的加法向量的加法三角形法则:平行四边形法则:运算规律:交换律结合律三角形法则可推广到多个向量相加.bbabbacba)()(cbacbaaaba ba s3a4a5a2a1a54321aaaaas2.向量的减法向量的减法三角不等式ab)(ab有时特别当,ab aa)(aababaabaaba0bababaa3.向量与数的乘法向量与数的乘法 是一个数,.a规定:时，0，同向与
4、aa,0时,0时.0a;aa;1aa可见;1aa;aa 与 a 的乘积是一个新向量,记作，反向与aa总之:运算律:结合律)(a)(aa分配律a)(aa)(baba,0a若a则有单位向量.1aa因此aaa xyz三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系.坐标原点 坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z 轴(竖轴)过空间一定点 o,o 坐标面 卦限(八个)xoy面yoz面zox面1.空间直角坐标系的基本概念空间直角坐标系的基本概念xyzo向径在直角坐标系下 11坐标轴上的点 P,Q,R;坐标面上的点 A,B,C点点 M特殊点的坐标:有序数组),(zyx 1
5、1)0,0,(xP)0,0(yQ),0,0(zR)0,(yxA),0(zyB),(zoxC(称为点 M 的坐标坐标)原点 O(0,0,0);rrM坐标轴:轴x00zy00 xz轴y轴z00yx坐标面:面yox0 z面zoy0 x面xoz0 yxyzo2.向量的坐标表示向量的坐标表示在空间直角坐标系下,),(zyxM则沿三个坐标轴方向的分向量分向量.123rxeyeze),(zyxxoyzMNBC1e3eA123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),eeex y z 以分别表示轴上的单位向量设点 M的坐标为此式称为向量 r 的坐标分解式坐标分解式,123,xe ye zer 称为向量r
6、任意向量 r 可用向径 OM 表示.NMONOMOCOBOA123,OAx eOBy eOCz e 2e 四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算设),(zyxaaaa,),(zyxbbbb 则ba),(zzyyxxbababaa),(zyxaaaab,0 时当aabxxabyyabzzabxxabyyabzzab平行向量对应坐标成比例:，为实数五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 1.向量的模与两点间的距离公式向量的模与两点间的距离公式222zyx),(zyxr 设则有OMr 222OROQOPxoyzMNQRP由勾股定理得),(111zyxA因AB得两点间的
7、距离公式:),(121212zzyyxx212212212)()()(zzyyxx对两点与,),(222zyxB,rOM作OMr OROQOPBABAOAOBBAoyzx2.方向角与方向余弦方向角与方向余弦设有两非零向量,ba任取空间一点 O,aOA作,bOBOAB称 =AOB(0 )为向量 ba,的夹角.),(ab或类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角.,0),(zyxr给定与三坐标轴的夹角,rr称为其方向角方向角.cosrx222zyxx方向角的余弦称为其方向余弦方向余弦.记作),(baoyzxrcosrx222zyxxcosry222zyxycosrz222zyxz1coscoscos222
8、方向余弦的性质:的单位向量向量 rrrr)cos,cos,(cos*三、三、向量的混合积向量的混合积 第二节一、一、两向量的内积两向量的内积二、二、两向量的向量积两向量的向量积数量积 向量积 *混合积1M一、两向量的内积一、两向量的内积沿与力夹角为的直线移动,W1.定义定义设向量的夹角为,称 记作内积(点积，数量积).引例引例.设一物体在常力 F 作用下,F位移为 s,则力F 所做的功为cossFsFW2Mbacosba的与为baba,s,0时当a上的投影为在ab记作故,0,时当同理babj rPb2.性质性质为两个非零向量,则有baj rPcosbbabaaj rPbaaa)1(2aba,)
9、2(0baba ba0ba则2),(ba0,0ba3.运算律运算律(1)交换律(2)结合律),(为实数abbaba)()(ba)(ba)()(ba)(ba)(ba(3)分配律cbcacba事实上,当0c时,显然成立;时当0cc)(ba babcj rPacj rPcbabacj rPc cbaccj rPj rPacj rP cbcj rPccacb)(j rPbac4.数量积的坐标表示数量积的坐标表示设则,10zzyyxxbababa当为非零向量时,cos zzyyxxbababa222zyxaaa222zyxbbb由于 bacosba123,xyzaa ea ea e123,xyzbb e
10、b eb eba123()xyza ea ea e123()xyzb eb eb e11eebaba baba,两向量的夹角公式,得22ee33ee12ee23ee31ee)(MB,)(MA BM例例2.已知三点,)2,1,2(),1,2,2(,)1,1,1(BAM AMB.A解解:,1,1 0,1,0 1则AMBcos10022213AMB求MBMAMA MB故为 ).求单位时间内流过该平面域的流体的质量P(流体密度例例3.设均匀流速为的流体流过一个面积为 A 的平面域,与该平面域的单位垂直向量,A解解:单位时间内流过的体积APAA的夹角为且vvncosvcosvnv vnn为单位向量二、两
11、向量的向量积二、两向量的向量积引例引例.设O 为杠杆L 的支点,有一个与杠杆夹角为OQOLPQ符合右手规则OQFFsinOPsinOPMFOPOPM M矩是一个向量 M:的力 F 作用在杠杆的 P点上,则力 F 作用在杠杆上的力FoPFMFM 1.定义定义定义向量方向:(叉积)记作且符合右手规则模:向量积,，的夹角为设ba,c,acbccsinabbac称c的与为向量babacba引例中的力矩FOPM思考思考:右图三角形面积abba21S2.性质性质为非零向量,则，0sin或即0aa)1(0ba,)2(0baba,0,0时当baba0basinab03.运算律运算律(2)分配律(3)结合律ab
12、cba)(cbcaba)()(ba)(baba)1(证明证明:4.向量积的行列式计算法向量积的行列式计算法1()yzzya ba be2()zxxza ba be3()xyyxa ba be123eeexayazaxbybzb1yzyzaaebb2zxzxaaebb 3xyxyaaebbba123,xyza a ea ea e123,xyzbb eb eb e例例4.已知三点,)7,4,2(),5,4,3(,)3,2,1(CBA角形 ABC 的面积 解解:如图所示,CBASABC21123eee222124)(21,4,622222)6(42114sin21AB AC21ACAB求三一点 M
13、的线速度例例5.设刚体以等角速度 绕 l 轴旋转,导出刚体上 的表示式.Ml解解:在轴 l 上引进一个角速度向量使a其在 l 上任取一点 O,O作它与则点 M离开转轴的距离a且符合右手法则的夹角为,sinar,rOM vsinr,vr rvvv方向与旋转方向符合右手法则,r向径*三、向量的混合积向量的混合积1.定义定义 已知三向量称数量混合积混合积.记作几何意义几何意义 为棱作平行六面体,底面积高h故平行六面体体积为hAV coscba)(cba,cba的为cba,Abaccba,以则其cosbaccba)(cbabacbazyxzyxbbbaaaxcyczc2.混合积的坐标表示混合积的坐标表
14、示设zxzxbbaayxyxbbaacba)(ba,),(zyxaaaa cbazyzybbaa,),(zyxbbbb),(zyxcccc xcyczc1yzyzaaebb2zxzxaaebb 3xyxyaaebb3.性质性质(1)三个非零向量共面的充要条件是0(2)轮换对称性:(可用三阶行列式推出)cbacba,a b cab ca bcabc例例6.已知一四面体的顶点),(kkkkzyxA,3,2,1(k4),求该四面体体积.1A2A3A4A解解:已知四面体的体积等于以向量为棱的平行六面体体积的,61故 61V6112xx 12yy 12zz 13xx 13yy 13zz 14xx 14y
15、y 14zz,21AA,31AA41AA413121AAAAAA例例7.证明四点,)3,3,2(),6,5,4(,)1,1,1(CBA共面.解解:因0)17,15,10(DABCD34512291416故 A,B,C,D 四点共面.ADACAB内容小结内容小结设1.向量运算加减:数乘:点积:),(zzyyxxbabababa),(zyxaaaazzyyxxbabababa),(,),(,),(zyxzyxzyxccccbbbbaaaa叉积:kjixayazaxbybzbba混合积:2.向量关系:xxabyyabzzab0zzyyxxbabababa/ba 0bazyxzyxzyxcccbbba
16、aacba)(cba共面cba,0zyxzyxzyxcccbbbaaa0)(cba0ba第三节一、平面的方程平面的方程二、平面的一般方程二、平面的一般方程三、两平面的夹角三、两平面的夹角平面及其方程 定义：定义：设 是 中一个平面，定义如上，则 中与二维子空间 正交的非零向量称为平面 的法向量；平面 的所有法向量添上零向量组成 的一个一维子空间，中以平面 的法向量为方向向量的直线称为平面 的法线。3PV3PVPP33PPP0MV设设在在 中给定一个平面中给定一个平面 ，采用线性代数的术语来描述，采用线性代数的术语来描述平面平面 ，是是 中的一个集合，则集合中的一个集合，则集合是是 中的一个二维
17、线性子空间。反之，给了中的一个二维线性子空间。反之，给了 中一个中一个二维子空间二维子空间 ，存在，存在 中的平面中的平面 使得使得 实际上，实际上，任取点任取点 记记 则则 可充当平面可充当平面 的，可见这种平面有无限多。的，可见这种平面有无限多。P3PP31212|,PVMMM MP33V3P;PVV30,M 00|,MVMvvV Pzyxo0Mn一、平面的方程一、平面的方程00000(,)rMxy z 设一平面通过已知点，法向量是0)()()(000zzCyyBxxAM称式为平面 的坐标形式方程（坐标形式方程（点法式）。(,),rM x y zP任取点),(000zzyyxx,),(CB
18、An MM0故称为平面 的向量形式方程。0()0,n rr PP还可以采用两个参数来表述平面。设 是 的一个二维子空间。设 是两个不共线的向量。设 是一个固定点，设 是 上的任意点，则PV3111222(,),(,)Pua b cva b cV0000(,)PMxy zV(,)Mx y zP0,M Msutvs t并得到平面 的参数方程。P012012012,.,xxsatayysbtbs tzzsctc123eee例例1.1.求过三点,1M又)1,9,14(0)4()1(9)2(14zyx015914zyx即1M2M3M解解:取该平面 的法向量为),2,3,1(),4,1,2(21MM)3,
19、2,0(3M的平面 的方程.利用点法式得平面 的方程346231nn3121MMMM此平面的三点式方程三点式方程也可写成 0132643412zyx0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx一般情况一般情况:过三点)3,2,1(),(kzyxMkkkk的平面方程为说明说明:特别特别,当平面与三坐标轴的交点分别为此式称为平面的截距式方程截距式方程.),0,0(,)0,0(,)0,0,(cRbQaP1czbyax时,)0,(cbabcax)(cay)(0bazabcbzaacybcx平面方程为 PozyxRQ分析:利用三点式 按第一行展开得 即0ax yzab0a0c二、
20、平面的一般方程二、平面的一般方程设有三元一次方程 以上两式相减,得平面的点法式方程此方程称为平面的一般平面的一般0DzCyBxA任取一组满足上述方程的数,000zyx则0)()()(000zzCyyBxxA0000DzCyBxA显然方程与此点法式方程等价,)0(222CBA),(CBAn 的平面,因此方程的图形是法向量为 方程方程.特殊情形特殊情形 当 D=0 时,A x+B y+C z=0 表示 通过原点通过原点的平面;当 A=0 时,B y+C z+D=0 的法向量平面平行于 x 轴;A x+C z+D=0 表示 A x+B y+D=0 表示 C z+D=0 表示 A x+D=0 表示 B
21、 y+D=0 表示0DCzByAx)0(222CBA平行于 y 轴的平面;平行于 z 轴的平面;平行于 xoy 面 的平面;平行于 yoz 面 的平面；平行于 zox 面 的平面.1(0,),nB Ce例例2.求通过 x 轴和点(4,3,1)的平面方程.解解:因平面通过 x 轴,0 DA故设所求平面方程为0zCyB代入已知点)1,3,4(得BC3化简,得所求平面方程03 zy三、两平面的夹角三、两平面的夹角设平面1的法向量为 平面2的法向量为则两平面夹角 的余弦为 cos即212121CCBBAA222222CBA212121CBA两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.122n1n)
22、,(1111CBAn),(2222CBAn 2121cosnnnn 2特别有下列结论：特别有下列结论：21)1(0212121CCBBAA21/)2(212121CCBBAA),(:),(:2222211111CBAnCBAn1122121cosnnnn 21nn 21/nn2n1n2n1n因此有例例4.一平面通过两点垂直于平面:x+y+z=0,求其方程.解解:设所求平面的法向量为,020CBA即CA2的法向量,0CBACCAB)()0(0)1()1()1(2CzCyCxC约去C,得0)1()1()1(2zyx即02zyx0)1()1()1(zCyBxA)1,1,1(1M,)1,1,0(2M和
23、则所求平面故,),(CBAn方程为 n21MMn且外一点,求),(0000zyxP0DzCyBxA例例5.设222101010)()()(CBAzzCyyBxxA222000CBADzCyBxAd0111DzCyBxA解解:设平面法向量为),(1111zyxP在平面上取一点是平面到平面的距离d.0P,则P0 到平面的距离为01PrjPPdnnnPP010P1Pnd,),(CBAn(点到平面的距离公式)xyzo0M例例6.解解:设球心为求内切于平面 x+y+z=1 与三个坐标面所构成则它位于第一卦限,且2220001111zyx00331xx,1000zyxRzyx000因此所求球面方程为000
24、zyx633331,),(0000zyxM四面体的球面方程.从而)(半径R2222)633()633(633)633(zyx内容小结内容小结1.平面平面基本方程:一般式点法式截距式0DCzByAx)0(222CBA1czbyax三点式0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx0)()()(000zzCyyBxxA)0(abc0212121CCBBAA212121CCBBAA2.平面与平面之间的关系平面平面垂直:平行:夹角公式:2121cosnnnn 021nn021 nn,0:22222DzCyBxA),(2222CBAn,0:11111DzCyBxA),(1111C
25、BAn 第四节一、空间直线方程一、空间直线方程 二、线面间的位置关系二、线面间的位置关系 空间直线及其方程),(0000zyxM1.参数方程参数方程设直线上的动点为 则),(zyxMs已知直线上一点00000(,)rMxy z(,)rM x y z和它的方向向量,),(pnms 0,rrtst tmxx0tnyy0tpzz0或者这两个方程称为直线的参数方程。一、空间直线方程一、空间直线方程),(0000zyxM2.对称式方程对称式方程故有说明说明:某些分母为零时,其分子也理解为零.mxx000yyxx设直线上的动点为 则),(zyxMnyy0pzz0此式称为直线的对称式方程对称式方程(也称为点
26、向式方程点向式方程)直线方程为s已知直线上一点),(0000zyxM),(zyxM例如,当,0,0时pnm和它的方向向量,),(pnms sMM/0 xyzo01111DzCyBxA02222DzCyBxA1 2 L因此其一般式方程3 3.一般式方程一般式方程 直线可视为两平面交线，例例1 1.用对称式及参数式表示直线解解:先在直线上找一点.043201 zyxzyx632zyzy再求直线的方向向量2,0zy令 x=1,解方程组,得交已知直线的两平面的法向量为是直线上一点.)2,0,1(故.s,)1,1,1(1n)3,1,2(2n21ns,ns21nns故所给直线的对称式方程为参数式方程为tz
27、tytx32 41t41x1y32z解题思路解题思路:先找直线上一点;再找直线的方向向量.)3,1,4(21nns123111213eee2L1L二、线面间的位置关系二、线面间的位置关系1.两直线的夹角两直线的夹角 则两直线夹角 满足21,LL设直线 两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角)的方向向量分别为212121ppnnmm212121pnm222222pnm),(,),(22221111pnmspnms2121cosssss 1s2s特别有特别有:21)1(LL 21/)2(LL0212121ppnnmm212121ppnnmm21ss 21/ss例例2.求以下两直线的夹角解解:
28、直线直线二直线夹角 的余弦为13411:1zyxL0202:2zxyxL cos22从而4的方向向量为1L的方向向量为2L)1,2,2()1(1)2()4(212221)4(1222)1()2(2)1,4,1(1s1232110102eees 当直线与平面垂直时,规定其夹角线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角;L2.直线与平面的夹角直线与平面的夹角当直线与平面不垂直时,设直线 L 的方向向量为 平面 的法向量为则直线与平面夹角 满足.2222222CBApnmpCnBmA直线和它在平面上的投影直),(pnms),(CBAn),cos(sinnsnsns sn特别有特别有:L)1(/)2(L0pC
29、nBmApCnBmAns/ns解解:取已知平面的法向量421zyx则直线的对称式方程为0432zyx直的直线方程.为所求直线的方向向量.132垂)1,3,2(nn例例3.求过点(1,2,4)且与平面1.空间直线方程空间直线方程一般式对称式参数式0022221111DzCyBxADzCyBxAtpzztnyytmxx000pzznyymxx000)0(222pnm 内容小结内容小结,1111111pzznyymxxL：直线0212121ppnnmm,2222222pzznyymxxL：212121ppnnmm2.线与线的关系线与线的关系直线夹角公式:),(1111pnms),(2222pnms
30、021ss21LL 21/LL021ss2121cosssss,0DzCyBxACpBnAm平面 :L L/夹角公式：0CpBnAmsin,pzznyymxx3.面与线间的关系面与线间的关系直线 L:),(CBAn),(pnms 0 ns0nsnsns L第五节二次曲线定义：设在 中取定了正交坐标系 ，则有形如的方程所确定的点的轨迹统称二次曲线，其中二次项系数 不全为零。222111222122220a xa xya yb xb yc111222,aaaoxy消去交叉项消去交叉项若 ，要利用旋转坐标变换使得在新坐标系下方程不含交叉项。120aox yy xMcossin,sincos,xxyy
31、xy其中 待定。则方程在新坐标系 下变为ox y22111222122 2 2 0axax yayb xbyc其中2212221112()sincos(cossin).aaaa那么当22221112()sincos(cossin)0,aaa112212cot2,2aaa120.a有无无交叉项方程简化及曲线分类交叉项方程简化及曲线分类22112212220a xa yb xb yc标准方程：（1）设 ，用配完全平方法，11220a a22221212112211221122()()0bbbbaxaycaaaa2211220a xa yc记分类（分类（1），不妨设），不妨设2211220a xa
32、yc110a110a220a220a0c 0c 0c 0c 0c 椭圆椭圆一点一点无轨迹无轨迹双曲线双曲线过原点的两直线过原点的两直线22112212220a xa yb xb yc（2）设 ，不妨设不妨设 ,则则11220a a22222212222()20bbayb xcaa222120a yb x（2a）设 ，有110a10b 2220a yc（2b）设 ，有10b 分类（分类（2），），110a10b 10b 220a c 0c 抛物线抛物线两条平行直线两条平行直线无轨迹无轨迹一条直线一条直线220a c 第六节二次曲面定义：设在 中取定了正交坐标系 ，则有形如的方程所确定的点的轨迹统
33、称二次曲面，其中二次项系数 不全为零。（同二次曲线的处理方法，可用旋转变换消去交叉项）32221122331223311232222220a xa ya za xya yza zxb xb yb zc112233122331,aaaaaaoxyz1 1.椭球面椭球面),(1222222为正数cbaczbyax(1)范围：czbyax,(2)与坐标面的交线：椭圆,012222zbyax,012222xczby 012222yczax标准方程有如下标准方程有如下1616种：种：zxy1222222czbyax与)(11czzz的交线为椭圆：1zz(4)同样)(11byyy的截痕）（axxx11及也
34、为椭圆.当abc 时为球面.(3)截痕:1)()(212221222222zcyzcxcbcacba,(为正数)zzy2 2.2222221,xyzabc 无轨迹3 3.2222220,xyzabc一点（0，0，0）4.单叶双曲面单叶双曲面by 1)1上的截痕为平面1zz 椭圆.时,截痕为22122221byczax(实轴平行于x 轴；虚轴平行于z 轴）1yy zxy),(1222222为正数cbaczbyax1yy 平面 上的截痕情况:双曲线:虚轴平行于x 轴）by 1)2时,截痕为0czax)(bby或by 1)3时,截痕为22122221byczax(实轴平行于z 轴;1yy zxyzx
35、y相交直线:双曲线:05 双叶双曲面双叶双曲面),(1222222为正数cbaczbyax上的截痕为平面1yy 双曲线上的截痕为平面1xx 上的截痕为平面)(11czzz椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:双曲线zxyo222222czbyax单叶双曲面11双叶双曲面6.二次锥面（二次锥面（椭圆锥面）椭圆锥面）2222220,(,)xyza b cabc为正数zct在平面上的截痕为椭圆在平面 x0 或 y0 上的截痕为过原点的两直线.zxyo1)()(2222t byt ax,zct可以证明,椭圆上任一点与原点的连线均在曲面上.xyz7.2222xyzab椭圆抛物面8.双曲抛物面（鞍形曲面）
36、2222xyzabzyx特别,当 a=b 时为绕 z 轴的旋转抛物面.zyxxyz9 9、椭圆柱面椭圆柱面22221xyaboClM1M1010、直线直线22220 xyab0 xy 11 11、无轨迹无轨迹22221xyab 1212、一对相交平面一对相交平面22220 xyabxyxyabab和1313、双曲柱面双曲柱面22221xyab1414、抛物面抛物面22,0,xayayxzoyxzo1515、一对平行平面一对平行平面22,xa,x a xa1616、平面平面20,x 0,x5x922 yx1 xy斜率为1的直线平面解析几何中空间解析几何中方 程平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面 圆心在(0,0)半径为 3 的圆以 z 轴为中心轴的圆柱面平行于 z 轴的平面平面解析几何和空间解析几何的一些比较
