1、1.2.2 1.2.2 同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系1.2 1.2 任意角的三角函数任意角的三角函数 问题提出问题提出1.1.任意角的正弦、余弦、正切函数分别任意角的正弦、余弦、正切函数分别是如何定义的？是如何定义的？2.2.在单位圆中，任意角的正弦、余弦、在单位圆中，任意角的正弦、余弦、正切函数线分别是什么？正切函数线分别是什么？MP=sinMP=sin，OM=cosOM=cos，AT=tan.AT=tan.sinycosxtan(0)yxxP PO Ox xy yM MA AT T3.3.对于一个任意角对于一个任意角，sinsin，coscos，tantan是三个不同的三角
2、函数，从联系是三个不同的三角函数，从联系的观点来看，三者之间应存在一定的内的观点来看，三者之间应存在一定的内在联系，我们希望找出这种同角三角函在联系，我们希望找出这种同角三角函数之间的基本关系，实现正弦、余弦、数之间的基本关系，实现正弦、余弦、正切函数的互相转化，为进一步解决三正切函数的互相转化，为进一步解决三角恒等变形问题提供理论依据角恒等变形问题提供理论依据 知识探究（一）：知识探究（一）：基本关系基本关系 221MPOM22sincos1思考思考1 1：如图，设如图，设是一个任意角，它是一个任意角，它的终边与单位圆交于点的终边与单位圆交于点P P，那么，正弦，那么，正弦线线MPMP和余弦
3、线和余弦线OMOM的长度有什么内在联的长度有什么内在联系？由此能得到什么结论？系？由此能得到什么结论？P PO Ox xy yM M1 1思考思考2 2：上述关系反映了角上述关系反映了角的正弦和的正弦和余弦之间的内在联系，根据等式的特点，余弦之间的内在联系，根据等式的特点，将它称为将它称为平方关系平方关系.那么当角那么当角的终边的终边在坐标轴上时，上述关系成立吗？在坐标轴上时，上述关系成立吗？O Ox xy yP PP P22sincos1思考思考3 3：设角设角的终边与单位圆交于点的终边与单位圆交于点 P P（x x，y y），根据三角函数定义，有），根据三角函数定义，有 ，由此可得由此可得
4、sinsin，coscos，tantan满足什满足什么关系？么关系？sinycosxtan(0)yxxsintancos思考思考4 4：上述关系称为上述关系称为商数关系商数关系，那么商，那么商数关系成立的条件是多么？数关系成立的条件是多么？()2akkZ同一个角的正弦、余弦的平方和等于同一个角的正弦、余弦的平方和等于1 1，商等于这个角的正切商等于这个角的正切.思考思考5 5：平方关系和商数关系平方关系和商数关系是反映同一是反映同一个角的三角函数之间的两个基本关系，个角的三角函数之间的两个基本关系，它们都是恒等式，如何用文字语言描述它们都是恒等式，如何用文字语言描述这两个关系？这两个关系？si
5、ntancos22sincos1知识探究（二）：知识探究（二）：基本变形基本变形 22sincos1思考思考1 1：对于平方关系对于平方关系 可作哪些变形？可作哪些变形？22sincos122sin1cos,22cos1 sin,2(si ncos)12si ncos,aaaa+=+2(si ncos)12si ncos,aaaa-=-1cossi n,si n1cosaaaa+=-1si ncos.cos1si naaaa+=-思考思考2 2：对于商数关系对于商数关系 可作可作哪些变形？哪些变形？sintancossi ncostan,aaa=sincos.tan思考思考3 3：结合平方关系
6、和商数关系，结合平方关系和商数关系，可得到哪些新的恒等式？可得到哪些新的恒等式？221cos,1tanaa=+222tansi n.1tanaaa=+思考思考4 4：若已知若已知sinsin的值，如何求的值，如何求coscos和和tantan的值？的值？思考思考5 5：若已知若已知tantan的值，如何求的值，如何求sinsin和和coscos的值？的值？2cos1si n,aa=-sintan.cos21cos,1tanaa=+si ncostan.aaa=理论迁移理论迁移例例1 1 求证：求证：4222sinsincoscos1.例例2 2 已知已知 ,求求 ，的值的值.3sin5 cos
7、tan若若是第三象限角，则是第三象限角，则 ，.4cos5 3tan4若若是第四象限角，则是第四象限角，则 ，.4cos53tan4 例例3 3 已知已知tan=2tan=2，求下列各式的值，求下列各式的值.（1 1）；（；（2 2）1si ncosaa111si n1si naa+-+5252 例例4 4 已知已知 ，求求 的值的值.1si ncos2qq+=44si ncosqq+小结作业小结作业1.1.同角三角函数的两个基本关系是对同一个同角三角函数的两个基本关系是对同一个角而言的，由此可以派生出许多变形公式，角而言的，由此可以派生出许多变形公式，应用中具有灵活、多变的特点应用中具有灵活、多变的特点.2.2.利用平方关系求值时往往要进行开方运算，利用平方关系求值时往往要进行开方运算，因此要根据角所在的象限确定三角函数值符因此要根据角所在的象限确定三角函数值符号，必要时应就角所在象限进行分类讨论号，必要时应就角所在象限进行分类讨论3.3.化简、求值、证明，是三角变换的三个基本问化简、求值、证明，是三角变换的三个基本问题，具有一定的技巧性，需要加强训练，不断总题，具有一定的技巧性，需要加强训练，不断总结、提高结、提高.
