1、4.4 单位圆的对称性与诱导公式 在上几节课中，我们已经学习了任意角的正弦在上几节课中，我们已经学习了任意角的正弦函数的定义，以及终边相同的角的正弦函数值相函数的定义，以及终边相同的角的正弦函数值相等，即等，即sin(2k+)sin(kZ)，通过这个公式能，通过这个公式能把任意角的正弦函数值转化为求把任意角的正弦函数值转化为求0 0360360的角的角的正弦函数值吗？的正弦函数值吗？如果能的话，那么任意角的三角函数求值，如果能的话，那么任意角的三角函数求值，都可以转化为锐角三角函数求值，并通过查表方都可以转化为锐角三角函数求值，并通过查表方法而得到最终解决，本课就来讨论这一问题法而得到最终解决
2、，本课就来讨论这一问题1 1 2k 1 (2k1)1 2k,2k(kZ)上是增加的 2k,2k(kZ)上是减少的 2k 2 探究点探究点1 1 角角与角与角-的正弦函数、余弦函数关系的正弦函数、余弦函数关系思考思考1 1：对于任意给定的一个角对于任意给定的一个角，的终边与的终边与的的终边有什么关系？终边有什么关系？y y的终边的终边xO-的终边的终边关键看两关键看两角的对称角的对称关系关系思考思考2 2：设角设角的终边与单位圆交于的终边与单位圆交于点点 P（x，y），则则-的终边与单位圆的交点坐标如何？的终边与单位圆的交点坐标如何？y的终边的终边xO-的终边的终边 P(x,y)P(x,-y)提
3、示：提示：如图，如图，-的的终边与单位圆的交点终边与单位圆的交点坐标为坐标为P（x，-y）.公式：公式：sin()sincos()cos 思考思考3 3：根据三角函数定义根据三角函数定义，的正弦函数、余弦的正弦函数、余弦函数与函数与的正弦函数、余弦函数有什么关系？的正弦函数、余弦函数有什么关系？y的终边的终边xO-的终边的终边 P(x,y)P(x,-y)结论：结论：正弦函数正弦函数y=sinx是奇函数是奇函数余弦函数余弦函数y=cosx是偶函数是偶函数的终边的终边xy yO的终边的终边探究点探究点2 2 角角与角与角的正弦函数、余弦函数关系的正弦函数、余弦函数关系思考思考1 1：对于任意给定的
4、一个角对于任意给定的一个角，角，角的终边与角的终边与角的终边有什么关系？的终边有什么关系？提示：提示：如图如图角角的终边与的终边与角角的终边关于原的终边关于原点对称点对称思考思考2 2：设角设角的终边与单位圆交于点的终边与单位圆交于点P（x，y），则），则角角的终边与单位圆的交点坐标如何？的终边与单位圆的交点坐标如何？的终边的终边xyO的终边的终边P(x，y)Q(-x，-y)提示：提示：坐标互为坐标互为相反数相反数思考思考3 3：根据三角函数定义，根据三角函数定义，sinsin（），coscos（）的值分别是什么？的值分别是什么？的终边的终边xy yO 的终边的终边P(x，y)Q(-x，-y)
5、sin()=-ycos()=-xsin()sincos()cos sin()sincos()cos sin()-sin()=-(-sin)=sincos()cos()=cos 思考思考1 1：利用利用-=+（-），结合上述公式，你），结合上述公式，你能得到什么结论？能得到什么结论？探究点探究点3 3 角角与与-的正弦函数、余弦函数关系的正弦函数、余弦函数关系这两个公式也可以由前两组公式推出：这两个公式也可以由前两组公式推出：sin()=sincos()=cossin cos sin cos sin cos 提示：提示：-，的三角函数值，等于的三角函数值，等于的的同名函数值，再放上原函数的象限符
6、号同名函数值，再放上原函数的象限符号.简化成简化成“函数名不变，符号看象限函数名不变，符号看象限”的口的口诀诀例例1 1求下列各角的三角函数值：求下列各角的三角函数值：7(1)sin().42(2)cos.331(3)cos().67(1)sin()47sin4sin(2)4(sin)4 2sin.422(2)cos3cos()31cos.32 解：解：3131(3)cos()coscos(4)6663cos()cos.662 一般步骤：一般步骤：变号变号转化转化求值求值给角求值 探究点探究点4 4 角角与与 的正弦函数、余弦函数关系的正弦函数、余弦函数关系如图，利用单位圆作出任意锐角如图，利
7、用单位圆作出任意锐角与单位圆相交与单位圆相交于点于点 角角 的终边与单位圆交于点的终边与单位圆交于点PP，由平面几何知识可知由平面几何知识可知,2 2RtOPMRtP OM,Pb,a.不难证明 坐标为sin()cos2cos()sin2 (),P ab，思考：思考：如何得到下列两个等式如何得到下列两个等式sin()2cos()2 sin()2 cos()2 sincoscos()sin()sin()cos2cos()sin2 以上两组诱导公式口诀以上两组诱导公式口诀:“:“函数名改变函数名改变,符号看象限符号看象限.”.”提示提示:yx cos sin cos 对于任意角对于任意角，下列关系式
8、成立：，下列关系式成立：sin(2)sin,cos(2)cossin()sin,cos()cossin(2)sin,cos(2)cossin()sin,cos()cossin()sin,cos()cossin()cos,cos()sin22sin()cos,cos()s22kk in（1.81.8）（1.91.9）（1.101.10）（1.111.11）（1.121.12）（1.131.13）（1.141.14）公式公式1.81.81.141.14叫作正弦函数、余弦函数的诱导公式叫作正弦函数、余弦函数的诱导公式.任意负角的正弦函数、余弦函数任意负角的正弦函数、余弦函数任意正角的正弦函数、余弦函
9、数任意正角的正弦函数、余弦函数0 02 2 角的正弦函数、余弦函数角的正弦函数、余弦函数锐角的正弦函数、余弦函数锐角的正弦函数、余弦函数用公式用公式1.81.8或或1.91.9用公式用公式1.81.8用公式用公式1.101.101.141.14例例2 2 求下列函数值：求下列函数值：5(1)sin().2455(2)sin().6.555555557 7(2)sin(-)=-sin=-sin(8(2)sin(-)=-sin=-sin(8+)+)6666667 71 1=-sin=-sin(=-sin=-sin(+)=sin=+)=sin=66626662.5 5 2 2(1)sin(+)=si
10、n(+)=cos(1)sin(+)=sin(+)=cos =242442242442解解：.5 511115 5(3)sincos(-)+sincos(3)sincos(-)+sincos64646464=sin(=sin(-)cos+sin(2-)cos+sin(2-)cos(-)cos(+)+)64646464=sincos+(-sin)(-cos)=sincos+(-sin)(-cos)646464641212212122=+=+22222222225115(3)sincos()sincos.6464例例3 3 化简化简解：解：原式原式3sin(2)cos(3)cos()2sin()si
11、n(3)cos()(-sin(-sin)cos()cos(+)cos()cos(+)2 2=-sin(-sin(-)sin()sin(-)cos-()cos-(+)(-sin(-sin)(-cos)(-cos)-cos(+)-cos(+)sinsin2 2=1.=1.(-sin(-sin)sin)sin(-cos(-cos)sin)sin1111(1)cos=(1)cos=3 3cos(4cos(4-)-)3 3=cos=cos3 3.1 1=2 21010(2)sin(-)=(2)sin(-)=3 31010-sin-sin3 3=-sin(3=-sin(3+)+)3 3=-(-sin)=-
12、(-sin)3 3.3 3=2 21.1.求下列三角函数值：求下列三角函数值：2.2.求求sin(-60sin(-60)+cos120)+cos120+sin390+sin390+cos210+cos210.解：解：sin(-60sin(-60)+cos120)+cos120+sin390+sin390+cos210+cos210=-sin60=-sin60+cos(180+cos(180-60-60)+sin(360)+sin(360+30+30)+cos(180+cos(180+30+30)=-sin60=-sin60-cos60-cos60+sin30+sin30-cos30-cos30
13、=31133.2222 3.3.已知已知coscos(+(+)=,)=,且且 是第二象限角是第二象限角,求求sin(sin(-)-)的值的值.132解：解：因因为为，1 1cos(+cos(+)=-sin)=-sin=-=-2323.所所以以1 1sinsin=3 3因为因为 是第二象限角，是第二象限角，1sin()-sin.3 所以所以1.1.理解正弦函数、余弦函数的诱导公式的推导过程理解正弦函数、余弦函数的诱导公式的推导过程.2.2.能了解诱导公式之间的关系，能相互推导能了解诱导公式之间的关系，能相互推导.3.3.能利用诱导公式解决化简、求值等问题能利用诱导公式解决化简、求值等问题.回顾本节课的收获回顾本节课的收获把希望建筑在意欲和心愿上面的人们，二十次中有十九次都会失望.大仲马
