1、2020年山东省新高考数学模拟试卷（一）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题网要求的）1（5分）已知集合，则ABCD2（5分）已知复数满足为虚数单位），则ABCD3（5分）设，则“”是“”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4（5分）某中学2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如图柱状图：则下列结论正确的是A与2015年相比，2018年一本达线人数减少B与2015年相比，2018年二本达线人数增加了0.5
2、倍C2015年与2018年艺体达线人数相同D与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加5（5分）在平面直角坐标系中，已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则ABCD6（5分）2019年1月1日，济南轨道交通1号线试运行，济南轨道交通集团面向广大市民开展“参观体验，征求意见”活动，市民可以通过济南地铁抢票，小陈抢到了三张体验票，准备从四位朋友小王，小张，小刘，小李中随机选择两位与自己一起去参加体验活动，则小王和小李至多一人被选中的概率为ABCD7（5分）已知抛物线的准线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，为抛物线的焦点，若的面积等于，则双曲线的离心率为A3BC2D8（5
3、分）设函数则下列结论中正确的是A对任意实数，函数的最小值为B对任意实数，函数的最小值都不是C当且仅当时，函数的最小值为D当且仅当时，函数的最小值为二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题日要求.全部选对的得5分，部分选对的程3分，有选错的得0分）9（5分）已知空间中不同直线、和不同平面、，下列命题中是真命题的是A若、互为异面直线，则B若，则C若，则D若，则10（5分）如图所示，点，是圆上的三点，线段与线段交于圆内一点，若，则A为线段的中点时，B为线段的中点时，C无论取何值，恒有D存在，11（5分）设等差数列的前项和为，公差为，且满足，则对描述正确的
4、有A是唯一最大值B是最大值CD是最小值12（5分）已知函数的零点构成一个公差为的等差数列，把函数的图象沿轴向右平移个单位，得到函数的图象关于函数，下列说法正确的是A在上是增函数B其图象关于直线对称C函数是偶函数D在区间上的值域为，三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）若函数在点处的切线方程为，则实数14（5分）数列满足，则15（5分）已知一正四棱柱（底面为正方形的直四棱柱）内接于底面半径为1，高为2的圆锥，当正四棱柱体积最大时，该正四棱柱的底面边长为16（5分）如图，矩形中，为的中点当点在边上时，的值为；当点沿着，与边运动时，的最小值为四、解答题（本题共6小题，共70分.
5、解答应写出文字说明、证明过程演算步骤）17（10分）在中，（1）求；（2）若，求的周长18（12分）为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件最为样本，测量其直径后，整理得到下表：直径5859616263646566676869707173合计件数11356193318442121100经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行评判表示相应事件的频率）：评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级
6、为丙；若全部不满足，则等级为丁试判断设备的性能等级（2）将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品从设备的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数的数学期望；从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数的数学期望19（12分）已知等差数列的公差是1，且，成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和20（12分）如图在直角中，为直角，分别为，的中点，将沿折起，使点到达点的位置，连接，为的中点（）证明：面；（）若，求二面角的余弦值21（12分）如图，椭圆的离心率为，设，分别为椭圆的右顶点，下顶点，的面积为1（1）求椭圆的方程；（2）已知不经过点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，若，求
7、证：直线过定点22（12分）已知函数，（1）若存在极小值，求实数的取值范围；（2）设是的极小值点，且，证明：2020年山东省新高考数学模拟试卷（一）参考答案与试题解析一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题网要求的）1（5分）已知集合，则ABCD【解答】解：，；，故选：2（5分）已知复数满足为虚数单位），则ABCD【解答】解：由，得，故选：3（5分）设，则“”是“”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解答】解：由得，由“”得或，即“”是“”的充分不必要条件，故选：4（5分）某中学2018年的高考考生人数是20
8、15年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如图柱状图：则下列结论正确的是A与2015年相比，2018年一本达线人数减少B与2015年相比，2018年二本达线人数增加了0.5倍C2015年与2018年艺体达线人数相同D与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加【解答】解：设2015年高考考生人数为，则2018年高考考生人数为1.5线，由，故选项不正确；由，故选项不正确；由，故选项不正确；由，故选项正确故选：5（5分）在平面直角坐标系中，已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则ABCD【解答】解：平面直
9、角坐标系中，已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则，故选：6（5分）2019年1月1日，济南轨道交通1号线试运行，济南轨道交通集团面向广大市民开展“参观体验，征求意见”活动，市民可以通过济南地铁抢票，小陈抢到了三张体验票，准备从四位朋友小王，小张，小刘，小李中随机选择两位与自己一起去参加体验活动，则小王和小李至多一人被选中的概率为ABCD【解答】解：小王和小李至多1人被抽中的反面为，小王和小李都被抽中设小张和小王至多1人被抽中，小张和小王都被抽中，则包含1个基本事件，（A）（B）故选：7（5分）已知抛物线的准线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，为抛物线的焦点，若的面积等
10、于，则双曲线的离心率为A3BC2D【解答】解：抛物线的准线：，双曲线的两条渐近线，抛物线的准线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，可得，的面积等于，为抛物线的焦点可得：，可得，所以，可得故选：8（5分）设函数则下列结论中正确的是A对任意实数，函数的最小值为B对任意实数，函数的最小值都不是C当且仅当时，函数的最小值为D当且仅当时，函数的最小值为【解答】解：当时，当时，要使取得最小值，即为处取得，从而，又当时，可得，可得，故选：二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题日要求.全部选对的得5分，部分选对的程3分，有选错的得0分）9（5分）已知空间中不同直
11、线、和不同平面、，下列命题中是真命题的是A若、互为异面直线，则B若，则C若，则D若，则【解答】解：由，是不同的直线，是不同的平面，知：在中，若、互为异面直线，则，是真命题；，则与平行或异面，故错误；在中，则，或与相交或平行，故错误；在中，则，故是真命题；在中，则，也可能，故错误故选：10（5分）如图所示，点，是圆上的三点，线段与线段交于圆内一点，若，则A为线段的中点时，B为线段的中点时，C无论取何值，恒有D存在，【解答】解：，因为与共线，所以，解得，故正确，错误；当为中点时，则，则，解得，故正确，错误；故选：11（5分）设等差数列的前项和为，公差为，且满足，则对描述正确的有A是唯一最大值B是最
12、大值CD是最小值【解答】解：等差数列的前项和为，公差为，且满足，化为：，都是最大值故选：12（5分）已知函数的零点构成一个公差为的等差数列，把函数的图象沿轴向右平移个单位，得到函数的图象关于函数，下列说法正确的是A在上是增函数B其图象关于直线对称C函数是偶函数D在区间上的值域为，【解答】解：，由函数的零点构成一个公差为的等差数列，则周期，即，即，把函数的图象沿轴向右平移个单位，得到函数的图象，则，易得：是在，为减函数，其图象关于直线对称的奇函数，故选项，错误，当时，函数的值域为，故选项正确，故选：三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）若函数在点处的切线方程为，则实数【解答
13、】解：函数的导数为，在点处的切线斜率为（1），又在点处的切线方程为，解得，故答案为：14（5分）数列满足，则【解答】解：数列满足，累积可得故答案为：15（5分）已知一正四棱柱（底面为正方形的直四棱柱）内接于底面半径为1，高为2的圆锥，当正四棱柱体积最大时，该正四棱柱的底面边长为【解答】解：依题意，如图为过正四棱柱的圆锥的轴截面，设正四棱柱的高为，底面边长为，则，分别为，的中点，所以，所以，即，所以，所以正四棱柱的体积，令，得，或者（舍当时，当时，所以当时，单调递增，当时，单调递减，故当时，有最大值，此时故填：16（5分）如图，矩形中，为的中点当点在边上时，的值为2；当点沿着，与边运动时，的最小
14、值为【解答】解：矩形中，为的中点当点在边上时，；当点沿着，与边运动时，的最小值，应该在线段上，此时；故答案为：2；四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程演算步骤）17（10分）在中，（1）求；（2）若，求的周长【解答】解：（1），（2），由正弦定理可得：，又，即：，解得：，由（1）可得：，由余弦定理可得：，的周长18（12分）为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件最为样本，测量其直径后，整理得到下表：直径5859616263646566676869707173合计件数11356193318442121100经计算，样本的平均值，标准
15、差，以频率值作为概率的估计值（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行评判表示相应事件的频率）：评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁试判断设备的性能等级（2）将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品从设备的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数的数学期望；从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数的数学期望【解答】解：（），因为设备的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙；（4分）（）易知样本中次品共6件，可估计设备生产零件的次品率为0
16、.06（）由题意可知，于是；（8分）（）由题意可知的分布列为012故（12分）19（12分）已知等差数列的公差是1，且，成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和【解答】解：（1）因为是公差为1的等差数列，且，成等比数列，所以，即，解得（4分）所以（5分）（2），（6分）两式相减得（8分）所以（11分）所以（12分）20（12分）如图在直角中，为直角，分别为，的中点，将沿折起，使点到达点的位置，连接，为的中点（）证明：面；（）若，求二面角的余弦值【解答】证明：（）取中点，连结、，四边形是平行四边形，平面，在中，又为的中点，又，平面解：（），平面，以为原点，、所在直线分别为，轴，建立
17、空间直角坐标系，设，则，0，1，2，1，1，0，设面的法向量，则，取，得，0，同理，得平面的法向量，2，设二面角的平面角为，则，二面角的余弦值为21（12分）如图，椭圆的离心率为，设，分别为椭圆的右顶点，下顶点，的面积为1（1）求椭圆的方程；（2）已知不经过点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，若，求证：直线过定点【解答】解：（1）有题意可得，解得：，所以椭圆的方程为：；（2）证明：由（1）可得，设，直线与椭圆联立可得：，整理可得：，因为线段的中点为，若，所以可得以为直径的圆过点所以，可得，即，可得，解得：，所以直线为：，或，所以直线过定点或，而直线不过点，所以直线过，22（12分）已知函数，（1）若存在极小值，求实数的取值范围；（2）设是的极小值点，且，证明：【解答】解：（1）函数，令，则，在上是增函数又当时，当时，当时，函数在区间上是增函数，不存在极值点；当时，的值域为，必存在，使当时，单调递减；当，时，单调递增；存在极小值点综上可知实数的取值范围是证明：（2）由（1）知，即，由，得令，由题意在区间上单调递减又（1），由，得，令，则，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减；当时，函数取最小值（1），即，即，
