1、15.315.3等腰三角形等腰三角形题型一求线段或角度题型一求线段或角度1 1、如图所示，在等边三角形、如图所示，在等边三角形ABCABC中，点中，点D D、E E分别在边分别在边BCBC、ACAC上，且上，且DEDEABAB，过点，过点E E作作EFDEEFDE，交，交BCBC延长线于点延长线于点F F。（1 1）求）求F F的度数，的度数，（2 2）若）若CD=2CD=2，求，求DFDF的长。的长。解解：（1）ABC是等边三角形，是等边三角形，B=60 （2）ACB=60、EDC=60DEAB EDC是等边三角形是等边三角形EDC=B=60 DE=CDEFDE CD=2F=90-EDC D
2、E=2 =90-60=30 EFDE,F=30 DE=DF 即即DF=2DE=4题型二等腰（等边）三角形判定的应用2 2、如图所示，、如图所示，ADAD是是ABCABC的角平分线，的角平分线，DEDE，DFDF分别垂直分别垂直ABAB，ACAC于于E,FE,F连接连接EFEF，求证，求证AEFAEF是等腰三角形。是等腰三角形。证明：证明：ADAD是是ABCABC的角平分线的角平分线BAD=CADBAD=CAD又又DE,DFDE,DF分别垂直分别垂直ABAB、ACAC于于E E、F FAED=AFD=90AED=AFD=90又又AD=ADAD=ADAEDAEDAFDAFDAE=AFAE=AF，即
3、，即AEFAEF是等腰三角形是等腰三角形题型三等腰（等边）三角形性质的应用题型三等腰（等边）三角形性质的应用3 3、如图所示、如图所示D D是是ABCABC边边BCBC延长线上一点，且延长线上一点，且CD=CACD=CA，E E是是ADAD的中点，的中点，CFCF平分平分ACBACB交交ABAB于于F F。求证。求证CECFCECF证明：证明：CA=CD,ECA=CD,E是是ADAD的中点的中点ACE=DCEACE=DCECFCF平分平分ACBACBACF=BCFACF=BCFACE+DCE+ACF+BCF=180ACE+DCE+ACF+BCF=180ACE+ACF=90ACE+ACF=90即
4、即ECF=90ECF=90CECFCECF4、如图所示，ABC和ADE都是等边三角形，连接CD,BE.求证：CD=BE题型四含题型四含3030的直角三角形性质的应用的直角三角形性质的应用5 5、如图所示，在、如图所示，在ABCABC中，中，ADAD交边交边BCBC于点于点D D，BAD=15BAD=15，ADC=4ADC=4BAD,DC=2BDBAD,DC=2BD（1 1）求）求B B的度数的度数（2 2）求证）求证CAD=CAD=ABDABD解：解：（1）BAD=15，ADC=4BADADC=60B=60-15=45（2）证明：过）证明：过C作作CEAD于于E，连接，连接EBECD=90-6
5、0=30DC=2ED，DC=2BD，ED=BD，DBE=DEB=ECD=30，EBA=45-30=15=BAD，AE=EC=EB，CAD=B=45题型五等腰三角形中的分类讨论题型五等腰三角形中的分类讨论6 6、等腰三角形的一个角为、等腰三角形的一个角为3030，求其他两角。，求其他两角。解：当解：当3030的角为顶角时，其余两角为的角为顶角时，其余两角为7575；当；当3030的角的角为底角时，其余两角为为底角时，其余两角为3030；120120。7 7、已知等腰三角形一边的长为、已知等腰三角形一边的长为4 4，另一边的长为，另一边的长为9 9，求它，求它的周长。的周长。解：当以解：当以4 4
6、为腰长时，底边长为为腰长时，底边长为9 9，4+44+49 9，不能构成，不能构成三角形所以此情况不存在。三角形所以此情况不存在。当以当以4 4为底边长时，腰长为为底边长时，腰长为9 9，此时，此时4+94+99 9，能构成三角，能构成三角形，周长为形，周长为4+9+9=224+9+9=22题型六实际应用题题型六实际应用题8 8、有一个三角形支架如图所示，、有一个三角形支架如图所示，AB=ACAB=AC，小明过点，小明过点A A和和BCBC边的中点边的中点D D又架了一个细木条，经测量又架了一个细木条，经测量B=30B=30，你在不，你在不用任何测量工具的前提下，能得到用任何测量工具的前提下，
7、能得到BADBAD和和ADCADC的度数吗？的度数吗？解：解：AB=ACAB=AC，D D是是BCBC的中点的中点B=C,BAD=CAD=B=C,BAD=CAD=BAC,ADBCBAC,ADBC又又BAC=180BAC=180-2-2B=120B=120BAD=60BAD=60，ADC=90ADC=90题型七学科综合题型七学科综合9 9、如图所示，、如图所示，DEDE是是ABCABC边边ABAB的垂直平分线，分别交的垂直平分线，分别交ABAB，BCBC于于D D，E E，AEAE平分平分BACBAC，设，设B=xB=x，C=yC=y。（1 1）求）求y y随随x x变化的函数关系式，并写出变化
8、的函数关系式，并写出x x的取值范围；的取值范围；（2 2）请讨论）请讨论ABCABC为等腰三角形时，为等腰三角形时，B B的度数。的度数。解：（1 1）DEDE垂直平分垂直平分ABAB，AE=BEAE=BEBAE=B=xBAE=B=x又又AEAE平分平分BACBACBAC=2BAE=2xBAC=2BAE=2xy=180-3xy=180-3x（0 0 x x180180）（2 2）显然）显然ACACBC,BC,若若AB=ACAB=AC，此时，此时x=yx=y，即即180-3x=x180-3x=x，解得，解得x=45x=45；若若AB=BCAB=BC，则此时，则此时2x=y2x=y即即180-3
9、x=2x180-3x=2x解得解得x=36x=36当当ABCABC为等腰三角形为等腰三角形时，时，B B为为4545或或3636题型八与等腰三角形有关的开放型试题题型八与等腰三角形有关的开放型试题1010、如图所示，在、如图所示，在ABCABC中，中，D D，E E分别是分别是ABAB，ACAC上上的点，的点，BDBD与与CECE交于点交于点O O，给出下列四个条件：，给出下列四个条件：ECOECO=DBODBO，BDOBDO=CEOCEO,BE=CDBE=CD，OB=OCOB=OC。（1 1）上述四个条件中，哪两个条件可以判定）上述四个条件中，哪两个条件可以判定ABCABC是等腰三角形（用序
10、号写出所有的情况）；是等腰三角形（用序号写出所有的情况）；（2 2）选（）选（1 1）中的一种情形，求证）中的一种情形，求证ABCABC是等腰三是等腰三角形。角形。题型九等腰三角形有关的一题多解题型九等腰三角形有关的一题多解1111、如图（、如图（1 1）所示，已知）所示，已知ABCABC为等边三角形，延长为等边三角形，延长BCBC到到D D，延长，延长BABA到到E E，并且使，并且使AE=BDAE=BD，连接，连接CECE，DEDE，求证，求证ED=ECED=EC证法1证法证法2 2：过：过E E作作EFACEFAC交交BDBD延长线于延长线于F F，如图（，如图（2 2）所示，则所示，则
11、BEFBEF为等边三角形，以下同证法为等边三角形，以下同证法1 1 （2）题型十与等腰三角形有关的动态题题型十与等腰三角形有关的动态题1212、如图所示，在、如图所示，在RtRtABCABC中，中，AB=ACAB=AC，BAC=90BAC=90，O O为为BCBC的中点。的中点。（1 1）写出）写出O O到到ABCABC三个顶点三个顶点A A，B B，C C距离之间的关系；距离之间的关系；（2 2）如果点）如果点M,NM,N分别在线段分别在线段ABAB，ACAC上移动，移动中保持上移动，移动中保持AN=BM,AN=BM,请请判断判断OMNOMN的形状，并证明你的结论。的形状，并证明你的结论。（
12、1）（2）解：解：(1)(1)在在RtRtABCABC中，中，BAC=90BAC=90，O O为为BCBC的中点，如图（的中点，如图（1 1）所示，连接所示，连接OAOA，则，则AOBAOB和和AOCAOC都是等腰直角三角形，都是等腰直角三角形，OA=BC=OB=OCOA=BC=OB=OC，即，即OA=OA=OC;OA=OA=OC;(2)(2)OMNOMN是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，理由：理由：AC=AB,OB=OC,BAC=90AC=AB,OB=OC,BAC=90OA=OB,NAO=B=45OA=OB,NAO=B=45，在在AONAON和和BOMBOM中，中，AN=BM,OAN=BA
13、N=BM,OAN=B，OA=OB,OA=OB,AONAONBOMBOM，ON=OMON=OM，NOA=NOA=MOB,MOB,NOA+NOA+AOM=MOB+AOM,AOM=MOB+AOM,NOM=90NOM=90OMNOMN是等腰直角三角形。是等腰直角三角形。21题型十一与等腰三角形有关的操作题题型十一与等腰三角形有关的操作题1313、在如图所示的正方形的网格图中各画一个等腰三角形，、在如图所示的正方形的网格图中各画一个等腰三角形，要求每个等腰三角形的一个顶点为格点要求每个等腰三角形的一个顶点为格点A A，其余顶点从格，其余顶点从格点点B,C,D,E,F,G,HB,C,D,E,F,G,H中选
14、取，并且所画的两个三角形不全等。中选取，并且所画的两个三角形不全等。题型十二有等腰三角形有关的探究题题型十二有等腰三角形有关的探究题1414、（、（1 1）如图）如图1 1所示，在所示，在ABCABC中，中，ABCABC的平分线的平分线BFBF交交ACAC于于F F，过，过点点F F作作DFDFBCBC，求证，求证BD=DFBD=DF；（2 2）如图）如图2 2，在，在ABCABC中，中，ABCABC的平分线的平分线BFBF与与ACBACB的平的平分线分线CFCF相交于相交于F F，过点，过点F F作作DEBCDEBC，交直线，交直线ABAB于点于点D D，交直，交直线线ACAC于点于点E E
15、那么那么BDBD，CECE，DEDE之间存在什么关系？并证明之间存在什么关系？并证明这种关系这种关系（3 3）如图）如图3 3，在，在ABCABC中，中，ABCABC的平分线的平分线BFBF与与ACBACB的外的外角平分线角平分线CFCF相交于相交于F F，过点，过点F F作作DEBCDEBC，交直线，交直线ABAB于点于点D D，交直线交直线ACAC于点于点E E那么那么BDBD，CECE，DEDE之间存在什么关系？请之间存在什么关系？请写出你的猜想（不需证明）写出你的猜想（不需证明）解：（解：（1）BF平分平分ABC，ABF=CBF，DFBC，DFB=CBF，DFB=DBF，BD=DF；（2）BD+CE=DE，理由是：理由是：BF平分平分ABC，ABF=CBF，DFBC，DFB=CBF，DFB=DBF，BD=DF；同理可证：同理可证：CE=EF，DE=DF+EF，BD+CE=DE；（3）BD-CE=DE
