1、12022 学年第二学期高三年级质量调研数学试卷（本试卷共（本试卷共 21 道试题，满分道试题，满分 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟）一填空题（本大题满分分钟）一填空题（本大题满分 54 分）本大题共有分）本大题共有 12 题，只要求直接填写结果，前六题每题得题，只要求直接填写结果，前六题每题得 4分，后六题每题得分，后六题每题得 5 分分.1.已知复数34iz ，其中i是虚数单位，则=z.2.双曲线22197xy的离心率为.3.已知10 xAxx,1Bx x，则AB.4.函数sin2yx的最小正周期为.5.ABC是边长为1的等边三角形，点M为边AB的中点，则AC AM .6.
2、已知函数128yxx，定义域为(0,)，则该函数的最小值为.7.已知Nn，若265CPn，则n.8.已知数列 na的通项公式为2,1,2,2,nnn nan前n项和为nS，则limnnS.9.已知四棱锥PABCD的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为5.若点ABCD、在圆柱的一个底面圆周上，点P在圆柱的另一个底面内，则该圆柱的体积为10.已知某产品的一类部件由供应商A和B提供，占比分别为13和23，供应商A提供的部件的良品率为0.96.若该部件的总体良品率为0.92，则供应商B提供的部件的良品率为.11.如图，线段AB的长为8，点C在线段AB上，2AC.点P为线段CB上任意一点，点A绕着点C顺时
3、针旋转，点B绕着点P逆时针旋转.若它们恰重合于点D，则CDP的面积的最大值为_.12.若关于x的函数3exxay在R上存在极小值（e为自然对数的底数），则实数a的取值范围为.二选择题（本大题满分二选择题（本大题满分 18 分）本大题共有分）本大题共有 4 题，每题都给出四个结论，其中有且只有一题，每题都给出四个结论，其中有且只有一2个结论是正确的，前两题每题得个结论是正确的，前两题每题得 4 分，后两题每题得分，后两题每题得 5 分分.13.设Ra，则“1a”是“2aa”的（）A.充分非必要条件；B.必要非充分条件；C.充要条件；D.既非充分也非必要条件.14.函数lg(1)lg(1)yxx是
4、（）A.奇函数；B.偶函数；C.奇函数也是偶函数；D.非奇非偶函数15.已知一个棱长为1的正方体，与该正方体每个面都相切的球半径记为1R,与该正方体每条棱都相切的球半径为2R，过该正方体所有顶点的球半径为3R，则下列关系正确的是（）A.123:2:3:2RRR；B.123+=RRR；C.222123+=RRR；D.333123+=RRR.16.有一笔资金，如果存银行，那么收益预计为2万.该笔资金也可以做房产投资或商业投资，投资和市场密切相关，根据调研，发现市场的向上、平稳、下跌的概率分别为0.2、0.7、0.1.据此判断房产投资的收益1X和商业投资的收益2X的分布分别为111330.20.70
5、.1Xp27420.20.70.1Xp则从数学的角度来看，该笔资金如何处理较好（）A.存银行；B.房产投资；C.商业投资；D.房产投资和商业投资均可.三解答题（本大题满分三解答题（本大题满分 78 分）本大题共有分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须写出必要的步骤题，解答下列各题必须写出必要的步骤17.（本题满分（本题满分 14 分）本题共有分）本题共有 2 个小题，第个小题，第 1 小题小题 6 分，第分，第 2 小题小题 8 分分如图，正四棱柱1111ABCDABC D中，2AB，点EF、分别是棱BC和1CC的中点.（1）判断直线AE与1DF的关系，并说明理由；（2）若直线1DE与底面A
6、BCD所成角为4，求四棱柱1111ABCDABC D的全面积.318(本题满分本题满分 14 分分)本题共有本题共有 2 个小题，第个小题，第 1 小题小题 6 分，第分，第 2 小题小题 8 分分已知向量sin,1cos2axx，1cos,2bx，f xa b.（1）求函数 yf x的最大值及相应x的值；（2）在ABC中，角A为锐角，且712AB，1f A，2BC，求边AC的长19.（本题满分（本题满分 14 分）本题共有分）本题共有 2 个小题，第个小题，第 1 小题小题 6 分，第分，第 2 小题小题 8 分分李先生是一名上班族，为了比较上下班的通勤时间，记录了20天个工作日内，家里到单
7、位的上班时间以及同路线返程的下班时间（单位：分钟），如下茎叶图显示两类时间的共40个记录：上班时间下班时间98873678889654433222110400133334455422156147（1）求出这40个通勤记录的中位数M，并完成下列2 2列联表：超过M不超过M上班时间下班时间（2）根据列联表中的数据，请问上下班的通勤时间是否有显著差异？并说明理由.附：22n adbcabcdacbd，23.8410.05P20（本题满分（本题满分 18 分）本题共有分）本题共有 3 个小题，第个小题，第 1 小题小题 4 分，第分，第 2 小题小题 6 分，第分，第 3 小题小题 8 分分若直线和抛
8、物线的对称轴不平行且与抛物线只有一个公共点，则称该直线是抛物线在该点处的切线，该公共点为切点.已知抛物线21:4Cyax和22:4Cxy，其中0a.1C与2C4在第一象限内的交点为P.1C和2C在点P处的切线分别为1l和2l，定义1l和2l的夹角为曲线1C、2C的夹角.（1）求点P的坐标；（2）若1C、2C的夹角为3arctan4，求a的值；（3）若直线3l既是1C也是2C的切线，切点分别为Q、R，当PQR为直角三角形时，求出相应的a的值.21（本题满分（本题满分 18 分）本题共有分）本题共有 3 个小题，第个小题，第 1 小题小题 4 分，第分，第 2 小题小题 6 分，第分，第 3 小题
9、小题 8 分分已知()2sinf xxx，等差数列 na的前n项和为nS，记1()nniiTf a.（1）求证：函数()yf x的图像关于点，中心对称；（2）若123aaa、是某三角形的三个内角，求3T的取值范围；（3）若100100S，求证：100100T.反之是否成立？并请说明理由.5参考答案参考答案一填空题（本大题满分一填空题（本大题满分 54 分）本大题共有分）本大题共有 12 题，只要求直接填写结果，前六题每题得题，只要求直接填写结果，前六题每题得 4分，后六题每题得分，后六题每题得 5 分分.第六题有两空，每空第六题有两空，每空 2 分分.1.52.433.14.5.146.17.
10、38.529.210.0.911.2 212.0,4二选择题（本大题满分二选择题（本大题满分 18 分）本大题共有分）本大题共有 4 题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，前两题每题得题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，前两题每题得 4 分，后两题每题得分，后两题每题得 5 分分.13.B14.B15.C16.C三解答题（本大题满分三解答题（本大题满分 78 分）本大题共有分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须写出必要的步骤题，解答下列各题必须写出必要的步骤17.(1)解：连结EF、1AD、1BC,因为点EF、是中点，所以1/EFBC且11=2EFBC，因为
11、正四棱柱，所以四边形11ABC D是矩形，则11/ADBC且11=AD BC于是1/EFAD且11=2EFAD,则四边形1EFD A是梯形，所以直线AE与1DF是相交直线.(2)解：连结DE，因为2AB，点E是中点，所以在直角三角形DEC中，5DE，因为正四棱柱，所以1DD 面ABCD，则1DED是直线1DE与底面ABCD所成角，所以145D ED，于是15DDDE.所以全面积为42 5248 58S.18（1）解：1cos2sin2cos2121sincossin 2222242xxxyf xxxx，所以函数 yf x的最大值为2122，此时x 8k kZ.（2）解：因为 1f A，所以21
12、sin 21242A，又角A为锐角，则4A，因为712AB，所以3B.由正弦定理，则=sinsinBCACAB，即sin6sinBCACBA.619.解：43M=，填表超过M不超过M上班时间812下班时间713（2）解：假设上下班的通勤时间没有显著差异，由22n adbcabcdacbd，则2240 104848=3.84115 25 20 2075，不能拒绝原假设，所以，上下班的通勤时间没有显著差异.20（1）解：设点P,x y，联立方程2244yaxxy，解得132344xaya即P12334,4aa.（2）解：设1l和2l的斜率分别为1k和2k，因为P在第一象限内，对于24yax考虑函数
13、4yax，求导1yax，代入点P横坐标，得1313111=24kaaa，对于24xy，考虑函数24xy，求导2xy，代入点P横坐标，得132=2ka，因为1C、2C的夹角为3arctan4，所以1l和2l的夹角为3arctan4，由夹角公式得：12123=14kkk k，化简为123333124aa，即13210a，得1a.（3）因为3l显然不与坐标轴平行，所以其方程设为(0)ykxb k，因 为3l和1C只 有 一 个 公 共 点，所 以 方 程 组24yaxykxb有 两 个 相 同 的 解，所 以2440kyayab的判别式1=0，即0akb，.同理方程组24xyykxb有两个相同的解，
14、所以2440 xkxb的判别式2=0，即2+0kb，.联立方程20+0akbkb，解得1323kaba ，又点Q纵坐标为2ak、点R横坐标为2k，所以1233,2Q aa、12332,Raa.7设13=at，则24,4Ptt，2,2Q tt，22,Rt t，若PQR为直角，则0QP QR ，249180tt，22t，24a;若QRP为直角，则0RQ RP ，241890tt，2t，2 2a;若RPQ为直角，则0PR PQ ，2418180tt，无解，综上，24a 或2 2a 为所求.21（1）证：在函数2sinyxx的图像上任取一点,P x y，点P关于点，的对称点为2,2Pxy，而(2)22
15、sin 222sin2fxxxxxy，所以点2,2Pxy在函数()yf x图像上，所以函数()yf x的图像关于点，中心对称.（2）解：若123aaa、是某三角形的三个内角，则123+=aaa，又 na为等差数列，则2=3a，312312312313()()2 sinsinsin=32 sinsinTf af af aaaaaaaaa，131313334 sincos32 3cos222aaaaaaT，不妨设13203aa，则13203aa，于是131cos122aa，所以32 33 3T，.（3）证：若100100S，又10010010010011()2siniiiiTf aSa，则1001
16、0011002siniiTa，因为 na为等差数列且100100S，所以当101nm时，2nmaa，于是sinsin0nmaa.故 1001100299100112sin=sinsinsinsinsinsin0iiaaaaaaa，所以100100T，得证.若100100T,则10010012sin100iiSa,反之不成立.8考虑存在等差数列 na，满足50149aad，则9999S,于是na与100 na关于对称，所以9999T.下面证明，存在d可以使得100f a且100a.不妨设0d，又149ad，所以100199aad.100502sin(50)f add，考虑函数2sinyxx，0 x,其中()2sing xxx因为()3033g，()0g，所以存在3，使得()0g，所以存在,150 50d，使得100f a即100100T，但是100100S.所以反之不成立.注：反例不唯一
