1、第十二章 对流换热的基本方程和分析解12.1 对流换热概述对流换热概述12.2 对流换热微分方程组对流换热微分方程组12.3 对流换热边界层微分方程组对流换热边界层微分方程组12.4 对流换热边界层微分方程组的分析解对流换热边界层微分方程组的分析解12.5 对流换热边界层积分方程近似解对流换热边界层积分方程近似解12.6 小结小结第第12章章 对流换热的基本方程和分析解对流换热的基本方程和分析解 流体与不同温度的固体壁面接触时，因相对运流体与不同温度的固体壁面接触时，因相对运动而发生的热量传递过程称为动而发生的热量传递过程称为对流换热对流换热。l 对流换热与热对流的区别：对流换热与热对流的区别
2、：热对流是传热的三种基本方式之一，但热对流是传热的三种基本方式之一，但对流换热不是；对流换热不是；对流换热是导热和对流这两种基本传热对流换热是导热和对流这两种基本传热方式的综合；方式的综合；对流换热必然涉及流体与不同温度的固对流换热必然涉及流体与不同温度的固体壁面体壁面(或液面或液面)之间的相对运动。之间的相对运动。12.1 对流换热概述对流换热概述 综合以上分析，可将综合以上分析，可将对流换热系数对流换热系数 与各与各影响因素写成如下函数关系：影响因素写成如下函数关系：式中，式中，为壁面的几何因素。为壁面的几何因素。(,)Pwff vcTTL12.1 对流换热概述对流换热概述l 对流换热是流
3、体的对流换热是流体的导热和对流导热和对流共同作用共同作用的结果，其影响因素主要有：的结果，其影响因素主要有：流体流动的起因流体流动的起因 流体有无相变流体有无相变 流体流体的流动状态的流动状态 流体的物理性质流体的物理性质 换热表面换热表面(指固体指固体)的几何因素的几何因素 (1)换热微分方程换热微分方程l 由于在贴壁处流体受到黏性的作用，没有相由于在贴壁处流体受到黏性的作用，没有相对于壁面的流动，因此被称为对于壁面的流动，因此被称为贴壁处的无滑移贴壁处的无滑移边界条件边界条件。将傅里叶定律应用于贴壁流体层，。将傅里叶定律应用于贴壁流体层，与牛顿冷却公式联系，得与牛顿冷却公式联系，得换热微分
4、方程换热微分方程：0yTTy 式中式中,为贴壁处流体的法向温度变化率，为贴壁处流体的法向温度变化率，/m；为流体的导热系数，为流体的导热系数，W/(m)；T为传热面上的平均温度为传热面上的平均温度差，差，为对流换热系数，为对流换热系数，W/(m2)。0yTy12.2 对流换热微分方程对流换热微分方程(2)热量传输微分方程热量传输微分方程 推导依据是能量守恒定律，采用微元体分析法推导依据是能量守恒定律，采用微元体分析法，假定流体不可压缩，微元体只有内能发生变化，假定流体不可压缩，微元体只有内能发生变化，忽略位能、动能的变化。，忽略位能、动能的变化。12.2 对流换热微分方程对流换热微分方程 对于
5、不可压缩流体，不存对于不可压缩流体，不存在体积功，只有黏性力作功在体积功，只有黏性力作功产生摩擦热。产生摩擦热。微元体获得的热能有：一微元体获得的热能有：一是通过微元体界面从外界以是通过微元体界面从外界以对流和导热方式得到；二是对流和导热方式得到；二是由微元体的内热源产生。由微元体的内热源产生。对于不可压缩流体，不存在体积功，只有黏性对于不可压缩流体，不存在体积功，只有黏性力作功产生摩擦热。力作功产生摩擦热。微元体获得的热能：一是由微元体界面从外界微元体获得的热能：一是由微元体界面从外界以对流和导热方式得到；二是由微元体的内热以对流和导热方式得到；二是由微元体的内热源产生。源产生。微元体在热量
6、传输过程的热力学第一定律为微元体在热量传输过程的热力学第一定律为：12.2 对流换热微分方程对流换热微分方程12345QQQQQQ1为单位时间内通过对流传入微元体净热量；为单位时间内通过对流传入微元体净热量；Q2为单位时间内通过导热传入微元体的净热量；为单位时间内通过导热传入微元体的净热量；Q3为单位时间内微元体内热源生成的热量；为单位时间内微元体内热源生成的热量；Q4为单位时间里外界对微元体作黏性功产生的摩擦热；为单位时间里外界对微元体作黏性功产生的摩擦热；Q5为单位时里内微元体内能的增加量。单位都是为单位时里内微元体内能的增加量。单位都是J/s。在在x方向，由于流体流动，单位时间内从方向，
7、由于流体流动，单位时间内从EFGH面面对流对流传入和从传入和从ABCD面面对流传出的热量分别为对流传出的热量分别为（U为每千克为每千克流体的内能流体的内能）：12.2 对流换热微分方程对流换热微分方程1,xxQUdydz1,1,1,xx dxxQQQdxx在在x方向，单位时间内对流传入微元体的净热量为方向，单位时间内对流传入微元体的净热量为 在在x方向，单位时间内对流传入微元体的净热量为：方向，单位时间内对流传入微元体的净热量为：1,1,1,xxxxx dxxQUUQQdxdxdydzUdxdydzxxxx 同理，同理，可写出可写出y和和z方向在单位时间内对流传入微元体方向在单位时间内对流传入
8、微元体的净热量。因此，单位时间的净热量。因此，单位时间内对流净传入微元体的总热内对流净传入微元体的总热量为：量为：1yxzxyzUUUQUdxdydzxyzxyz 由动量传输可知，对于不可压缩流体，其连续性方程由动量传输可知，对于不可压缩流体，其连续性方程为为12.2 对流换热微分方程对流换热微分方程在在x方向，单位时间内对流传入微元体的净热量为方向，单位时间内对流传入微元体的净热量为 导热传入微元体的热量可按傅里叶定律计算，在导热传入微元体的热量可按傅里叶定律计算，在不为常数的情况下，单位时间内通过导热传入微元体的不为常数的情况下，单位时间内通过导热传入微元体的净热量为：净热量为：0zyxz
9、yx1xyzUUUQdxdydzxyz 2TTTQdxdydzxxyyzz为计算微元体内热源产生的热量，定义单位时间、单为计算微元体内热源产生的热量，定义单位时间、单位体积所生成的热量为内热源强度，用位体积所生成的热量为内热源强度，用qv v 表示。于是表示。于是单位时间内微元体内热源生成的热量为：单位时间内微元体内热源生成的热量为：12.2 对流换热微分方程对流换热微分方程 外界流体对微元体所做黏性功的推导比较复杂，令单外界流体对微元体所做黏性功的推导比较复杂，令单位体积流体由于黏性力作用产生的摩擦热速率为位体积流体由于黏性力作用产生的摩擦热速率为，称，称为耗散热。则为单位时间内黏性功产生的
10、热能量为：为耗散热。则为单位时间内黏性功产生的热能量为：3vQq dxdydz4Qdxdydz 单位时间内，微元体内能的增加量为：单位时间内，微元体内能的增加量为：5UQdxdydzt 代入原式，消去代入原式，消去dxdydz，整理后可得：，整理后可得：12.2 对流换热微分方程对流换热微分方程 对于不可压缩流体对于不可压缩流体(或固体或固体)，可认为，可认为dU=cVdT，并且，并且cVcP，于是：，于是：vxyzUUUUTTTqtxyzxxyyzz vDUTqDtvPPxyzTTTTTTTccqtxyzxxyyzzvPDTcTqDt 方程中最后一项耗散热是流体黏度和剪切应变率的函方程中最后
11、一项耗散热是流体黏度和剪切应变率的函数，对一般工程问题可忽略不计。于是可变为：数，对一般工程问题可忽略不计。于是可变为：如果流体的导热系数如果流体的导热系数为常数，且流体无内热源，即为常数，且流体无内热源，即qv=0，则可进一步简化为：，则可进一步简化为：vPDTcTqDt 2aDTTDt 222222axyzTTTTTTTtxyzxyz此式称为傅里叶此式称为傅里叶-克希荷夫导热微分方程，适用于无内克希荷夫导热微分方程，适用于无内热源不可压缩流体的对流换热分析。热源不可压缩流体的对流换热分析。称为导温系数，单位是称为导温系数，单位是m2/s。aPC12.2 对流换热微分方程对流换热微分方程 (
12、3)连续性方程连续性方程 根据动量传输理论，不可压缩流体根据动量传输理论，不可压缩流体(为常数为常数)的连续性的连续性方程为：方程为：0yxzxyz (4)运动运动(动量传输动量传输)方程方程 不可压缩流体的纳维不可压缩流体的纳维-斯托克斯方程为斯托克斯方程为：2DDPt F12.2 对流换热微分方程对流换热微分方程 换热方程式、热量传输方程式、连续性方程式和运换热方程式、热量传输方程式、连续性方程式和运动动(动量传输动量传输)方程式方程式。l 这四个方程总称为这四个方程总称为对流换热微分方程组对流换热微分方程组，是求，是求解对流换热系数的基本方程。解对流换热系数的基本方程。l如果将如果将物性
13、物性(、)视为常数，求解对流视为常数，求解对流换热系数的换热系数的基本途径基本途径是：是：由连续性方程和动量传输方程，结合定解条件，由连续性方程和动量传输方程，结合定解条件，求出速度场；求出速度场；由热量传输方程，结合定解条件，求出温度场；由热量传输方程，结合定解条件，求出温度场；由换热微分方程求出局部对流换热系数。由换热微分方程求出局部对流换热系数。对流换热微分方程组描述了对流换热过程所具对流换热微分方程组描述了对流换热过程所具有的共性，是对流换热过程的一般描述。有的共性，是对流换热过程的一般描述。12.2 对流换热微分方程对流换热微分方程单凭对流换热微分方程组不能解出未知函数，单凭对流换热
14、微分方程组不能解出未知函数，必须给出具体问题的特定条件才能得到特定的必须给出具体问题的特定条件才能得到特定的解，描述对流换热的具体条件称为定解条件。解，描述对流换热的具体条件称为定解条件。用分析法求解对流换热问题是非常困难的用分析法求解对流换热问题是非常困难的，直，直到普朗特提出了边界层理论，并用数量级分析到普朗特提出了边界层理论，并用数量级分析方法对微分方程组进行了简化，其数学分析解方法对微分方程组进行了简化，其数学分析解才真正得到。才真正得到。只有在几何形状和边界条件均只有在几何形状和边界条件均简单的层流简单的层流稳态稳态流动条件下，对流换热问题才可以得流动条件下，对流换热问题才可以得到精
15、确到精确的的解。解。12.2 对流换热微分方程对流换热微分方程(1)温度温度(热热)边界层边界层 固体表面附近流体温度发生剧烈变化的薄层称固体表面附近流体温度发生剧烈变化的薄层称为为温度边界层温度边界层(热边界层热边界层)，其厚度记为，其厚度记为T。对于对流换热，类似于速度边界层的定义，在对于对流换热，类似于速度边界层的定义，在热量传输中通常将热量传输中通常将TTw0.99(TTw)定义为定义为T的外边界的外边界。12.3 对流换热边界层微分方程组对流换热边界层微分方程组 层流时，流体分层流动，层流时，流体分层流动，相邻层间无流体的宏观运动相邻层间无流体的宏观运动，因而在壁面法线方向上热，因而
16、在壁面法线方向上热量的传递只能依靠流体内部量的传递只能依靠流体内部的导热。湍流时，流动边界的导热。湍流时，流动边界层可分为层可分为层流底层、缓冲层层流底层、缓冲层和湍流核心层和湍流核心层。热边界层和流动边界层既有联系又有区别。热边界层和流动边界层既有联系又有区别。一般说，一般说，流动边界层总是从入口处流动边界层总是从入口处(x=0)开始发展，而热边界层开始发展，而热边界层则不一定，它仅存在于壁面与流体间有温差的地方。此则不一定，它仅存在于壁面与流体间有温差的地方。此外热边界厚度与流动边界层厚度也不一定相等，它们之外热边界厚度与流动边界层厚度也不一定相等，它们之间的关系主要决定于流体的状态。间的
17、关系主要决定于流体的状态。12.3 对流换热边界层微分方程组对流换热边界层微分方程组(2)边界层对流换热微分方程组边界层对流换热微分方程组 二维对流换热问题二维对流换热问题可采用可采用数量级分析方法，将数量级分析方法，将方程式中数量级较小的项舍去，实现方程的合方程式中数量级较小的项舍去，实现方程的合理简化理简化,通过比较各项的大小通过比较各项的大小(普朗特的方法普朗特的方法)由于由于dP/dx=0，可以得到边界层对流换热的微分，可以得到边界层对流换热的微分方程组：方程组：22xxxxyxyy0yxyx22axyTTTxyy0ayTTy 四个方程包括四个未知数：四个方程包括四个未知数：x、y、T
18、、a，加上定解条，加上定解条件可以求解。件可以求解。12.3 对流换热边界层微分方程组对流换热边界层微分方程组 12.4.1 平板层流换热的分析解平板层流换热的分析解l 需要满足的条件：需要满足的条件：方程式中二阶微分项的系数必须相等，这就需方程式中二阶微分项的系数必须相等，这就需要要=a或或Pr=1。温度边界条件必须与速度边界条件相适应。为温度边界条件必须与速度边界条件相适应。为此，只需将独立变量此，只需将独立变量T换成换成(T-Tw)/(T-Tw)。替换替换 中的中的 12.4 对流换热对流换热边界层边界层微分方程组的分析解微分方程组的分析解 应用布拉修斯的结果，可得到：应用布拉修斯的结果
19、，可得到：x22xxxxyxyyx002(/)(0)xyyxddffddy 2xRe(/)由换热微分方程得：由换热微分方程得：l 式中式中Nux称为称为局部努塞尔特数局部努塞尔特数。1 20.332xxRex1 20.332xxxxNuRe 波尔豪森研究了波尔豪森研究了Pr不为不为1时的影响：时的影响：1 3TPr 代入流换热系数表达式。在代入流换热系数表达式。在y=0处，温度梯度为：处，温度梯度为：12.4 对流换热对流换热边界层边界层微分方程组的分析解微分方程组的分析解ww002()/()1.328yyxdTTTTdfdd y 2xRe(/)1/20w0.332()yxTTTReyx 可得
20、温度梯度：可得温度梯度：l 对上式积分可得：对上式积分可得：对宽为对宽为W、长为、长为L的平板上的的平板上的平均对流传热系数平均对流传热系数，可，可用用x沿全板长从沿全板长从0到到L积分：积分：1/21/30.332xLRePrL12.4 对流换热对流换热边界层边界层微分方程组的分析解微分方程组的分析解1/21/30.332xxxxNuRePr 由换热微分方程得：由换热微分方程得：01LxdxL1/21/30.664LRePrL2x1/21/30.664xxNuRePr2xNuNu1/21/30w0.332()yxTTTRePryx12.4.2 液体金属流过平板时的对流换热液体金属流过平板时的
21、对流换热 对液体金属沿平板流动时的热边界层，假定热对液体金属沿平板流动时的热边界层，假定热边界层内整个截面上的实际流速可用主流速度来边界层内整个截面上的实际流速可用主流速度来表示。一维非稳态导热微分方程：表示。一维非稳态导热微分方程：12.4 对流换热边界层微分方程组的分析解对流换热边界层微分方程组的分析解 这样，液体金属流过平板的对流换热问题，可看作这样，液体金属流过平板的对流换热问题，可看作半无限大物体半无限大物体(指液体金属指液体金属)，且表面温度为常数的非稳，且表面温度为常数的非稳态导热问题。态导热问题。22aTTtywwerf2 a/TTyTtx以上对流换热系数计算公式适用于恒壁温，
22、平板层流边以上对流换热系数计算公式适用于恒壁温，平板层流边界层的情况，应用范围为：界层的情况，应用范围为：0.6Pr50，Re5105。公式公式中的误差函数既可由表中的误差函数既可由表11-2，也可用收敛级数计算，也可用收敛级数计算。对于很小的。对于很小的值值(即当即当y0时时)，取级数首项就可满足，取级数首项就可满足要求：要求：12.4 对流换热边界层微分方程组的分析解对流换热边界层微分方程组的分析解aaxwwTTTTxx 1/21/20.5640.564axxxxxvNuRePrvww2a2 a/TTyyTTxx 将将T对对y求导，并代入公式得：求导，并代入公式得：137(2)52erf.
23、1(12)!.3 1!5 2!7 3!nnnn。考虑图中虚线所示的考虑图中虚线所示的控制体，它适用于平行控制体，它适用于平行流过无压力梯度的平面流过无压力梯度的平面。积分形式的热力学第。积分形式的热力学第一定律公式可写为：一定律公式可写为：12.5 对流换热边界层积分方程组近似解对流换热边界层积分方程组近似解在稳定状态及重力影响不大的情况下有：在稳定状态及重力影响不大的情况下有：22xAVPUgydAE dVqt nW2202200()()()22()()22TTTxxxxxAxxxxxTPPUgydAUdyPdPUdyUdy xdx n 完整的热量表达式为完整的热量表达式为 ：12.5 对流
24、换热边界层积分方程组近似解对流换热边界层积分方程组近似解 假设以假设以x除上式两边，并取除上式两边，并取x趋近于零的极限，可趋近于零的极限，可得：得：00004213TTTyxPxxxPxPxTxC TdyC TdyCxT dyyqqqq 对于给定边界条件：对于给定边界条件：00()TyxPTdTT dyCydxw23TT=a+by+cy+dy假设温度变化为幂级数形式：假设温度变化为幂级数形式：2w)0,0TTyy2(w),0TTTyy(;w0,0;yTT wfw,;TyTTTT 局部局部的换热系数和的换热系数和努塞尔数努塞尔数分别为分别为 ：12.5 对流换热边界层积分方程组近似解对流换热边
25、界层积分方程组近似解 假设温度变化为幂级数形式，并且在满足一定边界条假设温度变化为幂级数形式，并且在满足一定边界条件的情况下，可得表达式：件的情况下，可得表达式：3ww3122TTTTyy=TT()()可以得到温度边界层的厚度可以得到温度边界层的厚度：1/21/30.331xxNuRePr1/21/30.662LRePrL1/21/30.662LNuRePr1/30.976TPr1/34.53TxPr1/21/30.662xLRePrx根据平均和局部换热系数的关系：根据平均和局部换热系数的关系：2x L12.5 对流换热边界层积分方程组近似解对流换热边界层积分方程组近似解 例题例题1 4的空气
26、以的空气以1m/s的速度流过一块宽的速度流过一块宽1m，长长1.5m的平板，试求为使平板均匀保持的平板，试求为使平板均匀保持50所所需供给的热量。需供给的热量。解：空气的定性温度为：解：空气的定性温度为：查相关表可得空气在查相关表可得空气在27时，时，=15.72 10-6m2/s；=0.02648W/(m)；Pr=0.697。首先计算雷诺数以判断。首先计算雷诺数以判断流动状态。流动状态。4502722fwmTTT4561 1.59.55 105 1015.68 10LfLRe 由于平板两侧面均以对流方式散热，因此，供给平板由于平板两侧面均以对流方式散热，因此，供给平板的热量应为：的热量应为：
27、1/21 31 21 3420.6620.026240.6629.55 100.7023.2/1.5lRePrLWm 22 3.21 1.5504441.6wfQF TTW 因因ReL小于临界雷诺数，故全板长的边界层均为层流。小于临界雷诺数，故全板长的边界层均为层流。利用热边界层厚度公式可求得利用热边界层厚度公式可求得平均平均给热系数。给热系数。12.5 对流换热边界层积分方程组近似解对流换热边界层积分方程组近似解 如果按国外最近出版的书中的公式计算如果按国外最近出版的书中的公式计算：1 21 320.723.5/LRePrWmL w2()2 3.51 1.5504483WQF TT从对流换热
28、机理及影响因素入手，阐述了对流换热的从对流换热机理及影响因素入手，阐述了对流换热的数学表达式和求解的方法。数学表达式和求解的方法。对流换热过程可以用一组微分方程来描述。其中换热对流换热过程可以用一组微分方程来描述。其中换热微分方程是直接用来求解换热系数的方程微分方程是直接用来求解换热系数的方程,能量微分方能量微分方程描述流体内的温度分布程描述流体内的温度分布,动量微分方程和连续方程描动量微分方程和连续方程描述流体内的速度分布。述流体内的速度分布。对流换热微分方程组仅在层流条件下可以用分析方法对流换热微分方程组仅在层流条件下可以用分析方法求解。普朗特根据边界层理论，应用数量级分析方法，求解。普朗特根据边界层理论，应用数量级分析方法，建立了边界层微分方程组。建立了边界层微分方程组。边界层积分方程组是求解对流换热的一种近似方法。边界层积分方程组是求解对流换热的一种近似方法。以平板层流换热为例，由积分方程求解出流动边界层和以平板层流换热为例，由积分方程求解出流动边界层和热边界层的厚度，从而求出换热系数及特征数方程式。热边界层的厚度，从而求出换热系数及特征数方程式。12.6 小结小结
