1、3.1 直线的倾斜角与斜率3.1.1 倾斜角与斜率第三章 直线与方程笛卡儿（笛卡儿（1596-16501596-1650）：法国数）：法国数学家、物理学家和哲学家，堪称学家、物理学家和哲学家，堪称1717世纪以来欧洲哲学界和科学界世纪以来欧洲哲学界和科学界最有影响的巨匠之一，被誉为最有影响的巨匠之一，被誉为“近代科学的始祖近代科学的始祖”.几何问题几何问题代数化代数化观察下面的跷跷板，跷跷板的位置固定吗？观察下面的跷跷板，跷跷板的位置固定吗？思考思考1 1 已知直线已知直线l经过点经过点P P，直线，直线l 的位置能够确的位置能够确定吗？定吗？yxOlll不确定不确定.过一个点有无数条直线过一
2、个点有无数条直线.这些直线有何区别？这些直线有何区别？它们的倾斜程度不同它们的倾斜程度不同如何描述直线如何描述直线的倾斜程度？的倾斜程度？Px xy yo o规定：当直线规定：当直线l和和x x轴平行或轴平行或重合时，它的倾斜角为重合时，它的倾斜角为0 0.lx x轴正向轴正向与与直线直线l向上向上方向之间所成的角方向之间所成的角.直线倾斜角直线倾斜角的范围为：的范围为：0180.一、直线的倾斜角一、直线的倾斜角注意：1、对直线的倾斜角的理解(1)倾斜角定义中含有三个条件:x轴正、方向；直线向上的方向；小于180的非负角.2.倾斜角的范围直线的倾斜角的范围为_.0180思考:一条直线的倾斜角为
3、0,这条直线一定与x轴平行吗?提示:不一定,也可能与x轴重合.练习：请标出以下直线的倾斜角练习：请标出以下直线的倾斜角.xyOxyOxyO思考思考2 2 直线的倾斜程度与倾斜角有什么关系？直线的倾斜程度与倾斜角有什么关系？平面直角坐标系中每一条直线都平面直角坐标系中每一条直线都有确定的倾斜角有确定的倾斜角;倾斜程度不同的直线有不同的倾倾斜程度不同的直线有不同的倾斜角斜角;倾斜程度相同的直线其倾斜角倾斜程度相同的直线其倾斜角相同相同.xyOllPll思考思考3 3 确定平面直角坐标系中一条直线的几何要确定平面直角坐标系中一条直线的几何要素是什么？素是什么？x xy yo o【提示】【提示】直线上
4、的一个定点及它直线上的一个定点及它的倾斜角二者缺一不可的倾斜角二者缺一不可P Pl思考思考4 4 日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量呢？日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量呢？前进量前进量升升高高量量升高量坡度（比）前进量45453 m3 m3 m3 m坡度越大，楼梯越陡坡度越大，楼梯越陡前进量前进量升升高高量量“坡度（比）坡度（比）”是是“倾斜角倾斜角”的正切值的正切值.xyo4545二、直线斜率的定义二、直线斜率的定义通常用小写字母通常用小写字母k k表示，即表示，即ktan(90).一条直线的倾斜角一条直线的倾斜角 的正切值叫做这条的正切值叫做这条直线的斜率直线的斜率(slope).(
5、slope).倾斜角倾斜角不是不是9090的直线都有斜率的直线都有斜率.时o o=90，=90，k不k不存存在在.注意：注意：xyo o斜率与倾斜角的对应关系图示图示倾斜角倾斜角(范范围围)=0=00 0990 0=_=_90901800k x x,y y y y，o ot ta an n=t ta an n(1 18 80 0-)=-t ta an n.2121在在RtRtPQP中PQP中，2 21 1P P Q Qt ta an n=P PQ Q21211212y-yy-y=，=，x-xx-x所以2 21 12 21 11 12 22 21 1y y-y yy y-y yk k=t ta
6、an n=-=x x-x xx x-x x0.2x1x1y2y21(,)Q xy结论：结论：当当90180时，斜 率 k 0.同样，当同样，当 的方向向上时，也有的方向向上时，也有 成立成立.21P P2121tanyyxx111(,)P xy222(,)P xyxyoxyo111(,)P x y222(,)P xy说明：说明：此公式与两点坐标的顺序无关此公式与两点坐标的顺序无关.222(,)P xy111(,)P x y思考思考6 6 当直线当直线P P1 1P P2 2平行于平行于x x轴，或与轴，或与x x轴重合时，轴重合时，还适用吗？为什么？还适用吗？为什么？2121yykxxxyO
7、O21210yykxx适用适用222(,)P x y111(,)P x yxyO O思考思考7 7 当直线平行于当直线平行于y y轴，或与轴，或与y y轴重合时，公轴重合时，公式还适用吗？式还适用吗？不适用，因为分母为不适用，因为分母为0 0，斜率不存在斜率不存在.三、斜率公式三、斜率公式公式特点：公式特点：(1)(1)与两点坐标的顺序无关与两点坐标的顺序无关.(2)(2)公式表明公式表明,直线的斜率可以通过直线上任意两点直线的斜率可以通过直线上任意两点的坐标来表示的坐标来表示,而不需要求出直线的倾斜角而不需要求出直线的倾斜角.(3)(3)当当x x1 1=x=x2 2时时,公式不适用公式不适
8、用,此时此时=90=90.211221 ().yykxxxx经过两点经过两点 的直线的斜率公式的直线的斜率公式111222(,),(,)P x yP xy12()xx判断：(正确的打“”，错误的打“”)(1)倾斜角是描述直线的倾斜程度的惟一方法.()(2)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应.()(3)一个倾斜角不能确定一条直线.()(4)斜率公式与两点的顺序无关.()提示：(1)错误.除了倾斜角，还可以用坡度(比)描述倾斜程度.(2)错误.倾斜角不是90的直线有且只有一个斜率和它对应.(3)正确.确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素:一个点P和一个倾斜角.(4)正确.斜率公式与两点的
9、顺序无关，即两纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换.答案:(1)(2)(3)(4)例、选择题下列说法正确的是()A平面直角坐标系内的任意一条直线都有倾斜角和斜率B直线倾斜角的范围是0180C若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为tanD若一条直线的斜率为tan，则此直线的倾斜角为答案：答案：B 例例1 1 如图，已知如图，已知A(3A(3，2),B(-42),B(-4，1),C1),C（0 0，-1-1）,求求直线直线ABAB，BCBC，CACA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角锐角还是钝角.OxyACB121;437ABk 解：解：直线直线ABA
10、B的斜率的斜率1 121;0(4)42BCk 直线直线BCBC的斜率的斜率直线直线CACA的斜率的斜率1231.033 CAk分析：分析：直接利用公式求解直接利用公式求解.由由 及及 知，直线知，直线ABAB与与CACA的倾斜角均为锐角；的倾斜角均为锐角；由由 知，直线知，直线BCBC的倾斜角为钝角的倾斜角为钝角0ABk0CAk0BCk斜率为正，倾斜角为锐角；斜率为正，倾斜角为锐角；斜率为负，倾斜角为钝角；斜率为负，倾斜角为钝角；斜率为斜率为0 0，倾斜角为，倾斜角为0 0；斜率不存在时，倾斜角为直角斜率不存在时，倾斜角为直角.例例2 2 在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率在平面直角坐标系
11、中，画出经过原点且斜率分别为分别为1 1，-1-1，2 2及及-3-3的直线的直线l1 1，l2 2，l3 3及及l4 4.xy解：解：设设A A1 1（x x1 1,y,y1 1）是）是l1 1上任意一点，上任意一点，根据斜率公式有根据斜率公式有1101,0yx即即x x1 1=y=y1 1.设设x x1 1=1=1，则，则y y1 1=1=1，于是于是A A1 1的坐标是（的坐标是（1,11,1）过原点及点过原点及点A A1 1（1,11,1）的直线即为）的直线即为l1 11l分析：分析：找出直线上异于原点的点找出直线上异于原点的点.1AO同理同理l2 2是过原点及点是过原点及点A A2
12、2（1 1，-1-1）的直线，）的直线，l3 3是过原点及点是过原点及点A A3 3（1 1，2 2）的直线，）的直线，l4 4是过原点及点是过原点及点A A4 4（1 1，-3-3）的直线）的直线x1A1l3l2l4l2A4Ay3AOl1 11.1.已知已知A(3A(3，5)5)，B(4B(4，7)7)，C(-1C(-1，x)x)三点共线，三点共线，则则x x等于等于()()A.-1 B.1 C.-3 D.3A.-1 B.1 C.-3 D.3解：解：选选C.C.因为因为 又又A A，B B，C C三点共线，所以三点共线，所以k kABAB=k=kACAC，即，即 解得：解得：x=-3.x=-
13、3.ABACABAC7-5x-5x-57-5x-5x-5k=2,k=-,k=2,k=-,4-3-1-344-3-1-34x524，2 2设直线设直线l过原点，其倾斜角为过原点，其倾斜角为，将直线，将直线l绕坐标绕坐标原点沿逆时针方向旋转原点沿逆时针方向旋转4545，得到直线，得到直线l1 1，则直线，则直线l1 1的倾斜角为的倾斜角为()A A4545 B B135135C C135135D D当当0 0135135时，为时，为4545；当当135135180180时，为时，为135135Do oABABc-cc-c(1)k=0,(1)k=0,=0.=0.b-ab-a解解：4.4.已知已知a,
14、b,ca,b,c是两两不等的实数，求经过下列两点是两两不等的实数，求经过下列两点的直线的斜率及倾斜角的直线的斜率及倾斜角.(1)A(a,c),B(b,c).(2)C(a,b),D(a,c).(1)A(a,c),B(b,c).(2)C(a,b),D(a,c).(3)P(b,b+c),Q(a,c+a).(3)P(b,b+c),Q(a,c+a).线o o(2)直(2)直CD的CD的斜斜率率不不存存在在,=90.=90.o oPQPQ（3）3）k=1,k=1,=45.=45.x xO O2-1-11 15.5.画出经过点（画出经过点（0,20,2），且斜率为），且斜率为2 2与与-2-2的直线的直线.y y解：解：斜率为斜率为2 2的直线经过（的直线经过（0,20,2），（），（-1,0-1,0）两点；）两点；斜率为斜率为-2-2的直线经过（的直线经过（0,20,2），（），（1,01,0）两点）两点.1.1.直线倾斜角的定义及其范围：直线倾斜角的定义及其范围：2.2.斜率斜率k k与倾斜角与倾斜角 之间的关系：之间的关系：3.3.斜率公式：斜率公式：ktan(90).“几何问题代数化几何问题代数化”的思想的思想.2112122112().yyyykkxxxxxx或0180.
