1、1假设检验的基本概念假设检验的基本概念若对若对参数参数有所有所了解了解但有怀但有怀疑猜测疑猜测需要证需要证实之时实之时用假设用假设检验的检验的方法来方法来 处理处理若对参数若对参数一无所知一无所知用参数估计用参数估计的方法处理的方法处理2 假设检验是现有总体的概率分布或参数的假设检验是现有总体的概率分布或参数的假设假设.所作假设可能正确所作假设可能正确,也可能错误也可能错误.为判断所作的假设是否正确为判断所作的假设是否正确,从总体中抽从总体中抽取样本取样本,根据样本的取值进行检验根据样本的取值进行检验,然后作出接然后作出接受或拒绝所作假设的决定受或拒绝所作假设的决定.何为假设检验何为假设检验?
2、3假设检验所以可行假设检验所以可行,其理论背景为实际其理论背景为实际推断原理推断原理,即即“小概率原理小概率原理”假设检验的内容假设检验的内容参数检验参数检验非参数检验非参数检验假设检验的理论依据假设检验的理论依据4 引例引例 某产品出厂检验规定某产品出厂检验规定:次品率次品率p不不超过超过4%才能出厂才能出厂.现从一万件产品中任意现从一万件产品中任意抽查抽查12件发现件发现3件次品件次品,问该批产品能否出问该批产品能否出厂？若抽查结果发现厂？若抽查结果发现1件次品件次品,问能否出厂？问能否出厂？01.00097.0)1()3(9331212ppCP代入04.0p解解 假设假设0.04,p04
3、.0p 这是这是 小概率事件小概率事件,一般在一次试验中一般在一次试验中是不会发生的是不会发生的,现一次试验竟然发生现一次试验竟然发生,故认故认为原假设不成立为原假设不成立,即该批产品次品率即该批产品次品率 ,则该批产品不能出厂则该批产品不能出厂.5 这不是这不是小概率事件小概率事件,没理由拒绝原假设没理由拒绝原假设,从而接受原假设从而接受原假设,即该批产品可以出厂即该批产品可以出厂.3.0306.0)1()1(11111212ppCP若不用假设检验若不用假设检验,按理不能出厂，按理不能出厂，上式计算假设产品合格率是上式计算假设产品合格率是0.5.注注104.0083.012/1直接算直接算注
4、注2本检验方法是本检验方法是 概率意义下的反证法，概率意义下的反证法，故拒绝原假设是有说服力的故拒绝原假设是有说服力的,而接受而接受原假设是没有说服力的原假设是没有说服力的.因此因此.应把希应把希望否定的假设作为原假设望否定的假设作为原假设6对总体对总体 提出假设提出假设1(;)(1),0,1xxX f x pppx04.0:;04.0:10pHpH要求利用样本观察值要求利用样本观察值)13(121orxii对提供的信息作出接受对提供的信息作出接受 (可出厂可出厂),还还是接受是接受 (不准出厂不准出厂)的判断的判断.0H1H),(1221xxx出厂检验问题的数学模型出厂检验问题的数学模型71
5、 假设检验假设检验8前面的检验问题常叙述成前面的检验问题常叙述成:在显著性水平在显著性水平a a下下,检验假设检验假设H0:m m=m m0,H1:m m m m0.(1.2)也常说成也常说成在显著性水平在显著性水平a a下下,针对针对H1,检验检验H0.H0称为称为原假设原假设或或零假设零假设,H1称为称为备择假备择假设设.要进行的工作是要进行的工作是,根据样本根据样本,按上述检验方按上述检验方法作出决策法作出决策,在在H0与与H1中择其一中择其一.当检验统计量取某个区域当检验统计量取某个区域C中的值时中的值时,我们拒我们拒绝原假设绝原假设H0,则则C称为称为拒绝域拒绝域,拒绝域的边界拒绝域
6、的边界点称为点称为临界点临界点,如上例中拒绝域为如上例中拒绝域为|z|za a/2,而而zza a/2,z=za a/2为临界点为临界点.9一般来说一般来说,当样本容量固定时当样本容量固定时,若减少犯一类若减少犯一类错误的概率错误的概率,则犯有另一类错误的概率往往增则犯有另一类错误的概率往往增大大.一般来说一般来说,总是控制第总是控制第I类错误的概率类错误的概率,使使它不大于它不大于a a,a a的大小视具体情况而定的大小视具体情况而定,通常通常a a取取0.1,0.05,0.01,0.005等值等值.这种只对犯第这种只对犯第I类类错误的概率加以控制错误的概率加以控制,而不考虑犯第而不考虑犯第
7、II类错误类错误的概率的检验的概率的检验,称为称为显著性检验显著性检验.形如形如(1.2)式式中的备择假设中的备择假设H1,表示表示m m1可能大于可能大于也可能小于也可能小于m m0,称为称为双边备择假设双边备择假设10有时只关心总体均值是否增大有时只关心总体均值是否增大.例如试验新工例如试验新工艺以提高材料的强度艺以提高材料的强度.这时这时,所考虑的总体的所考虑的总体的均值应该越大越好均值应该越大越好.此时此时,我们需要检验假设我们需要检验假设H0:m m m m0,H1:m mm m0.(1.3)形如形如(1.3)的假设检验的假设检验,称为右边检验称为右边检验.类似地类似地,有时需要检验
8、假设有时需要检验假设H0:m m m m0,H1:m mm m0.(1.4)形如形如(1.4)的假设检验的假设检验,称为左边检验称为左边检验.右边检右边检验和左边检验统称为单边检验验和左边检验统称为单边检验.11在假设在假设H0实际上为真时实际上为真时,可能犯拒绝可能犯拒绝H0的错的错误误,称这类称这类“弃真弃真”错误为错误为第第I类错误类错误,第第I类错误类错误的概率记为的概率记为 ,称为称为显著性水平显著性水平又当又当H0实际上不真时实际上不真时,也有可能接受也有可能接受H0.称这称这类类取伪取伪错误为错误为第第II类错误类错误.犯第犯第II类错误的类错误的概率记为概率记为a12 由于假设
9、检验是控制犯第一类错由于假设检验是控制犯第一类错误的概率误的概率,使得拒绝原假设使得拒绝原假设 H0 的决策的决策变得比较慎重变得比较慎重,也就是也就是 H0 得到特别的得到特别的保护保护.因而因而,通常把有把握的通常把有把握的,经验的经验的结论作为原假设结论作为原假设,或者尽量使后果严或者尽量使后果严重的错误成为第一类错误重的错误成为第一类错误.132 正态总体均值的假设检验14(一一)单个总体单个总体N(m m,s s2)均值均值m m的检验的检验1,s s2已知已知,关于关于m m的检验的检验(Z检验检验)在在1中已讨论过正态总体中已讨论过正态总体N(m m,s s2)当当s s2已知已
10、知时关于时关于m m的检验问题的检验问题(1.2),(1.3),(1.4).在这些检在这些检验问题中验问题中,我们都是利用统计量我们都是利用统计量.0来确定拒绝域的来确定拒绝域的nXZs sm m 这种检验法常称为这种检验法常称为Z检验法检验法.15m m m m0m m m m0m m m m0m m m m0m m m m0 2Uza a Uza a Uza aZ检验法检验法(s s2 2 已知已知)原假设原假设 H0备择假设备择假设 H1检验统计量及其检验统计量及其H0为真时的分布为真时的分布拒绝域拒绝域nXU/0sm)1,0(N162,s s2未知未知,关于关于m m的检验的检验(t检
11、验检验)设总体设总体XN(m m,s s2),其中其中m m,s s2未知未知,我们来求检我们来求检验问题验问题H0:m m=m m0,H1:m m m m0的拒绝域的拒绝域(显著性水平为显著性水平为a a).设设X1,X2,.,Xn是来自总体是来自总体X的样本的样本,由于由于s s2未未,.Xnm ms s知 现在不能利用来确定拒绝域了注意知 现在不能利用来确定拒绝域了注意.0作为检验统计量作为检验统计量nSXtm m 到到S2是是s s2的无偏估计的无偏估计,我们用我们用S来代替来代替s s,采用采用17域的形式为域的形式为拒绝拒绝过分大时就拒绝过分大时就拒绝当观察值当观察值,|0Hnsx
12、tm m .|0knsxt m m而当而当H0为真时为真时,),1(0 ntnSXm m18故由故由a am mm m knSXPHHP0000为真拒绝为真拒绝当当)1.2().1(|2/0 ntnsxta am m得得k=ta a/2(n 1),即得拒绝域为即得拒绝域为对于正态总体对于正态总体N(m m,s s2),当当s s2未知关于未知关于m m的单的单边检验的拒绝域在书上表边检验的拒绝域在书上表8.1中给出中给出.上述利用上述利用 t 统计量的检验法称为统计量的检验法称为t 检验法检验法19m m m m0m m m m0m m m m0m m m m02atT m m m m0atT
13、 atT)1(0ntnSXTmT T 检验法检验法(s s2 2 未知未知)原假设原假设 H0备择假设备择假设 H1检验统计量及其检验统计量及其H0为真时的分布为真时的分布拒绝域拒绝域203 正态总体方差的假设检验21(一一)单个总体的情况单个总体的情况设总体设总体XN(m m,s s2),m m,s s2均未知均未知,X1,X2,.,Xn是来自是来自X的样本的样本.要求检验假设要求检验假设(显著性水平为显著性水平为a a):H0:s s2=s s02,H1:s s2 s s02,s s02为已知常数为已知常数.由于由于S2是是s s2的无偏估计的无偏估计,当当H0为真时为真时,观察值观察值而
14、而附近摆动附近摆动一般来说应在一般来说应在的比值的比值与与,1202202s ss sss),1()1(2202 nSn s s不应过分大于不应过分大于1或过分小于或过分小于1,由第六章的定理知由第六章的定理知,当当H0为真时为真时22s s 2 s s 02s s 2s s 02)(22nas s 2s s 02)1(22nas s 2s s 02)1(212nas s 2 s s 02s s 2=s s 02s s 2 s s 02)1()1(2221222nnaa或原假设原假设 H0备择假设备择假设 H1检验统计量及其在检验统计量及其在H0为真时的分布为真时的分布拒绝域拒绝域)1()1(
15、22022nSns(m m 未知未知)24 假设检验与置信区间对照假设检验与置信区间对照),(22nzxnzxssaa20asmznx接受域接受域置信区间置信区间检验统计量及其在检验统计量及其在H0为真时的分布为真时的分布枢轴量及其分布枢轴量及其分布m m m m0m m m m0m m（s s 2 已知已知)1,0(0NnXUsm（s s 2 已知已知)1,0(NnXUsm原假设原假设 H0备择假设备择假设 H1待估参数待估参数25接受域接受域置信区间置信区间检验统计量及其在检验统计量及其在H0为真时的分布为真时的分布枢轴量及其分布枢轴量及其分布原假设原假设 H0备择假设备择假设 H1待估参
16、数待估参数m m m m 0m m m m 0m m（s s 2未知）未知）)1(0nTnSXTm（s s 2未知）未知）)1(nTnSXTm)2nstxa20amtnsx,(2nstxa26接受域接受域置信区间置信区间)1()1(,)1()1(2122222nsnnsnaa22202221)1(aasSn检验统计量及其在检验统计量及其在H0为真时的分布为真时的分布枢轴量及其分布枢轴量及其分布原假设原假设 H0备择假设备择假设 H1待估参数待估参数s s 2 s s 02s s 2=s s 02s s 2(m m未知未知)1()1(22022nSns(m m未知未知)1()1(2222nSns
17、271 1假设检验的依据是什么？假设检验的依据是什么？答：假设检验的依据是“实际推断原理”，即“小概率事件在一次试验中几乎不可能发生”。282 2假设检验可能产生的两类错误是什么？假设检验可能产生的两类错误是什么？第一类错误：原假设为真但拒绝了原假设，称此类错误为“弃真”；(称为显著性检验问题)第二类错误：原假设为假但接受了原假设，称此类错误为“取伪”。293 3假设检验的一般步骤是什么？假设检验的一般步骤是什么？假设检验的一般步骤是 根据给定问题提出原假设和备择假设；选取适当的统计量，并在原假设成立的条件下确定其分布；给定显著性水平，确定检验的拒绝域和接受域；根据样本观察值计算统计量的观察值；做出判断。
