1、偏微分方程偏微分方程PARTIAL DIFFIERENTIAL EQUATION(P.D.E)2023-5-22行波法行波法波动方程的初值问题（一维）)(),()(),(,0 ),(0022222xtxtuxtxuRxttxfxuatutt（I）波动方程2023-5-23一维波动方程的定解问题无界弦的自由振动无界弦的强迫振动半无界弦的自由振动半无界弦的强迫振动三维波动方程的定解问题二维波动方程的定解问题球对称情形一般情形球面平均法行波法降维法有限弦的振动问题2023-5-241.无界弦的自由振动无界弦的自由振动)(),()(),(,0 ,0022222xtxtuxtxuRxtxuatutt特征
2、方程为0)(22 adtdx特征线为1catx1catx故作线性变换,atx atx 方程改写为02u2023-5-2502u022222xuatuatx atx uuxu22222222uuuxuuuatuuuatu222222222uuuatu2023-5-2602u)(*Fu)()()()(),(*GFGdFu)()(),(atxGatxFtxu此即为原方程的通解。利用初值条件确定函数 F，G)()0,(xxu)()()(xxGxF)()0,(xxut)()()(xxGxFadCxGxFaxx0)()()(其中 为任意一点，而C为积分常数，0 x2023-5-27)()()(xxGxFa
3、CdaxGxFxx0)(1)()(aCdaxxFxx2)(21)(21)(0aCdaxxGxx2)(21)(21)(0daatxatxtxuatxatx)(212)()(),(达朗贝尔公式2023-5-28daatxatxtxuatxatx)(212)()(),()()(21)()(21atxatxaatxatx把定解问题的解表示为左、右行进波相叠加的方法称为“行波法行波法”。2023-5-29例1：xuxuxuatuttt0022222,cos0daatxatxtxuatxatx)(212)()(),(解：由达朗贝尔公式daatxatxatxatx212)cos()cos(xtxatcosc
4、os2023-5-210例2：yuxuyxyxuxycos,12022解：yxyxu22)(2122xgyxxu)()(61),(23ypxhyxyxuyuxuxycos,120)()1()0()(61cos22yphpxhyyx)()1(61cos2yphyy)0()(2pxhx161cos)()(22yyxypxh161cos61),(2223yyxyxyxu2023-5-211例3：)0()0()(),(00022222xuxuxuatuatxatx)()(),(atxGatxFtxu)2()0()(xGFx)0()2()(GxFx)0()2()(FxxG)0()2()(GxxF)0()
5、0()2()2(),(GFatxatxtxu)0()2()2(atxatx2023-5-212物理意义)(),(atxFtxu)()0,(xFxu0t0tt)(),(00atxFtxuuxxtuOO),()0,(00tatxuxu)()(00atxFxF00atxx右传播波右传播波)(),(atxGtxu左传播波左传播波0 xatx 02023-5-213xO0 xatx 0)(xFu)(atxFuatxO0 xatx 0)(atxGu)(xGu at2023-5-214影响区域、依赖区域、决定区域波动是以一定的速度 a 向两个方向传播的。如果在初始时刻 t0，扰动仅仅在有限区间,21xx上存
6、在，则经过时间 t 后，扰动传到的范围为atxxatx211x2xxtatxx1atxx2影响区域定义定义：上式所定义的区域称为区间,21xx的影响区域。2023-5-215定义定义 区间,atxatx称为解在（x，t）的值的依赖区间。从达朗贝尔公式中可以看出，u(x,t)仅仅依赖于,atxatx中的初始条件。atxatxx依赖区间),(txt它是过（x，t）点，斜率分别为a1的直线与 x 轴所截而得到的区间（如右图）。daatxatxtxuatxatx)(212)()(),(2023-5-2161x2xxtatxx1atxx2定义定义,21xx区间过1x作斜率为a1的直线atxx1过2x作斜
7、率为的直线atxx2a1则 它们与区间,21xx一起围成的三角形区域中的任意一点(x,t)的依赖区间都落在区间,21xx内，因此该三角区域称为决定区域。决定区域。2023-5-2172.无界弦的强迫振动无界弦的强迫振动)(),()(),(,0 ),(0022222xtxtuxtxuRxttxfxuatutt)(),()(),(,0022222xtxtuxtxuxuatutt0),(0),(),(0022222tttxtutxutxfxuatu（I）（II）（III）2023-5-218叠加原理定解问题（I）的解),(txuI是定解问题（II）的解),(txuII),(txuIII与定解问题（I
8、II）的解之和。问题（II）的解可以用达朗贝尔公式来求解。故只须考虑求解问题（III）的解。我们利用齐次化原理来求解问题（III）的解。2023-5-219齐次化原理（Duhamel原理）0),(,0),(,0 ),(0022222tttxtutxuRxttxfxuatu),();,(,0);,(,22222xftxtwtxwRxtxwatwtt设);,(txw是（IV）的解，则dtxwtxut0);,(),(正是的解。（III）2023-5-220下面来求出（III）的解的表达式令,tt（IV）化为),();,(,0);,(,0 ,0022222xftxtwtxwRxtxwatwtt利用达朗
9、贝尔公式可得dfatxwt axt ax),(21);,(ddfaddfatxuGttaxtax),(21 ),(21),(0)()(于是有),(txG)(tax2023-5-221齐次化原理齐次化原理的证明需要用到参变量积分的求导uadxuxfu),()(),(),(uufdxuxfduduau2023-5-222dtxtwdtxtwttxwtxtutt00);,();,();,(),(dtxwtxut0);,(),(0)0,(xu0)0,(xtu),(),();,(),();,();,(),(222022202222txxuatxfdtxxwatxfdtxtwttxtwtxtutt2023
10、-5-223定解问题（I）的解),(),(),(txutxutxuIIIIIIdaatxatxatxatx)(212)()(ddfattaxtax 0)()(),(21一维非齐次波动方程的一维非齐次波动方程的 Kirchhoff 公式。公式。2023-5-224例5：xuxuxxuatuttt0022222,cossinxtxattxuIIcoscos),(由例2，cos1 sin1)(sinsin1)(cos()(cos(21sin21),(2000)()(atxadtaxadtaxtaxaddatxuttttaxtaxIII cos1 sin1coscos),(2atxaxtxattxu2
11、023-5-2253.半无界弦的自由振动半无界弦的自由振动)(),0()(),(),(),(0 ,0 ,0022222tgtuxtxtuxtxuxtxuatutt我们先考虑0)(tg情形，即一端 x=0 固定的振动。希望能利用达朗贝尔公式来求解daatxatxtxuatxatx)(212)()(),(2023-5-226为此，我们要作奇延拓（有时也作偶延拓）)0(),()0(),(),(xtxuxtxutxU)0()()0()()(xxxxx)0()()0()()(xxxxx)(),(),(),(,0 ,0022222xtxtUxtxUxtxUatUttdaatxatxtxUatxatx)(2
12、12)()(),(2023-5-227为了得到半无界问题的解，只须限制0 x当0,0atxx时，当0,0atxx时，daatxatxtxuatxatx)(212)()(),(daxatatxtxuatxxat)(212)()(),(当在 x=0处有一个自由端，即0),0(tux则需要作偶延拓。2023-5-228例03,20 t,0 ,00202222xtttuxuxuxxutu0,0txx当dtxtxtxutxtx)3(21)()(),(22xttx322220,0txx当dxttxtxutxxt)3(21)()(),(22xt72023-5-2294.半无界弦的强迫振动半无界弦的强迫振动0
13、),0(0),(,0),(0 ,0 ),(0022222tutxtutxuxttxfxuatutt)0(),()0(),(),(xtxuxtxutxU作奇延拓)0(),()0(),(),(xtxfxtxftxF0),(,0),(),(0022222tttxtUtxUtxFxUatU2023-5-230ddFatxUttaxtax 0)()(),(21),(考虑.0 xddfaddfataxttaxtaxaxttaxxta)()(0)()(),(21 ),(210)(taxaxt ddFaddFatxutaxttaxtaxaxttaxtax)()(0)()(),(21 ),(21),(2023-
14、5-2310),0()(),(),(),(0 ,0 ),(0022222tuxtxtuxtxuxttxfxuatuttdaatxatxatxatx)(212)()(),(txuddfattaxtax 0)()(),(210,0atxxdaxatatxatxxat)(212)()(ddfaddfataxttaxtaxaxttaxxta)()(0)()(),(21 ),(210,0atxx2023-5-232下面考虑0)(tg情形的半无界振动。)(),0()(),(),(),(0 ,0 ),(0022222tgtuxtxtuxtxuxttxfxuatutt作变换)(),(),(tgtxutxv 0
15、),0()0()(),(),0()(),(0 ,0 ),(),(0022222tvgxtxtvgxtxvxttgtxfxvatvtt2023-5-233例6：tAuuuxxuatuxtttsin00 t,0 ,00022222tAtxutxvsin),(),(令0,00 t,0 ,sin00022222xtttvAvvxtAxvatv2023-5-234dAaatxatx21),(txvddAattaxtax 0)()(sin210,0atxxdAaatxxat21ddAaddAataxttaxtaxaxttaxxta)()(0)()(sin21 sin210,0atxxtAsin0,0atx
16、x)sin(sinaxtAtA0,0atxxtAtxvtxusin),(),(00,0atxx)sin(axtA0,0atxx2023-5-235解法二：由于外力、初始位移以及初始速度均为零，所以弦振动时波传播只是受到边界点x0的影响而向x轴正向传播的右传播波。由此，解具有如下形式)(),(atxftxu根据边界条件确定任意函数 f：)(),0(sinatftutA令atat故)sin()(aAf2023-5-236)(),(atxftxu)sin(aatxA)sin(axtAaxt 规定，当 时axt 0),(txu2023-5-237例7：)(3,20 t,0 ,00202222tguxu
17、xuxxutuxttt)(),(),(tgtxutxv令 0)0(3),0(20 t,0 ),(00202222xtttvgxvgxvxtgxvtv2023-5-2380,0txx当dggtxtxtxvtxtx)0(3(21)0()()(),(22ddgttxtx 0)()()(21)0()()0()0(3)0(2222gtgtgtgxtgtx)(32222tgxttx0,0txx当dggxttxtxvtxxt)0(3(21)0()()(),(22ddgddgtxttxtxxttxxt )()(0)()()(21)(21)()()()0()()0(3)0(4xtgtgxtgxgxxtgxxgx
18、tgxt)()()0(7xtgtggxt2023-5-239)(),(),(tgtxvtxu0,0txx0,0txxxttx32222)()0(7xtggxt0)0(g注意2023-5-2406.三维波动方程的柯西问题),(),(,0 ,00222222222zyxtuzyxuRzyxtzuyuxuatutt222222zuyuxuu2023-5-241球对称情形球对称情形cossinsincossinrzryrx222222zuyuxuu222222sin1sinsin11ururrurrr所谓球对称是指u,与无关，则波动方程可化简为rurrratu222221rurruatu2222222
19、023-5-242rurruatu222222),(),(),(rturtuzyxtu)(),0(rru)(),0(rrut)()0,(tgtu0,0tr半无界问题2023-5-24322222)()(rruatru这是关于 v=r u 的一维半无界波动方程.rurruatu222222)(),0(rrrru)(),0(rrrrut0),(0rrtru0,0tr22222)(1rruratu2023-5-244一般情形我们利用球平均法。从物理上看，波具有球对称性。从数学上看，总希望把高维化为一维情形来处理，并设法化为可求通解的情况。所谓球平均法，即对空间任一点（x，y，z），考虑 u 在以（x
20、，y，z）为球心，r 为半径的球面上的平均值StrazrayraxurrtzyxurSd ),(41),(3212d ),(41200321 trazrayraxu其中,cossin1a,sinsin2acos3a为球的半径的方向余弦，,sinddd.sin22ddrdrdScossinsincossinrzryrx2023-5-245如把 x,y,z 看作参变量，则u是 r，t的函数，若能求出 ，再令u,0r则).,(),(lim0tzyxurtzyxur为此把波动方程的两边在以x，y，z为中心，r为半径的球体 内积分，并应用Gauss公式，可得rBddr d d d 11222222SSS
21、BBtturranuaSnuaVuaVurrr（*1）2023-5-246同时有d d d d 1022222SrBBttutVutVurr由（*1）(*2)可得dd d 11220222SSrurraut（*2）关于r 微分，得dd u1122222SSurrarrt（*3）利用球面平均值的定义，（*3）可写成rurratur22222（*4）2023-5-247（*4）又可改写为22222)()(ruratur22222)()(ruraturrurt 0rurtt 000rur0,0trd 41d 4112SSuSurur2023-5-248通解为).()(21atrfatrfur令 r
22、0，有).()(021atfatf).()()(21atfatfatfdef代入上式，得).()(ratfatrfur（*5）关于 r 微分，).()(ratfatrfruru再令 r 0，有).(2),(0atftzyxuur（*6）22222)()(ruratur2023-5-249接下来，求满足初值的解。对（*5）关于 t 微分，).()()(ratf aatrf atur（*7）（*6）和（*7）相加即得).(2)(1)(atrfturarur即0)(1)()(2tturarurrf把代入上式，得d 411Suu2023-5-2500d 41d 4)(211tSSurtaurrrf0d
23、 4d 411tSStuarurrd d 4111SSarrr2023-5-251从而有atrrftzyxu)(2),(atrSSarrrd d 4111d d 4111SStttStaStatMatMatSSd 41d 4122),(zyxM 2023-5-252atrSard 41atrStrazrayraxard ),(41321d ),(41321StatazatayataxtStattMatSd ),()(422023-5-253StaStattzyxuMatMatSSd 41d 41),(22 ddtatzatyatxttsin),cos,sinsin,cossin(41200Po
24、isson公式公式ddtatzatyatxtsin),cos,sinsin,cossin(4200 2023-5-2547.二维波动方程),(),(,0 ,002222222yxtuyxuRyxtyuxuatutt如果我们把上述问题中的初值视为),(),(yxzyx),(),(yxzyx重复推导Poisson公式的过程，将会发现所得Poisson公式中不含第三个变量。降维法：降维法：由高维波动方程的柯西问题的解来求解低维波动方程柯西问题的方法。由Hadamard最早提出的。2023-5-255d 41d 41),(22MatMatSStatattzyxu计算上述曲面积分。由于初始数据与第三个变
25、量无关，因此，在 上的球面积分可由在圆域MatS222)()()(:atyxMat上的积分得到。d 41d 412MatMatSSrataatr d 41d 41)()(MatMatSSrarad 141222Matradd )()()(),(21222Matyxata2023-5-256ddatyxaddatyxtatyxuatat 0202202022)()sin,cos(21 )()sin,cos(21),(dd )()()(),(21d 412222MatMatyxatataSddatyxaat 02022)()sin,cos(21因此2023-5-257物理意义惠更斯原理（无后效性现象）三维情形二维情形波的弥散（后效现象）2023-5-258作业：第一次P 54 Ex 5（2）Ex 6(2)Ex 8第二次 P 54 Ex 4 Ex 7(2)2023-5-2592sin2sin2coscosBABABA2cos2cos2coscosBABABA2sin2cos2sinsinBABABA2cos2sin2sinsinBABABA
