1、第十四章第十四章 轴对称轴对称图形复图形复习习课课如皋市新民初中如皋市新民初中初二数学备课组初二数学备课组一、知识概况一、知识概况 本章着重研究轴对称的概念，本章着重研究轴对称的概念，性质，轴对称的作图，应用，以及性质，轴对称的作图，应用，以及轴对称图形和几个常见的轴对称图轴对称图形和几个常见的轴对称图形的性质和判定。形的性质和判定。如果把一个图形沿着某一条直线折叠如果把一个图形沿着某一条直线折叠后，能够与另一个图形重合，那么这后，能够与另一个图形重合，那么这两个两个图形图形关于这条直线关于这条直线成轴对称成轴对称，这条直线叫，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称做对称轴，两个图形中
2、的对应点叫做对称点。点。如果把一个图形沿着一条直线折叠，如果把一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么直线两旁的部分能够互相重合，那么这个这个图形图形叫做叫做轴对称图形轴对称图形，这条直线叫做对称，这条直线叫做对称轴。轴。（一）轴对称和轴对称图形（一）轴对称和轴对称图形1 1、概念、概念2 2、轴对称的性质：、轴对称的性质：成轴对称的两个图形全等；如果两个成轴对称的两个图形全等；如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。的垂直平分线。（二）几个轴对称图形的性质：（二）几个轴对称图形的性质：1、线段、射线、直线。线段是轴对称图
3、形，它有两条对称轴，线段是轴对称图形，它有两条对称轴，它的对称轴是它所在的直线，和线段的垂它的对称轴是它所在的直线，和线段的垂直平分线。直平分线。线段垂直平分线上的点到线段两端的线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；到线段两端的距离相等的点在距离相等；到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。线段的垂直平分线上。2 2、角：、角：角是轴对称图形，它的对称轴是它角是轴对称图形，它的对称轴是它的角平分线所在的直线。的角平分线所在的直线。角平分线上的点到角的两边的距离角平分线上的点到角的两边的距离相等；到角的两边的距离相等的点在这相等；到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上。个角的平分线
4、上。3、等腰三角形等边三角形4 4、等腰梯形、等腰梯形从对称的角度理解等腰三角形和等腰梯形的性质和识别方法。5、正多边形、正多边形6、圆、圆二、重、难点剖析二、重、难点剖析1、轴对称和轴对称图形的区别和联系。、轴对称和轴对称图形的区别和联系。区别：区别：轴对称是指两个图形沿某直线对折能够完轴对称是指两个图形沿某直线对折能够完全重合，而轴对称图形是指一个图形的两个部全重合，而轴对称图形是指一个图形的两个部分沿某直线对折能完全重合。对称轴只有一条。分沿某直线对折能完全重合。对称轴只有一条。轴对称是反映两个图形的特殊位置、大小轴对称是反映两个图形的特殊位置、大小关系；轴对称图形是反映一个图形的特性。
5、对关系；轴对称图形是反映一个图形的特性。对称轴可能会有多条。称轴可能会有多条。联系：联系：两部分都完全重合，都有对称轴，都两部分都完全重合，都有对称轴，都有对称点。有对称点。如果把成轴对称的两个图形看成是一如果把成轴对称的两个图形看成是一个整体，这个整体就是一个轴对称图形；个整体，这个整体就是一个轴对称图形；如果把一个轴对称图形的两旁的部分看成如果把一个轴对称图形的两旁的部分看成两个图形，这两个部分图形就成轴对称。两个图形，这两个部分图形就成轴对称。2 2、轴对称的性质和几个简单的轴对称、轴对称的性质和几个简单的轴对称图形的性质，是这部分的重点知识，应引图形的性质，是这部分的重点知识，应引起足
6、够的重视。起足够的重视。3 3、轴对称的实际应用应提高到足够、轴对称的实际应用应提高到足够的地位。的地位。4 4、用对称的眼光看问题，解决问题，、用对称的眼光看问题，解决问题，指导辅助线的添加。指导辅助线的添加。例例1 1：如图，如果：如图，如果ACDACD的周长为的周长为17cm17cm，ABCABC的周长为的周长为25cm25cm，根据这些条件，根据这些条件，你可以求出哪条线段的长你可以求出哪条线段的长?EDCBA思路点拨思路点拨：（1）ACDACD的周长的周长AD AD CDCDACAC1717；（2 2）ABCABC的周长的周长ABABACACBCBC2525；（3）由DE是BC的垂直
7、平分线得：BDCD；所以ADCD ADBDAB。（4 4）由（）由（2 2）（）（1 1）得）得BCBC8cm.8cm.讲练平台讲练平台小结点评小结点评：（2 2）当条件中有线段的垂直平分线时，）当条件中有线段的垂直平分线时，要主动去寻找相等线段。要主动去寻找相等线段。（1 1）分析题意时，要将复杂条件简单化、）分析题意时，要将复杂条件简单化、具体化。具体化。例例2 2：如图，：如图，ADAD是是ABCABC的中线，的中线，ADCADC6060，把，把ADCADC沿直线沿直线ADAD折过来，折过来，C C落在落在CC的位置，的位置，（1 1）在图中找出点）在图中找出点CC，连结，连结BCBC；
8、（2 2）如果）如果BCBC4 4，求，求BCBC的长。的长。DCBA思路点拨思路点拨：由于翻折后的图形与翻折前的图形关由于翻折后的图形与翻折前的图形关于折痕对称；所以于折痕对称；所以C C、CC关于直线关于直线ADAD对称，对称，ADAD垂直平分垂直平分CCCC，DCBAC 又处于对称位置的元素（线段、角）又处于对称位置的元素（线段、角）对应相等，这为问题解决提供了条件。对应相等，这为问题解决提供了条件。DCBAC 解：解：（1 1）画）画COCO垂直垂直ABAB，并延，并延长到长到CC，使得，使得OCOCOCOC，点点CC即为所求。即为所求。O（2 2）连结）连结C CD D，由对称性得，
9、由对称性得CDCDCDCD，CDACDACDACDA6060；所以；所以BDCBDC6060，所以，所以，CBD是等边三角形，是等边三角形，所以，所以，BCBD2。DCBAC 小结点评小结点评：1 1、翻折变换后得到的图、翻折变换后得到的图形与原图形关于折痕对称；对形与原图形关于折痕对称；对应点的连线段被折痕垂直平分；应点的连线段被折痕垂直平分；2 2、解决翻折问题，要注意隐含在图形中的相、解决翻折问题，要注意隐含在图形中的相等线段、相等角，全等三角形；因为一切处于对等线段、相等角，全等三角形；因为一切处于对称位置的线段相等，角相等，三角形全等。称位置的线段相等，角相等，三角形全等。3 3、从
10、对称角度完善图形，让隐含条件显现、从对称角度完善图形，让隐含条件显现出来，这是这部分题目添加辅助线的一个重要规出来，这是这部分题目添加辅助线的一个重要规律。律。练习练习1 1将一正方形纸片按图中将一正方形纸片按图中、的方的方式依次对折后，再沿式依次对折后，再沿中的虚线裁剪，最后中的虚线裁剪，最后将将中的纸片打开铺平，所得图案应该是下中的纸片打开铺平，所得图案应该是下面图案中的面图案中的()()课堂练习课堂练习 A B C D A B C D小结点评：小结点评：这类问题主要训练空间想象能力。这类问题主要训练空间想象能力。我们可以实际操作，也可以倒推，还可我们可以实际操作，也可以倒推，还可以在头脑
11、中进行思维实验，不过后者能以在头脑中进行思维实验，不过后者能力的要求比较高。力的要求比较高。例例3 3如图，如图，ABCABC和和ABCABC关于关于直线直线MNMN对称，对称，ABC和和ABC关于直线关于直线EF对称。对称。（1 1）画出直线）画出直线EFEF；思路点拨思路点拨：由于连结对称点的线由于连结对称点的线段被对称轴垂直平分，所段被对称轴垂直平分，所以连结对称点的线段，作以连结对称点的线段，作其垂直平分线，即为两个其垂直平分线，即为两个图形的对称轴。图形的对称轴。（2 2）直线）直线MNMN与与EFEF相交于点相交于点O O，试探究，试探究BOBBOB与直线与直线MNMN、EFEF所
12、夹锐角所夹锐角的的数量关系。数量关系。思路点拨思路点拨：OEF 从对称角度来看，从对称角度来看，连结连结OBOB、OB”OB”的对称的对称线段线段OBOB，可以得到，可以得到两组角相等，问题容两组角相等，问题容易得到解决。易得到解决。结结BOBO。ABCABC和和ABCABC关于关于MNMN对称，对称，BOM=BOMBOM=BOM又又ABCABC和和ABCABC关于关于EFEF对对称，称，BOEBOEBOEBOE。BOB=BOM+BOM+BOE+BOEBOB=BOM+BOM+BOE+BOE =2 =2（BOMBOMBOEBOE）22。即即BOBBOB22解：（1）如图，连结BB。作线段BB的垂
13、直平分线EF。则直线EF是ABC和ABC的对称轴。OEF小结点评：小结点评：（1 1）作两个成对称图形的对称轴，只需）作两个成对称图形的对称轴，只需将对称点的垂直平分线作出即可。将对称点的垂直平分线作出即可。（2 2）成轴对称的两个图形的对应元素相）成轴对称的两个图形的对应元素相等是解题的关键。等是解题的关键。（3 3）补全对称图形中所缺的部分，是添）补全对称图形中所缺的部分，是添加辅助线的重要思考方向。加辅助线的重要思考方向。例例4 4：如下图，由小正方形组成的：如下图，由小正方形组成的L L形图中，形图中，请你用三种方法分别在下图中添画一个小正请你用三种方法分别在下图中添画一个小正方形使它
14、成为一个轴对称图形：方形使它成为一个轴对称图形：小结点评：小结点评：设计图案问题，要注意设计的要求，设计图案问题，要注意设计的要求，注意从多个角度思考问题，本题中的对注意从多个角度思考问题，本题中的对称轴的位置可以是水平的，也可以是竖称轴的位置可以是水平的，也可以是竖直的，还可以是斜的，特别是后者，我直的，还可以是斜的，特别是后者，我们常常容易忽视。们常常容易忽视。做完这类题目，还要注意检验，看做完这类题目，还要注意检验，看是否符合题目的全部要求。是否符合题目的全部要求。练习练习2 2如图，在一个规格为如图，在一个规格为4 48 8的球台上，的球台上，有两个小球有两个小球P P和和Q Q。若击
15、打小球。若击打小球P P经过球台的经过球台的边边ABAB反弹后，恰好击中小球反弹后，恰好击中小球Q Q，则小球，则小球P P击击出时，应瞄准出时，应瞄准ABAB边上的（边上的（）A A、O O1 1点点 B B、O O2 2点点 C C、O O3 3点点 D D、O O4 4点点B B例例5 5、已知：如图，、已知：如图，CDCD是是RtABCRtABC斜边上的斜边上的高，高，AA的平分线的平分线AEAE交交CDCD于点于点F F。求证：。求证：CECECFCF。E A C B F D思路点拨思路点拨：E A C B F D思路思路1 1：（1 1）从结论出发：）从结论出发：要得到要得到CEC
16、ECFCF，只要有，只要有CEFCEFCFECFE；（2 2）从条件出发：）从条件出发：条件有：条件有：CAFCAFBAFBAF；CDABCDAB；ACBACB9090。图3图2图1ABCDABCFFEDCBA（3）从图形出发：CAFCAFBAFBAFACDACDBB CDAB CDABACBACB9090CAFACDBAFBCEFCEFCFECFECECECFCFFEDCBAABCDEFG思路思路2 2：因为图形中有角平分线，且因为图形中有角平分线，且FCACFCAC，考虑用角平分线的性质，补全所缺的部分，考虑用角平分线的性质，补全所缺的部分，过过F F作作FGABFGAB。小结点评：小结点评：1 1、对于复杂的推理问题，学会分析、对于复杂的推理问题，学会分析方法很重要。一般可以从结论出发倒推方法很重要。一般可以从结论出发倒推（分析法），可以从条件出发顺推（综（分析法），可以从条件出发顺推（综合法），也可以从两头同时出发（两头合法），也可以从两头同时出发（两头凑）寻找解题途径。凑）寻找解题途径。2 2、分析图形，是解题的关键。其、分析图形，是解题的关键。其实质是分解图形，重新组合图形，挖实质是分解图形，重新组合图形，挖掘图形和题目中的隐含条件。掘图形和题目中的隐含条件。自主探究享受学习
