1、第四节第四节 典型机械系统的建模典型机械系统的建模 机械系统遍及工程技术和社会各个领域，除机械设备机械系统遍及工程技术和社会各个领域，除机械设备与装置外，还是构成其他复杂系统的基础和基本环节，如与装置外，还是构成其他复杂系统的基础和基本环节，如控制系统地执行机构、飞机舵面传动装置、导弹发射架、控制系统地执行机构、飞机舵面传动装置、导弹发射架、飞行模拟器的运动平台等。飞行模拟器的运动平台等。这些系统建模目标多是建立选定参考坐标系下的系统运动这些系统建模目标多是建立选定参考坐标系下的系统运动方程和动力学方程，属于方程和动力学方程，属于“白箱白箱”问题。问题。因此，采用的建模方法不外乎是机理分析法或
2、图解法，对因此，采用的建模方法不外乎是机理分析法或图解法，对复杂的机械系统还可能应用辨识方法。在建模中，主要将复杂的机械系统还可能应用辨识方法。在建模中，主要将利用牛顿力学定律、拉格朗日函数，并结合能量守恒原理利用牛顿力学定律、拉格朗日函数，并结合能量守恒原理及有关近似理论等。尤其拉格朗日方程的应用是很重要的。及有关近似理论等。尤其拉格朗日方程的应用是很重要的。一、机械系统中的几个重要力学模型一、机械系统中的几个重要力学模型 1、空间任意力系的平衡方程、空间任意力系的平衡方程 由理论力学可知，空间任意力系平衡的必由理论力学可知，空间任意力系平衡的必要和充分条件是：力系中所有各力在三坐标要和充分
3、条件是：力系中所有各力在三坐标轴中每一轴上的投影和分别等于零，又这些轴中每一轴上的投影和分别等于零，又这些力对于这些轴的力矩的代数和也分别等于零。力对于这些轴的力矩的代数和也分别等于零。其数学表达式为其数学表达式为 0)(,0)(,0)(0 ,0 ,0FmFmFmFFFozoyoxzyx 2、牛顿第二定律数学表达式、牛顿第二定律数学表达式 牛顿第二定律告诉我们，物体受外力作用时，牛顿第二定律告诉我们，物体受外力作用时，所获得的加速度大小与合力大小成正比，与物体所获得的加速度大小与合力大小成正比，与物体的质量成反比，加速度的方向与合外力的方向相的质量成反比，加速度的方向与合外力的方向相同。同。其
4、数学表达式为其数学表达式为 )2()(.2.2.2222 rrmFrrmFdtzdmFdtydmFdtxdmFdtdvmdtsdmmaFrzyx在极坐标系中有在极坐标系中有在直角坐标系下有在直角坐标系下有例例 测量转动惯量实验装置测量转动惯量实验装置 如右如右图一个转动物体，它的质量为图一个转动物体，它的质量为m,由两根垂直的绳索（无弹性）挂由两根垂直的绳索（无弹性）挂起，每根绳索的长度为起，每根绳索的长度为h，绳索相，绳索相距为距为2a。重心位于通过连接绳索。重心位于通过连接绳索两点的中点的垂线上，假设物体两点的中点的垂线上，假设物体绕通过重心的垂直轴转一个小的绕通过重心的垂直轴转一个小的角
5、度，然后释放。角度，然后释放。求摆动周期求摆动周期T，物体通过重心的垂直轴转的转动物体通过重心的垂直轴转的转动惯量惯量J。h2mgF 2mg mg 2mg2mgF a2 假设假设物体绕通过重心的垂直轴转一个小物体绕通过重心的垂直轴转一个小的角度的角度 时，夹角时，夹角 和夹角和夹角 间存在下列间存在下列关系关系 ha 因此因此ha 注意，每根绳索的受力注意，每根绳索的受力F 的垂直分量的垂直分量等于等于mg/2。F 的的水平分量为水平分量为 mg/2。两根绳。两根绳索的索的F 的的水平分量产生扭矩水平分量产生扭矩mga 使物体使物体转动。因此，摆动的运动方程为转动。因此，摆动的运动方程为ham
6、gamgJ 2.或写成或写成02.JhmgaJ由此求得由此求得摆动周期摆动周期为为JhmgaT22 得到得到转动惯量转动惯量JhmgaTJ223、能量法推导运动方程、能量法推导运动方程（1）功、能、功率）功、能、功率 如果如果力力被认为是努力的度量，那么被认为是努力的度量，那么功功就是成就的就是成就的度量，而度量，而能量能量就是做功的能力。功的概念没有考虑时就是做功的能力。功的概念没有考虑时间的因素，就要引入间的因素，就要引入功率功率的概念。的概念。功功 机械系统中的功等于机械系统中的功等于力与力作用的距离力与力作用的距离的乘的乘积（或力矩与角位移的乘积），力与距离要在积（或力矩与角位移的乘积
7、），力与距离要在同一方向上度量。同一方向上度量。设力设力 F 作用于作用于 a 至至 b 连接路径中运动的质点连接路径中运动的质点 m 上，那么上，那么 F 所作的功可一般描述为所作的功可一般描述为)(dzFdyFdxFFdsWzybaxba 能量能量 一般情况下，能量可以定义为做功的能一般情况下，能量可以定义为做功的能力。机械系统中能有力。机械系统中能有势能势能和和动能动能两种形式。两种形式。功率功率是做功的速率，即：是做功的速率，即：dW 表示在表示在dt 时间间隔内所作的功。时间间隔内所作的功。tWPdd 功率功率（2）能量法推导运动方程）能量法推导运动方程 能量法推导运动方程的根本就是
8、能量守恒定律。如果系能量法推导运动方程的根本就是能量守恒定律。如果系统没有能量输入和输出，我们从系统总能量保持相等这一事统没有能量输入和输出，我们从系统总能量保持相等这一事实出发来推导运动方程。实出发来推导运动方程。例例 如右图表示一个半径为如右图表示一个半径为R、质量为、质量为m的均质的均质圆柱体，它可以绕其转轴自由转动并通过一圆柱体，它可以绕其转轴自由转动并通过一个弹簧与墙壁连接。假设圆柱体纯滚动而无个弹簧与墙壁连接。假设圆柱体纯滚动而无滑动，滑动，求系统的动能和势能并导出系统运动求系统的动能和势能并导出系统运动方程。方程。kRx 圆柱体的动能等于圆柱体的动能等于质心移动动能和绕质心质心移
9、动动能和绕质心转动的动能转动的动能之和。之和。.2 .22121 JxmT 动能动能 系统由于弹簧变形所产生的势能为系统由于弹簧变形所产生的势能为221kxU 势能势能 系统总能量为系统总能量为2 .2 .2212121kxJxmUT 考虑到圆柱体做无滑动的滚动，因此，考虑到圆柱体做无滑动的滚动，因此，。并且注意到。并且注意到转动惯量转动惯量 J 等于等于 ，我们得到，我们得到 Rx 221mR2 .22143kxxmUT 考虑到考虑到能量守恒定律能量守恒定律，总能量为常数，即，总能量为常数，即总能量导数为零总能量导数为零，得到得到 0 23 23dd.xkxxmxkxxxmtUT 注意到，注
10、意到，并不总为并不总为0，因此，因此 必须恒等于必须恒等于0，即，即.xkxxm.23032 0 23.xmkxkxxm或或 如果将以上方程转为转动运动，只要把如果将以上方程转为转动运动，只要把 代入得到代入得到 Rx 032.mk4、拉格朗日方程（多自由度系统）、拉格朗日方程（多自由度系统）将将 作为作为n个自由度系统的一套广义坐标，系统的运个自由度系统的一套广义坐标，系统的运动由动由n个微分方程表示，其中广义坐标是因变量，时间为自变量。个微分方程表示，其中广义坐标是因变量，时间为自变量。令令 作为系统在任意瞬时的势能；作为系统在任意瞬时的势能；令令 作为系统在同一瞬时的动能；作为系统在同一
11、瞬时的动能；拉格朗日函数拉格朗日函数 定义为定义为niQxLxLtiii,2,1 ,)(dd.nxxx,21 ),(21nxxxV ),(.2.1.21nnxxxxxxT ),(.2.1.21nnxxxxxxL VTL 设广义坐标是独立的，令设广义坐标是独立的，令 是广义坐标的变分，是广义坐标的变分，非保守力（外力和摩擦力等）在广义坐标上的虚功可以写成非保守力（外力和摩擦力等）在广义坐标上的虚功可以写成nxxx ,21 iniixQW 1拉格朗日方程为拉格朗日方程为应用实例应用实例 有一质量有一质量-弹簧弹簧-阻尼系统如图所示，试建立该系统的阻尼系统如图所示，试建立该系统的数学模型。数学模型。
12、1c1k1M2c2k2M1y2yf解解:选择选择y1，y2为广义坐标系，为广义坐标系，其系统动能和势能分别为其系统动能和势能分别为)(dd)(dd)(21212121 )(212121211.2.222.1.2.21.111.212221.222.211212221.222.21111yycfyLyLtyycycyLyLtyykykyMyMVTLyykykVyMyMT ；拉格朗日方程拉格朗日方程拉格朗日函数拉格朗日函数 21222212222121.22122.21.2.222221212.21.21.2111.2.2122.2221.2.21.112211.211 0 00 0)()()()
13、()()(yyYfFkkkkkKcccccCMMMFKYYCYMfykykycycyMykykkycyccyMyycfyykyMyycycyykykyM其其中中：矩矩阵阵形形式式：转转换换得得型型直直接接得得到到系系统统的的数数学学模模由由上上述述拉拉格格朗朗日日方方程程可可应用实例应用实例 某行星滚动机构中有一质量为某行星滚动机构中有一质量为m，半径为，半径为 r 的实心圆柱在半径的实心圆柱在半径为为R，质量为，质量为M的圆筒内的圆筒内无滑动地滚动无滑动地滚动。已知圆柱和圆筒对轴心。已知圆柱和圆筒对轴心O的转动惯量分别为的转动惯量分别为 ，建立圆筒绕其轴心转动时，该系，建立圆筒绕其轴心转动时
14、，该系统运动数学模型。统运动数学模型。分析：该系统为两自由度系统。取广义坐标分别为圆筒转角分析：该系统为两自由度系统。取广义坐标分别为圆筒转角和圆柱轴心偏离角和圆柱轴心偏离角 。由于圆柱与圆筒间的运动是无滑动滚动运动，由于圆柱与圆筒间的运动是无滑动滚动运动，故在接触点故在接触点A处它们具有相同的线速度：处它们具有相同的线速度：。系统动能系统动能T为圆柱滚动和圆筒转动所具有的动能为圆柱滚动和圆筒转动所具有的动能22,21MRmrrrRRvA .)(2.22.2222.22.22)(4)(21241)(212 RrRmrRmMRmrrRmMRT Mg.ROAOr 系统的动力为重力，圆筒的势能等于零
15、，则系统的势能为系统的动力为重力，圆筒的势能等于零，则系统的势能为 cos)(rRmgV 于是有拉格朗日函数于是有拉格朗日函数 cos)()(4)(2122.22.22rRmgRrRmrRmMRVTL 代入拉格朗日方程有代入拉格朗日方程有 0sin2)(30)()2(.gRrRrRmRmM 即为该行星滚动机构的运动数学模型。即为该行星滚动机构的运动数学模型。应用实例应用实例 用拉格朗日方程建立图示系统用拉格朗日方程建立图示系统运动的微分方程，用运动的微分方程，用1、2和和x作为作为广义坐标，以矩阵的形式写出微分广义坐标，以矩阵的形式写出微分方程方程(不考虑重力场作用不考虑重力场作用)。解：系统
16、在任意时刻的动能为解：系统在任意时刻的动能为 2222211212121xmIIT 系统在同一时刻的势能为系统在同一时刻的势能为22121)22(321)(21 rrkrxkV 拉格朗日函数为拉格朗日函数为VTL 利用拉格朗日方程可得利用拉格朗日方程可得01213 02212.1111.krxkrkrILLdtd 01212 0212.222.2 krkrILLdtd 00000121212130000000 0212222.2.1211.xkkrkrkrkrkrkrxmIIkxkrxmxLxLdtd 以矩阵的形式写出为以矩阵的形式写出为第五节第五节 电气系统的数学模型电气系统的数学模型 电气
17、系统在工程中占有相当重要的地位，使构成一切现代系统电气系统在工程中占有相当重要的地位，使构成一切现代系统的必备环节。该系统问题基本属于白箱问题，其数学建模目标也自的必备环节。该系统问题基本属于白箱问题，其数学建模目标也自然是很明确的。然是很明确的。一、电路系统基本定律的数学表达式一、电路系统基本定律的数学表达式 1、基尔霍夫（柯希霍夫）第一定律：电压定律、基尔霍夫（柯希霍夫）第一定律：电压定律 2、基尔霍夫（柯希霍夫）第二定律：电流定律、基尔霍夫（柯希霍夫）第二定律：电流定律 二、电子网络的广义拉格朗日方程及应用二、电子网络的广义拉格朗日方程及应用 若在电子网络中选择电荷量若在电子网络中选择电
18、荷量Qi 作为广义坐标。这时作为广义坐标。这时 和和 将将分别为广义速度和加速度。分别为广义速度和加速度。对于电子系统（具有对于电子系统（具有S个线圈）的磁能个线圈）的磁能(动能动能)可以表示为可以表示为.iQ.iQ线圈互感线圈互感，式中式中 ijsjijiijeLQQLT 2111.系统的势能一般是能源（电池、发电机等）和电容上储存的电系统的势能一般是能源（电池、发电机等）和电容上储存的电荷能量产生的。若荷能量产生的。若E是电压源，则施加给系统的能量为是电压源，则施加给系统的能量为-EQ（Q为电为电源产生的电荷量）。这时，系统的总势能为源产生的电荷量）。这时，系统的总势能为jmjiliieQ
19、ECQVi 11221 系统的广义力系统的广义力 包括来自上式的包括来自上式的“保守力保守力”和电和电阻产生的消散力阻产生的消散力 。电流。电流 流过流过Ri 时所做的虚功为时所做的虚功为，总虚功为，总虚功为iQFieQV /riFQ)(iiiQQR eeeniiiiVTLQQRW 1.拉格朗日函数为拉格朗日函数为 类似机械系统我们可得到单纯电子网络的拉格朗日方程类似机械系统我们可得到单纯电子网络的拉格朗日方程riieieFQQLQLdtd)()(.iQ.实例实例1 建立如图所示系统的数学模型。建立如图所示系统的数学模型。1R2R1C2C1u2u222122211121020102011)(1
20、1)(1udtiCdtiiCRidtiCuRidtiiCtttttttt 解解 系统输入量为系统输入量为u1，输出量为，输出量为u2；按照基尔霍夫定律，分别列出运动按照基尔霍夫定律，分别列出运动方程方程消去中间变量消去中间变量i1，i2，整理得到系统方程，整理得到系统方程12.2212211.22211)(uuuCRCRCRuCRCR 实例实例2 2 建立如图所示系统的电子网络的数学模型建立如图所示系统的电子网络的数学模型 解解 分析知，该系统具有两个自由度（因为分析知，该系统具有两个自由度（因为Q1=Q2+Q3）。其动能）。其动能为（假定线圈间存在互感，并消去为（假定线圈间存在互感，并消去Q
21、3）1.Q3.Q2.Q1R11L1C1E2R22L2C2E3R33L3C3E.2.123133312.22233322.21133311.2.1.223.2.1.113.2.1122.2.133.2222.2111)()2(21)2(21)(2)(22)(21QQLLLLQLLLQLLLQQQLQQQLQQLQQLQLQLTe 系统势能为系统势能为)()(2121322113221222121QQEQEQECQQCQCQVe 系统的非保守力（消散力）为系统的非保守力（消散力）为1.312.31)()(QRRQRFQr 2.322.32)()(QRRQRFQr eeeVTL 拉格朗日函数为拉格朗日函数为拉格朗日方程为拉格朗日方程为)2,1()()(.iFQQLQLdtdriieie22.321.311.312.333.322.211.1)()()(QQRRQRQQRRQRQQRQQRQQRW 23211321322322131)()(1)11(21)11(21QEEQEEQQCQCCQCCVe 总虚功为总虚功为
