1、向量的内积、外积、向量的内积、外积、混和积混和积 1向量的内积向量的内积 向量是一个具有很强的物理背景的概念，尤向量是一个具有很强的物理背景的概念，尤其在流体力学、电磁场理论等中有很多的应用，其在流体力学、电磁场理论等中有很多的应用，要利用向量及其运算来反映诸多物理现象中量的要利用向量及其运算来反映诸多物理现象中量的关系，仅仅只有向量的线性运算就远远不够了，关系，仅仅只有向量的线性运算就远远不够了，还要不断充实向量的运算。这一节先引入向量的还要不断充实向量的运算。这一节先引入向量的一种乘法。一种乘法。2例例:物体放在光滑水平面上，设力物体放在光滑水平面上，设力F以与水平线成以与水平线成角的方向
2、作用于角的方向作用于物体上，物体产生位移物体上，物体产生位移S，求力，求力F所作的功。所作的功。于是功于是功W为为:W=|F|cos|S|=|F|S|cos 为反映这一类物理现象，引入向量的内积。为反映这一类物理现象，引入向量的内积。FS 解解:根据物理知识，根据物理知识，F 可以分解成水平方向分力可以分解成水平方向分力和垂直方向分力和垂直方向分力 。其中只有与位移平行的分力。其中只有与位移平行的分力 作功，而作功，而 不作功。不作功。xFyFxFyF3根据内积的定义，上例中的功可写作：根据内积的定义，上例中的功可写作：SFW 内积及其运算规律内积及其运算规律 定义定义 两个向量两个向量与与的
3、的内积是一个数内积是一个数，它等于，它等于这两个向量的长度与它们夹角这两个向量的长度与它们夹角=(，)余弦的乘余弦的乘积，记为积，记为 ，),(0其其中中 cos 即有即有4(1)02 向量的向量的内积内积又称为又称为点积点积或或数量积数量积00 且且 (3)0(2)()()(kkk(4)(5)注：注：向量内积不满足结合律向量内积不满足结合律 )()(具有以下性质：具有以下性质：5例：例：用向量证明余弦定理用向量证明余弦定理ACB证明：证明：ABCACBABC，设设中，中，在在 于是于是 2 因而，因而，)()(222 ),cos(222 cos2222BCACBCACAB 即即6例：例：证明
4、：直径所对应的圆周角为直角证明：直径所对应的圆周角为直角.ABCO证明：证明：,OCAOCBCA，设设,OB那么那么 ,且且)()(因此因此 22 0 所以所以CBCA 即即7例：例：)()(垂直于向量垂直于向量证明向量证明向量证明：证明：)()()()()()(0 8221212121221212121221kzzkjzykizxjkyzjyyjiyxikxzijxyixx 内积的坐标表示内积的坐标表示,1,1,1222222 kkjjii212121zzyyxx )()(222111kzjyixkzjyix 222111,zyxzyx ，对任意向量对任意向量(1)212121zzyyxx
5、证：证：0 ikkjji9212121zyx 2121212zyx (2)222222212121212121),cos(zyxzyxzzyyxx cos (3)10向量的外积向量的外积 上一节讨论了向量的一种乘法：两个向量上一节讨论了向量的一种乘法：两个向量的内积，其运算结果是一个数。为了反映另一的内积，其运算结果是一个数。为了反映另一物理现象，本节引入了两个向量的另一种乘法，物理现象，本节引入了两个向量的另一种乘法，叫做叫做外积外积，它的，它的运算结果是一个向量运算结果是一个向量。11定义定义 两个向量两个向量与与的的外积外积是一个向量是一个向量1.外积及其运算规律外积及其运算规律的方向与
6、的方向与，均垂直，且使均垂直，且使，成右手系成右手系(2)(1)的模是以的模是以，为边的平行四边形的为边的平行四边形的面积，面积，满足满足 注注：的几何意义的几何意义即是即是 )1(,sin即：即：12外积外积又叫又叫叉积叉积或或向量积向量积，具有以下性质：，具有以下性质：)()()()4(kkk0)1()()()5()3(/0)2(（反交换律）（反交换律）132.外积的应用外积的应用(1)用向量积来求平行四边形及三角形面积用向量积来求平行四边形及三角形面积(2)用向量积来求点到直线的距离用向量积来求点到直线的距离(3)用向量积来求证两个向量共线用向量积来求证两个向量共线14例例:已知已知，不
7、共线不共线，当，当k取何值时，向量取何值时，向量k+9与与4+k共线共线。解：解：又又 ，因为因为，不平行，不平行，故有故有 ，0362 k据题设据题设 （k+9）（4+k）k4kk94+9k即即0)36(2 k因而因而所以所以 即即 k=6 15例：例：.共线共线与与证明：证明：，若若 证明：证明：)()(0 所以，所以，.共线共线与与 16例：例：，求，求，均为非零向量，且均为非零向量，且,解：解：两两垂直两两垂直由题设知由题设知 ,且且2 故故112 ，即，即所以所以1 同理同理3 故故17外积的坐标表示外积的坐标表示由定义直接可以得到由定义直接可以得到:0 kkjjiijikikjkj
8、i ,),(),(222111zyxzyx 设设18),(),(222111zyxzyx kxyyxjzxxziyzzy)()()(212121212121 222111zyxzyxkji)()(222111kzjyixkzjyix kyxyxjxzxzizyzy221122112211 kyxyxjzxzxizyzy221122112211 因此因此:222111zyxzyxkji （自己算）（自己算）19200021kji.2)2(kji 求求例：例：解法一：解法一：kji2)2(ij42 解法二：解法二：kjki 42kji2)2(kji002120012002 ji24 20解：解：构
9、造向量构造向量 ，)4,2,2(),2,2,1(ACAB以以AB，AC为边的平行四边形面积为边的平行四边形面积2222812|ACAB所以三角形所以三角形ABC的面积是的面积是 53|21 ACAB例例:求以求以 ，为顶点的三为顶点的三 角形角形ABC的面积的面积.)3,2,1(A)5,0,2(B)1,0,3(C422221 kjiACAB那么那么kji2812 532 21例例：求与求与 垂直的单位向量。垂直的单位向量。)4,0,3(),1,3,2(解解：403132 kji 设设 ，|1 可见可见是与是与同方向的单位向量，同方向的单位向量，因此，与因此，与及及都垂直的单位向量是都垂直的单位
10、向量是)9512(1051kji 设设=，则则与与及及都垂直，都垂直，则有则有kji9512 1059)5()12(222 而而22向量的混合积向量的混合积 混合积的定义混合积的定义定义定义 三个向量三个向量，的的混合积混合积是一个数，它等是一个数，它等于向量于向量，先作向量积，然后再与先作向量积，然后再与作数量积，作数量积，记作记作(，)即即 (，)=()23混合积的几何意义混合积的几何意义积积为为棱棱的的平平行行六六面面体体的的体体，表表示示以以 )()(),cos(V 注注：)(2)(2VV成左手系，成左手系，时，时，成右手系，成右手系，时，时，),cos(24混合积的性质混合积的性质共
11、共面面 ,0)()1()()()()2(注注：始终保持同一转向始终保持同一转向，中，中，性质性质 )2(25定理定理：三个向量三个向量，共面的充要条件是共面的充要条件是 ()=0.证证:当当时时,=,0当当不平行不平行时，时，必要性必要性如若如若，共面共面自然有自然有()=0垂直于垂直于，所在的平面，所在的平面，因而因而，仍有，仍有()=0。26充分性充分性当当=0时，时，有有，如若如若()=0 有有，故故，共面；共面；当当 0时，时，从而从而，共面。共面。又因又因亦垂直于亦垂直于及及，27例：例：.0共面共面，证明：证明：证明：证明：)()()()(0.共面共面，因而因而 28例：例：)()
12、()(2)(求求，已知已知)()()(解：解：)()()()()()()()()()()()()(2 )()(4 29例：例：.0)()()(,.321321共线共线，证明：证明：使得使得若存在不全为零的实数若存在不全为零的实数为非零向量为非零向量，设设 kkkkkk证明：证明：01 k不妨设不妨设)()()(1312 kkkk则则 )()(1312kkkk0 共面共面，故故 .共线共线，因而因而 那么那么 )(30混合积的坐标表示混合积的坐标表示 )()(333221122112211kzjyixkyxyxjzxzxizyzy 322113221132211zyxyxyzxzxxzyzy 3
13、33222111zyxzyxzyx 注：注：0,0)(,即即共面共面三个向量三个向量 333222111,zyxzyxzyx ，设设31分析分析:所以，所以，D-ABC的体积的体积 可用混合积求可用混合积求出。出。ABCDV 例例:求以求以 ，)2,0,0(A)2,1,4(D为顶点的四面体的体积。为顶点的四面体的体积。)5,0,3(B，)0,1,1(C，以以AB，AC，AD为棱的平行六面体的体积为棱的平行六面体的体积是以三角形是以三角形ABC为底面，为底面，AD为棱的三棱柱体为棱的三棱柱体积的积的2倍，而四面体的体积是三棱柱体积的三倍，而四面体的体积是三棱柱体积的三分之一。分之一。32所以所以
14、21361 ABCDV),0,1,4(),2,1,1(),3,0,3(ADACAB解解：构造向量构造向量014211303)(ADACAB以以AB，AC，AD为棱的平行六面体的体积为为棱的平行六面体的体积为3 33三向量的双重外积三向量的双重外积定义：定义：)(性质：性质：)()()(34例：例：2222)()(证明证明证明一：证明一：),(sin),sin()(22222 ),(cos),cos()(22222 2222)()(故有故有由定义由定义证明二：证明二：)()()(2 )()()()()(222)(2222)()(移项可得移项可得35例：例：)()(证明证明)()(证明：证明：)()()()()()()(36
