1、函数复习专题分段函数的相关问题 例例1.小英早上从家里骑车上学，小英早上从家里骑车上学，途中想到社会实践调查资料忘带途中想到社会实践调查资料忘带了，立刻原路返回，返家途中遇了，立刻原路返回，返家途中遇到给她送资料的妈妈，接过资料到给她送资料的妈妈，接过资料后，小英加速向学校赶去，能反后，小英加速向学校赶去，能反映她离家距离映她离家距离s与骑车时间与骑车时间t的函的函数关系图象大致是数关系图象大致是()ABCDDstststst例例2.2.均匀地向一个如图所示的容器均匀地向一个如图所示的容器中注水，最后把容器注满，在注水中注水，最后把容器注满，在注水过程中水面高度随时间变化的函数过程中水面高度随
2、时间变化的函数图象大致是（）图象大致是（）OthOthOthOthA例例3.如图，已知某容器都是由上下两个相如图，已知某容器都是由上下两个相同的圆锥和中间一个与圆锥同底等高的圆同的圆锥和中间一个与圆锥同底等高的圆柱组合而成，若往此容器中注水，设注入柱组合而成，若往此容器中注水，设注入水的体积为水的体积为y，高度为，高度为x，则，则y关于关于x的函数的函数图象大致是（）图象大致是（）ABCDA例例4.如图，点如图，点P是以是以O为圆心，为圆心，AB为直为直径的半圆上的动点，径的半圆上的动点，AB=2设弦设弦AP的的长为长为x，APO的面积为的面积为y，则下列图象，则下列图象中，能表示中，能表示y
3、与与x的函数关系的图象大致的函数关系的图象大致是（）是（）ABCD采用特殊位置法：采用特殊位置法：当当P点与点与A点重合时，此时点重合时，此时AP=x=0，SPAO=0；当当P点与点与B点重合时，此时点重合时，此时AP=x=2，SPAO=0；当当AP=x=1时，此时时，此时APO为等边三角形，为等边三角形，SPAO=/4 1/4；排除排除B、C、D故选故选A3例例5.如图，动点如图，动点P从点从点A出发，沿线段出发，沿线段AB运动运动至点至点B后，立即按原路返回，点后，立即按原路返回，点P在运动过程中在运动过程中速度不变，则以点速度不变，则以点B为圆心，线段为圆心，线段BP长为半径长为半径的圆
4、的面积的圆的面积S与点与点P的运动时间的运动时间t的函数图象大的函数图象大致为（）致为（）ABCD解：不妨设线段解：不妨设线段AB长度为长度为1个单位，点个单位，点P的的运动速度为运动速度为1个单位，则：个单位，则：（1）当点）当点P在在AB段运动时，段运动时，PB=1-t，S=（1-t）2（0t1）；）；（2）当点）当点P在在BA段运动时，段运动时，PB=t-1，S=（t-1）2（1t2）综上，整个运动过程中，综上，整个运动过程中，S与与t的函数关系式的函数关系式为：为：S=（t-1）2（0t2），），这是一个二次函数，其图象为开口向上这是一个二次函数，其图象为开口向上的一段抛物线结合题中各
5、选项，只有的一段抛物线结合题中各选项，只有B符符合要求合要求故选故选B例6.（21）下图是数值转换机的示意图，小明按下图是数值转换机的示意图，小明按照其对应关系画出了照其对应关系画出了y与与x的函数图像的一部分：的函数图像的一部分：AB02486yx（1）分别写出当）分别写出当0 x4与与x4时时,y与与x的函数关的函数关系式；系式；（2）补全该函数图像；）补全该函数图像；（3）若需输出的）若需输出的y值为值为3，请求出输入的，请求出输入的x值。值。00.3630.1.3630.31-.360.3.30.3.34)2(643434012ykxxkykxxkyxxkyxkkxkxyxxyx时，或
6、当时，或当时，或当时，当）有四种情况：（条）条部分抛物线中的某一（可以是如图中的无数的取值确定时，图像根据当时，当时，）当解：（例例7心理学家研究发现，一般情况下，学生的注意力心理学家研究发现，一般情况下，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的状态，随后学生的注意力开始分散经过实验为理想的状态，随后学生的注意力开始分散经过实验分析可知，学生的注意力分析可知，学生的注意力y随时间随时间t（分钟）的变化规律（分钟）的变化规律有
7、如下关系式：有如下关系式：t2+24t+100(0t10)y=240(10t20)7t+380(20t40)（y值越大表示接受能力越强）值越大表示接受能力越强）（1）讲课开始后第）讲课开始后第5分钟时与讲课开始后第分钟时与讲课开始后第25分钟时比分钟时比较，何时学生的注意力更集中；较，何时学生的注意力更集中；（2）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中能持）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中能持续多少分钟；（续多少分钟；（3）一道数学难题，需要讲解）一道数学难题，需要讲解24分钟，分钟，为了效果较好，要求学生的注意力最低达到为了效果较好，要求学生的注意力最低达到180，那么，那么经过适当安
8、排，老师能否在学生注意力达到所需的状态经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？下讲解完这道题目？解：（解：（1）当）当t=5时，时，y=195，当，当t=25时，时，y=205讲课开始后第讲课开始后第25分钟时学生的注意力比讲课开始后第分钟时学生的注意力比讲课开始后第5分钟时更分钟时更集中集中（2）当）当0t10时，时，y=-t2+24t+100=-（t-12）2 +244，该图的对称轴为该图的对称轴为t=12，在对称轴左侧，在对称轴左侧，y随随x的增大而增大，的增大而增大，所以，当所以，当t=10时，时，y有最大值有最大值240，当当10t20时，时，y=240当当
9、20t40时，时，y=-7t+380，y随随t的增大而减小，的增大而减小，故此时故此时y240所以，当所以，当t=20时，时，y有最大值有最大值240所以，讲课开始后所以，讲课开始后10分钟时，学生的注意力最集中，能持续分钟时，学生的注意力最集中，能持续10分分钟钟（3）当）当0t10，令，令y=-t2+24t+100=180，t=4当当20t40时，令时，令y=-7t+380=180，t=28.57因为因为28.57-424，所以老师可以经过适当安排，能在学生注意力达到所需的状态下讲所以老师可以经过适当安排，能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目解完这道题目例例8.一辆快车从甲地驶往乙
10、地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶设快车行驶的时间为车同时出发，匀速行驶设快车行驶的时间为x（h），两车之），两车之间的距离为间的距离为y（km），图中的折线表示从两车出发至快车到达），图中的折线表示从两车出发至快车到达乙地过程中乙地过程中y与与x之间的函数关系之间的函数关系（1）求线段）求线段AB所在直线的解析式和甲、乙两地之间的距离；所在直线的解析式和甲、乙两地之间的距离；（2）已知两车相遇时快车比慢车多行驶）已知两车相遇时快车比慢车多行驶40km，若快车从甲地，若快车从甲地到达乙地所需时间为到达乙地所需时间为t h，求，求
11、t的值；的值；（3）若快车到达乙地后立刻返回甲地，慢车到达甲地后停止行）若快车到达乙地后立刻返回甲地，慢车到达甲地后停止行驶，请你在图中画出快车从乙地返回到甲地过程中驶，请你在图中画出快车从乙地返回到甲地过程中y关于关于x的函的函数的大致图象。数的大致图象。解：（解：（1）当当x=0时，时，y=280甲乙两地之间的距离为甲乙两地之间的距离为280千米千米根据根据B点纵坐标为点纵坐标为0，即可得出两车相遇，即可得出两车相遇，（2）设快车的速度为）设快车的速度为m千米千米/时，慢车的速度为时，慢车的速度为n千米千米/时时由题意可得：由题意可得：2m+2n280 2m2n40 ，解得：解得：m80
12、n60 快车的速度为快车的速度为80千米千米/时时快车从甲地到达乙地所需时间为快车从甲地到达乙地所需时间为t=280/80=7/2 小时；小时；（3）快车的速度为快车的速度为80千米千米/时慢车的速度为时慢车的速度为60千米千米/时时当快车到达乙地，所用时间为：当快车到达乙地，所用时间为：280/80=3.5小时小时快车与慢车相遇时的时间为快车与慢车相遇时的时间为2小时，小时，y=（3.5-2）（）（80+60）=210，C点坐标为：（点坐标为：（3.5，210），），此时慢车还没有到达甲地，若要到达甲地，这个过程慢车所用此时慢车还没有到达甲地，若要到达甲地，这个过程慢车所用时间为：时间为：280/60=14/3 小时，小时，当慢车到达甲地，此时快车已经驶往甲地时间为当慢车到达甲地，此时快车已经驶往甲地时间为14/3-3.5=7/6 小时，小时，此时距甲地：此时距甲地：280-7/6 80=560/3 千米，千米，D点坐标为：（点坐标为：（14/3，560/3），），再一直行驶到甲地用时再一直行驶到甲地用时3.52=7小时小时E点坐标为：（点坐标为：（7，0），故图象如图所示：），故图象如图所示：
