1、第五节第五节 函数幂级数展开式的应用函数幂级数展开式的应用 一、近似计算一、近似计算 二、计算定积分二、计算定积分 三、欧拉公式三、欧拉公式 四、小结四、小结一、近似计算一、近似计算,21 naaaA,21naaaA .21 nnnaar误差误差两类问题两类问题:1.给定项数给定项数,求近似值并估计精度求近似值并估计精度;2.给出精度给出精度,确定项数确定项数.关健关健:通过估计余项通过估计余项,确定精度或项数确定精度或项数.常用方法常用方法:1.若余项是交错级数若余项是交错级数,则可用余和的首项来解决则可用余和的首项来解决;2.若不是交错级数若不是交错级数,则放大余和中的各项则放大余和中的各
2、项,使之成使之成为等比级数或其它易求和的级数为等比级数或其它易求和的级数,从而求出其和从而求出其和.例例1 1.10,5 使使其其误误差差不不超超过过的的近近似似值值计计算算e解解,!1!2112 nxxnxxe,1 x令令,!1!2111ne 得得余和余和:)!2(1)!1(1nnrn)211()!1(1 nn)1(1111()!1(12 nnn!1nn ,105 nr欲欲使使,10!15 nn只只要要,10!5 nn即即,10322560!885 而而!81!31!2111 e71828.2 例例2 2.,9sin!3sin03并估计误差并估计误差的近似值的近似值计算计算利用利用xxx 解
3、解20sin9sin0 ,)20(61203 52)20(!51 r5)2.0(1201 3000001,105 000646.0157079.09sin0 156433.0 其误差不超过其误差不超过 .510 二、计算定积分二、计算定积分.,ln1,sin,2难难以以计计算算其其定定积积分分函函数数表表示示原原函函数数不不能能用用初初等等例例如如函函数数xxxex 解法解法逐项积分逐项积分展开成幂级数展开成幂级数定积分的近似值定积分的近似值被积函数被积函数第四项第四项30001!771 ,104 取前三项作为积分的近似值取前三项作为积分的近似值,得得!551!3311sin10 dxxx94
4、61.0 例例3 3.10,sin410 精确到精确到的近似值的近似值计算计算dxxx 642!71!51!311sinxxxxx解解),(x !771!551!3311sin10dxxx收敛的交错级数收敛的交错级数三、欧拉公式三、欧拉公式复数项级数复数项级数:)()()(2211nnivuivuivu.),3,2,1(,为实常数或实函数为实常数或实函数其中其中 nvunn若若 1nnuu,1nnvv,则则称称级级数数 1)(nnnivu收收敛敛,且且其其和和为为 ivu.若若 2222222121nnvuvuvu收敛收敛,则则 1nnu,1nnv绝对收敛绝对收敛,称复数项级数绝对收敛称复数项
5、级数绝对收敛.复数项级数绝对收敛的概念复数项级数绝对收敛的概念三个基本展开式三个基本展开式,!212 nxxxenx,)!12()1(!5!3sin12153 nxxxxxnn,)!2()1(!4!21cos242 nxxxxnn)(x)(x)(x的幂级数展开式的幂级数展开式由由xe nixixnixixe)(!1)(!2112)!12()1(!31()!2()1(!211(12322 nxxxinxxnnnn.sincosxix xcosxsinxixeixsincos ieexeexixixixix2sin2cosxixeixsincos 又又 揭示了三角函数和复变量指数函数之间的揭示了三
6、角函数和复变量指数函数之间的一种关系一种关系.欧拉公式欧拉公式)sin(cosyiyeexiyx 四、小结四、小结近似计算，近似计算，求不可积类函数的定积分，求不可积类函数的定积分，欧拉公式的证明；欧拉公式的证明；思考题思考题利用幂级数展开式利用幂级数展开式,求极限求极限.sinarcsinlim30 xxxx 思考题解答思考题解答,54231321arcsin53 xxxx,!533!33341sin55333 xxx)1(x)(x,sinarcsinlim30 xxxx 将上两式代入将上两式代入 54231321lim530 xxxxx 5533!533!33341xx原式原式=)()(6
7、1lim33330 xoxxoxx .61 一、一、利用函数的幂级数展开式求下列各数的近似值利用函数的幂级数展开式求下列各数的近似值:1 1、3ln (精确到精确到0001.0)；2 2、2cos (精确到精确到0001.0).).二、二、利 用 被 积 函 数 的 幂 级 数 展 开 式 求 定 积 分利 用 被 积 函 数 的 幂 级 数 展 开 式 求 定 积 分 5.00arctandxxx (精确到精确到001.0)的近似值的近似值.三、三、将函数将函数xexcos展开成展开成的幂级数的幂级数x.练练 习习 题题练习题答案练习题答案一、一、1 1、1.09861.0986；2 2、0.9994.0.9994.二、二、0.487.0.487.三、三、),(!4cos2cos02 nnxnxnxe .(提示提示:xixixeexe)4sin4(cos2)1(ReRecos )
