1、刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律 刚体的基本运动可以分为刚体的基本运动可以分为平动平动和和转动转动，刚体的，刚体的各种复杂运动都可以看成是这两种运动的合成。各种复杂运动都可以看成是这两种运动的合成。刚体的平动是指刚体在运刚体的平动是指刚体在运动过程中其中任意两点的连动过程中其中任意两点的连线始终保持原来的方向（或线始终保持原来的方向（或者说，在运动的各个时刻始者说，在运动的各个时刻始终保持彼此平行）。终保持彼此平行）。特点：其中各点在任意相同的时间内具有相同的位特点：其中各点在任意相同的时间内具有相同的位移和运动轨迹，也具有相同的速度和加速度。因而移和运动轨迹，也具有相同的速度和加速度。因而刚
2、体上任一点的运动都可代表整个刚体的运动。刚体上任一点的运动都可代表整个刚体的运动。平动的刚体可看作质点。平动的刚体可看作质点。刚体的转动比较复杂，我们只研究定轴转动。刚体的转动比较复杂，我们只研究定轴转动。刚体的定轴转动是指刚体的定轴转动是指刚体上各点都绕同一直线刚体上各点都绕同一直线作圆周运动，而直线本身作圆周运动，而直线本身在空间的位置保持不动的在空间的位置保持不动的一种转动，这条直线称为一种转动，这条直线称为转轴转轴。刚体定轴转动的特点：刚体定轴转动的特点：1.1.刚体上各个质点都在作圆周运动，但各质点圆周刚体上各个质点都在作圆周运动，但各质点圆周运动的半径不一定相等。运动的半径不一定相
3、等。2.2.各质点圆周运动的平面垂直于转轴线，圆心在轴各质点圆周运动的平面垂直于转轴线，圆心在轴线上，这个平面我们称为线上，这个平面我们称为转动平面转动平面。3.3.各质点的位矢在相同的时间内转过的角度是相同的。各质点的位矢在相同的时间内转过的角度是相同的。o 描写刚体转动位置的物理量。描写刚体转动位置的物理量。Px在转动平面内，过在转动平面内，过O O点作点作一极轴，设极轴的正方向一极轴，设极轴的正方向是水平向右，则是水平向右，则OPOP与极与极轴之间的夹角为轴之间的夹角为。1.1.角坐标角坐标 根据定轴转动刚体的特点，我们用角量来描述刚根据定轴转动刚体的特点，我们用角量来描述刚体的定轴转动
4、较为方便，而且只要描写转动平面内体的定轴转动较为方便，而且只要描写转动平面内从圆心到某一质点矢径的转动情况就足够了。从圆心到某一质点矢径的转动情况就足够了。角称为角称为角坐标（或角位置）角坐标（或角位置）。角坐标为标量。但可有正负。角坐标为标量。但可有正负。2.2.角位移角位移描写刚体位置变化的物理量。描写刚体位置变化的物理量。角坐标的增量角坐标的增量：称为刚体的称为刚体的角位移角位移xyP p2v1vR3.3.角速度角速度描写刚体转动快慢和方向描写刚体转动快慢和方向的物理量。的物理量。tt0limdtd角速度角速度方向：方向：满足右手定则，沿刚体转动方向右旋大拇指指向。满足右手定则，沿刚体转
5、动方向右旋大拇指指向。角速度是矢量，但对于刚体定轴角速度是矢量，但对于刚体定轴转动角速度的方向只有两个，在表转动角速度的方向只有两个，在表示角速度时只用角速度的正负数值示角速度时只用角速度的正负数值就可表示角速度的方向，不必用矢就可表示角速度的方向，不必用矢量表示。量表示。刚体上任一质元的速度表示为：刚体上任一质元的速度表示为：rvvr4.4.角加速度角加速度tt0limdtdrv,rdtdrdtdvat刚体上任一质元的切向加速度和法向加速度表示为：刚体上任一质元的切向加速度和法向加速度表示为：22,rrvan00 角加速度是矢量，但对于角加速度是矢量，但对于刚体定轴转动角加速度的方刚体定轴转
6、动角加速度的方向只有两个，在表示角加速向只有两个，在表示角加速度时只用角加速度的正负数度时只用角加速度的正负数值就可表示角加速度的方向，值就可表示角加速度的方向，不必用矢量表示。不必用矢量表示。说明：说明：角坐标、角位移、角坐标、角位移、角速度和角加速度等角量角速度和角加速度等角量是用来描述定轴转动刚体是用来描述定轴转动刚体的整体运动，也可用来描的整体运动，也可用来描述质点的曲线运动；述质点的曲线运动；1.力对固定点的矩力对固定点的矩FrM 这种情况相当于质点绕固定这种情况相当于质点绕固定点点O O转动的情形。转动的情形。2.力对固定轴的矩力对固定轴的矩（1）力垂直于转轴）力垂直于转轴OPdr
7、rFM（2）力与转轴不垂直）力与转轴不垂直FF转轴转轴o rFz转动平面转动平面 可以把力分解为平行于转轴可以把力分解为平行于转轴的分量和垂直于转轴的分量。的分量和垂直于转轴的分量。平行转轴的力不产生转动效果，平行转轴的力不产生转动效果，该力对转轴的力矩为零。该力对转轴的力矩为零。FrM大小：大小：sinrFMa)必须指明是对谁的角动必须指明是对谁的角动量量；大小：大小：L r m v sin 方向：方向：右手螺旋定则判定右手螺旋定则判定质点对一固定参考点的角动量：质点对一固定参考点的角动量：v vm mr rP Pr rL LmoprP PP Lrob)作圆周运动的质点的角动量作圆周运动的质
8、点的角动量 L r m v c)角动量是描述转动状态的物理量角动量是描述转动状态的物理量；d)质点的角动量又称为动量矩质点的角动量又称为动量矩。注意：注意：LdtvmrddtLd)(dtvmdrvmdtrd)(FrirPov在以角速度在以角速度作定轴转动的刚体作定轴转动的刚体内取一质点内取一质点 mi ，则其对则其对OZOZ轴轴的角动量为：的角动量为：对于整个刚体，各质点对定轴的角动量都具有相同的对于整个刚体，各质点对定轴的角动量都具有相同的方向。则定轴转动刚体的角动量就是对组成刚体的所方向。则定轴转动刚体的角动量就是对组成刚体的所有质点的角动量求和。有质点的角动量求和。iiiirvmL)(i
9、iirvmL)(2iirm)(2iirmJ2iirmJ称为刚体对转轴的称为刚体对转轴的转动惯量转动惯量对于定轴转动刚体对于定轴转动刚体dtdLM JM 刚体定轴转动定理：刚体定轴转动定理：amFdtJdM)(对对进行处理得到：进行处理得到：00000)(JJJdMdtJJtt刚体定轴转动角动量定理刚体定轴转动角动量定理dtJd)(J刚体的转动惯量的定义是：刚体的转动惯量的定义是：六、转动惯量六、转动惯量niiirmJ12若刚体为连续体，则用积分代替求和：若刚体为连续体，则用积分代替求和：dmrJ2JM amF,比较以下两个式子：比较以下两个式子：转动惯量是表示转动惯性的量。转动惯量是表示转动惯
10、性的量。例例1、长为长为 l、质量为质量为 m 的匀质细杆，绕与杆的匀质细杆，绕与杆垂直的质心轴转动，求转动惯量垂直的质心轴转动，求转动惯量 J。xo解：解：建立坐标系，分割质量元建立坐标系，分割质量元dxxdmxJ22121ml222lldxlmx例例2、长为长为 l、质量为质量为 m 的匀质细杆，绕细杆的匀质细杆，绕细杆一端轴转动，求转动惯量一端轴转动，求转动惯量 J。解：解：xodxxdmxJ2ldxlmx02231mlJ 与刚体质量、质量分布、轴的位置有关与刚体质量、质量分布、轴的位置有关例例3：在无质轻杆的在无质轻杆的 b 处与处与 3b 处各系质量为处各系质量为 2m 和和 m 的
11、质点，可绕的质点，可绕 o 轴转动，求：质点轴转动，求：质点系的转动惯量系的转动惯量J。解：解：221iiirmJ22)3(2bmmb211mbbb3omm2例例4、半径为半径为 R 质量为质量为 M 的圆环，绕垂直于圆环平面的圆环，绕垂直于圆环平面的质心轴转动，求转动惯量的质心轴转动，求转动惯量J。RModmdmRJ2解：解：2MRRM例例5、半径为半径为 R 质量为质量为 M 的圆盘，绕垂直于圆的圆盘，绕垂直于圆盘平面的质心轴转动，求转动惯量盘平面的质心轴转动，求转动惯量 J。rdr解：解：分割圆盘为圆环分割圆盘为圆环rdrRMdm22dmrJ2221MRRrdrRMr0222定理表述：定
12、理表述：刚体绕平行于质心轴的转动惯量刚体绕平行于质心轴的转动惯量 J，等于绕质心轴的转动惯量等于绕质心轴的转动惯量 JC 加上刚体质量与加上刚体质量与两轴间的距离平方的乘积：两轴间的距离平方的乘积：2mdJJC 刚体绕质心轴的转动惯量最小刚体绕质心轴的转动惯量最小CJJmR221mRJC如：如：2mRJJC2221mRmR dmxJy2,dmrJz2dmxdmy22yxJJdmyx)(22zyxodmxyrdmyJx2证明：证明：定理表述：定理表述：质量质量平面分布平面分布的刚体，绕垂直于的刚体，绕垂直于平面轴的转动惯量等于平面内两正交轴的转平面轴的转动惯量等于平面内两正交轴的转动惯量之和：动
13、惯量之和：yxzJJJ例例6、半径为半径为 R 质量为质量为 M 的圆盘，求绕直径轴的圆盘，求绕直径轴转动的转动惯量转动的转动惯量Jy。解：解：圆盘绕垂直于盘面的质心圆盘绕垂直于盘面的质心 z 轴转动的转轴转动的转动惯量为：动惯量为：221MRJzyxzJJJzyJJ21zyJ2241MRyx例例7、长为长为 l、质量为质量为 m 的细杆，初始时的角速度的细杆，初始时的角速度为为 0，由于细杆与桌面，由于细杆与桌面的摩擦，经过时间的摩擦，经过时间 t 后杆后杆静止，求摩擦力矩静止，求摩擦力矩 M阻阻。lo解：解：由匀变速转动公式由匀变速转动公式:t0t0细杆绕一端的转动惯量细杆绕一端的转动惯量
14、231mlJ摩擦阻力矩为：摩擦阻力矩为：JM阻tml02311m2mRM,1mgm11TRM,1T2T2T2m解：解：amTgm111 （1）amT22 （2 2）JRTT)(21（3 3）221MRJ例例8 8、质量为质量为 m1 和和m2 两个物两个物体，跨在定滑轮上体，跨在定滑轮上 m2 放在光放在光滑的桌面上，滑轮半径为滑的桌面上，滑轮半径为 R，质量为质量为 M，求：求：m1 下落的加下落的加速度，和绳子的张力速度，和绳子的张力 T1、T2。Ra（4 4）联立方程，求解得：联立方程，求解得：2/211Mmmgma2/)2/(21211MmmgMmmT2/21212MmmgmmT当当 M=0 时：时：212121mmgmmTT1m2mRM,mgT(1)maTmg(2)JTR(3)/22ath(4)Ra T例例9 9、测轮子的转动惯量、测轮子的转动惯量用一根轻绳缠绕在半用一根轻绳缠绕在半径为径为 R、质量为质量为 M 的轮子上若干圈后，一端的轮子上若干圈后，一端挂一质量为挂一质量为 m 的物体，从静止下落的物体，从静止下落 h 用了时用了时间间 t,求轮子的转动惯量求轮子的转动惯量 J。解：解：联立方程，求解得：联立方程，求解得：hhgtmRJ2)2(22
