1、数学试题（第 1 页 共 6 页） 准考证号 姓名 . （在此卷上答题无效） 秘密启用前 2020 届福州市高中毕业班第三次质量检查 数 学 （ 理 科 ） 试 题 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分第卷 1 至 3 页，第 卷 4 至 6 页满分 150 分 注意事项： 1. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名考 生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的 “准考证号、 姓名” 与考生本人准考证号、 姓名是否一致 2. 第卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号第卷用0.5毫米黑色签字
2、笔在答 题卡上书写作答在试题卷上作答，答案无效 3. 考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回 第 卷第 卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1. 已知纯虚数 z 满足(1 i)2iza，则实数a等于 A2 B1 C1 D2 2. 已知集合 2 2 20 ,log2Ax xxBx yx，则 AB R A B2,2 C1,2 D2,1 3. 执行右面的程序框图，则输出的m A1 B2 C3 D4 数学试题（第 2 页 共 6 页） 4. 某种疾病的患病率为 0.5%， 已知在患该种疾病的条件下血检呈阳性的概率为
3、 99%， 则 患该种疾病且血检呈阳性的概率为 A0.495% B0.940 5% C0.999 5% D0.99% 5. 函数 2 e2 x f xxx的图象大致为 A B C D 6. 甲、乙、丙、丁四名同学在某次军训射击测试中，各射击 10 次四人测试成绩对应的 条形图如下： 以下关于四名同学射击成绩的数字特征判断不正确 的是 A平均数相同 B中位数相同 C众数不完全相同 D丁的方差最大 7. 已知角的终边在直线3yx 上，则 2 sin2 1cos A 6 11 B 3 11 C 3 11 D 6 11 8. 数独是源自 18 世纪瑞士的一种数学游戏如图是数独的一个简化版，由 3 行
4、3 列 9 个单元格构成玩该游戏时，需要将数字1,2,3（各 3 个）全 部填入单元格，每个单元格填一个数字，要求每一行、每一 列均有1,2,3这三个数字，则不同的填法有 A12 种 B24 种 C72 种 D216 种 Ox y 1 1 O x y 1 1 y 1 O1 xOx y 1 1 数学试题（第3页 共6页） 9. 已知函数 sin0 6 f xx 图象上相邻两条对称轴的距离为 2 ，把 f x图 象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移 3 个 单位长度，得到函数 g x的图象，则 A cos4g xx B cos4g xx C cosg xx D
5、cosg xx 10. 已知椭圆 22 22 :1 xy C ab （0ab ）的焦距为 2，右顶点为A过原点与x轴不重合 的直线交C于,M N两点，线段AM的中点为B，若直线BN经过C的右焦点，则C的 方程为 A 22 1 43 xy B 22 1 65 xy C 22 1 98 xy D 22 1 3632 xy 11. 已知函数 1 lnf xxx x ，给出下列四个结论： 曲线 yf x在1x处的切线方程为10xy ； f x恰有 2 个零点； f x既有最大值，又有最小值； 若 12 0x x 且 12 0f xf x，则 12 1x x 其中所有正确结论的序号是 A B C D 1
6、2. 三棱锥PABC中，顶点P在底面ABC的投影为ABC的内心，三个侧面的面积分 别为12,16,20，且底面面积为24，则三棱锥PABC的内切球的表面积为 A 4 3 B12 C16 3 D16 数学试题（第4页 共6页） 第卷 第卷 注意事项： 用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答在试题卷上作答，答案无效 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中的横线上 13. 已知向量1,2AB ，2,5CB ，,1tMN 若ACMN ，则实数t 14. 正方体 1111 ABCDABC D中，P为 1 BC中点，Q为 1 AD中点，则异面直线DP与 1 CQ所 成
7、角的余弦值为 15. 在ABC中，内角,A B C的对边分别为, ,a b c，若 2 2sincos1AB，则 c ba 的取值 范围为 16. 已知梯形ABCD满足,45ABCDBAD，以,A D为焦点的双曲线经过,B C两 点若7CDAB，则的离心率为 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要 求作答 （一）必考题：共 60 分 17. （本小题满分 12 分） 已知数列 n a和 n b的前n项和分别为 n S, n T， 1 2a ， 1 1b ，且 11
8、2 nn aaT （1）若数列 n a为等差数列，求 n S； （2）若 11 2 nn bbS ，证明：数列 nn ab和 nn ab均为等比数列 18. （本小题满分 12 分） 如图，在多面体PABCD中，平面ABCD 平面PAD，ADBC，90BAD， 120PAD，1BC，2ABADPA （1）求平面PBC与平面PAD所成二面角的正弦值； （2）若E是棱PB的中点，求证：对于棱CD上任意一 点F，EF与PD都不平行 19. （本小题满分 12 分） 已知抛物线 2 :4C yx，直线 :2l xmy（0m）与C交于,A B两点，M为AB的 中点，O为坐标原点 （1）求直线OM斜率的最
9、大值； （2）若点P在直线2x 上，且PAB为等边三角形，求点P的坐标 A D CB P 数学试题（第5页 共6页） 20. （本小题满分 12 分） 已知函数 2 ( )2lnf xxaxx （1）求函数 fx的单调区间； （2）设函数 fx有两个极值点 12 ,x x（ 12 xx） ，若 12 fxmx 恒成立，求实数m的 取值范围 21. （本小题满分 12 分） 某省2021年开始将全面实施新高考方案在6门选择性考试科目中，物理、历史这 两门科目采用原始分计分；思想政治、地理、化学、生物这 4 门科目采用等级转换赋 分，将每科考生的原始分从高到低划分为A,B,C,D,E共5个等级，各
10、等级人数所占比 例分别为15%、35%、35%、13%和2%，并按给定的公式进行转换赋分 该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这 4 门科目的 原始分进行了等级转换赋分 （1）某校生物学科获得A等级的共有 10 名学生，其原始分及转换分如下表： 原始分 9190898887858382 转换分 10099979594918886 人数 1 1212111 现从这 10 名学生中随机抽取 3 人，设这 3 人中生物转换分不低于95分的人数为X， 求X的分布列和数学期望； （2）假设该省此次高一学生生物学科原始分Y服从正态分布(75.8 36)N，若 2 ( ,)YN ，
11、令 Y ，则(0,1)N，请解决下列问题： 若以此次高一学生生物学科原始分C等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估 计该划线分大约为多少分？（结果保留为整数） 现随机抽取了该省800名高一学生的此次生物学科的原始分，若这些学生的原始分 相互独立，记为被抽到的原始分不低于71分的学生人数，求()Pk取得最大值 时k的值 附附：若(0,1)N，则(0.8)0.788P,(1.04)0.85P. 数学试题（第6页 共6页） （二）选考题：共 10 分请考生在第 22，23 两题中任选一题作答如果多做，则按所做 第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 22. （本小题
12、满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，直线 1 l的参数方程为 33 ,xkt yt （t为参数） ，直线 2 l的参数 方程为 33 ,xm ykm （m为参数） 设 1 l与 2 l的交点为P， 当k变化时，P的轨迹为曲线 1 C （1）求 1 C的普通方程； （2）设Q为圆 2 2 2: 43Cxy上任意一点，求PQ的最大值 23. （本小题满分10分）选修45：不等式选讲 已知0,0ab， 222 4abc （1）当1c时，求证： 33 9abab； （2）求 222 441 1abc 的最小值 数学试题（第 1 页 共 11 页） 2020 年福州市
13、高中毕业班质量检测 数学（理科）参考答案及评分细则 评分说明： 1 本解答给出了一种或几种解法供参考， 如果考生的解法与本解答不同， 可根据试题 的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。 2 对计算题， 当考生的解答在某一步出现错误时， 如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数 的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。 一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算每小题 5 分，满分 60 分 1A 2D
14、3C 4A 5B 6D 7A 8A 9D 10C 11B 12C 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13 1 3 14 2 3 152,3 16 3 2 4 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分 17 【命题意图】本小题考查等差数列、等比数列等基础知识；考查运算求解能力、推 理论证能力；考查化归转化思想；考查数学运算、逻辑推理等学科素养；体现基础性满 分12分 【解答】 （1）由 11 2 nn aaT ，得 211 2aab， 又 1 2a ， 1 1b ，解得 2 4a . 1分 因为数列 n a为等差数列，所以该数列的公差为 21 aa2， 2分 所以
15、 2 1 22 2 n n n Snnn 4分 （2）当2n时， 11 2 nn aaT ， 因为 1nnn TTb ，所以 1 2 nnn aab ，即 1 2 nnn aab ， 5分 同理可得： 1 2 nnn bba 6分 数学试题（第 2 页 共 11 页） 则 11 3() nnnn abab ，所以 11 3 nn nn ab ab （2n） ， 7分 又 211211 24,25aabbba， 所以 22 11 45 3 3 ab ab ， 所以 11 3 nn nn ab ab （ * nN） ， 8分 所以数列 nn ab是以3为首项，3为公比的等比数列. 9分 因为 11
16、 () nnnn abab ，所以 11 1 nn nn ab ab （2n） ， 10分 又 22 11 45 1 21 ab ab ，所以 11 1 nn nn ab ab （ * nN） ， 11分 所以数列 nn ab是以1为首项，1为公比的等比数列 12分 18 【命题意图】本小题考查直线与平面垂直的判定与性质，直线与平面平行、平面与 平面平行的判定与性质，二面角等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求 解能力；考查化归与转化思想、函数与方程思想；考查直观想象、逻辑推理等核心素养， 体现基础性、综合性满分12分 【解析】解法一： （1）因为ABAD，平面ABCD 平面PAD
17、， 平面ABCD平面PADAD，AB 平面ABCD， 所以AB 平面PAD. 1分 作AHAD交PD于H，则,AB AD AH三条直线两两垂 直以A为坐标原点O，分别以AHADAB，所在直线为 ,x y z轴，建立空间直角坐标系，如图所示 2分 因为120PAD，1BC ，2ABADPA 所以 0,0,0 ,0,0,2 ,0,1,2 ,0,2,0 ,3, 1,0ABCDP， 3分 设平面PBC的法向量为, ,x y zn，因为 0,1,0 ,3, 1, 2BCBP ， 所以 0, 0, BC BP n n 所以 0, 320, y xyz 令2x ，所以 2,0, 3n， 4分 由z轴平面PA
18、D知0,0,1m为平面PAD的一个法向量, 5分 ( )A O BC P x Dy z H 数学试题（第 3 页 共 11 页） 所以 33 cos, 717 n m n m nm ， 6分 所以PBC与平面PAD所成二面角的正弦值为 2 7 7 7分 （2）因为E是棱PB的中点，由（1）可得 31 ,1 22 E . 假设棱CD上存在点F，使得EFPD， 8分 设DFDC ，01 ， 所以 3 53 5 , 10, 1,2, 12 2222 EFEDDF ， 9分 因为EFPD，所以 3,3,0EFtPDt ， 10分 所以 3 3 , 2 5 3 , 2 120, t t 这个方程组无解，
19、 11分 所以假设不成立，所以对于棱CD上任意一点F，EF与PD都不平行. 12分 解法二： （1）如图，在平面PAD内，过点P作DA的垂线，垂足为M；在平面 ABCD内，过M作AD的垂线，交CB的延长线于点N连接PN 因为MNPMM，所以AD 平面PMN 1分 因为ADBC，BC 平面PBC，AD 平面PBC， 所以AD平面PBC， 2分 设平面PBC平面PADl，则ADl，故l 平面PMN 3分 所以NPM为平面PBC与平面PAD所成二面角的平面角 4分 因为120PAD，2ABADPA，所以60MAP， 在RtPAM中，2sin603PM 5分 又2MNAB，所以在RtPMN 中， 22
20、 7PNPMMN 6分 所以 22 7 sin 77 MN MPN PN ， ( )A O BC P x Dy z H E F A BC D P N M 数学试题（第 4 页 共 11 页） 所以PBC与平面PAD所成二面角的正弦值为 2 7 7 7分 （2）假设棱CD上存在点F，使得EFPD，显然F与点 D不同， 8分 所以,P E F D四点共面，记该平面为，所以P， PE，FD， 9分 又BPE，CFD，所以B，C， 所以就是点,B C D确定的平面， 10分 这与PABCD为四棱锥相矛盾，所以假设不成立， 所以对于棱CD上任意一点F，EF与PD都不平行. 12分 解法三： （1）同解法
21、一 7分 （2）假设棱CD上存在点F，使得EFPD 8分 连接BD，取BD的中点M， 在BPD中，因为,E M分别为,BP BD的中点， 所以EMPD. 9分 因为过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，所以 EM与EF重合. 10分 又点F在线段CD上，所以FBDCD，又BDCDD， 所以F是BD与CD的交点D，即EF就是ED， 11分 而ED与PD相交，所以与EFPD相矛盾，所以假设不成立， 所以对于棱CD上任意一点F，EF与PD都不平行 12分 19 【命题意图】本题考查抛物线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识；考查运 算求解能力； 考查数形结合思想、 函数与方程思想； 考查直观
22、想象、 数学运算等核心素养， 体现基础性、综合性满分12分 【解析】解法一： （1）设 1122 ( ,), (,)A x yB xy， 由 2 2, 4 xmy yx ，消去x得， 2 480ymy， 1分 2 16320,m 且 1212 4 ,8yym y y . 2分 所以 2 1212 ()444.xxm yym 因为M为AB的中点， A BC P C E F A BC P C E F M 数学试题（第 5 页 共 11 页） 所以M的坐标为 1212 (,) 22 xxyy ，即 2 (22,2 )mm, 3分 又因为0m ，所以 22 2111 1 22121 2 OM mm k
23、 mm m m m m , 5 分 （当且仅当 1 m m ，即1m 等号成立.） 所以OM的斜率的最大值为 1 2 6 分 （2）由（1）知， 2 12 1|ABmyy 22 1212 1()4myyy y 22 11632mm 22 4 12mm， 8分 由PMAB得 2222 |1() |22( 2)| 2(2) 1PMmmmm ， 9分 因为PAB为等边三角形，所以 3 | 2 PMAB， 10分 所以 2222 2(2) 12 312mmmm， 所以 2 23m ，所以 2 1m ，解得1,m 又0m，所以1m ， 11分 则(4,2)M，直线MP的方程为2(4)yx ，即6yx ，
24、 所以2x 时，8y， 所以所求的点P的坐标为( 2,8) 12分 解法二： （1）设 112200 ( ,), (,),(,)A x yB xyM xy， 因为M为AB的中点，且直线:2(0)l xmym， 所以 012 2,yyy 12 12 , xx m yy 1分 由 2 11 2 22 4 , 4, yx yx 得 22 1212 44,yyxx 数学试题（第 6 页 共 11 页） 所以 12 12 12 4 , xx yy yy 所以 0 24 ,ym即 0 2ym. 2分 所以 2 00 222,xmym即 2 (22,2 )Mmm， 3分 又因为0m ，所以 22 2111
25、1 22121 2 OM mm k mm m m m m , 5分 （当且仅当 1 m m ，即1m 等号成立.） 所以OM的斜率的最大值为 1 2 6分 （2）由 2 2, 4 xmy yx ，消去x得 2 480ymy， 所以 2 16320,m 且 1212 4 ,8yym y y. 7分 22 1212 ABxxyy 2 2 1212 22mymyyy 22 1212 1()4myyy y 22 11632mm 22 4 12mm ， 8分 由（1）知，AB的中点M的坐标为 2 (22,2 )mm， 所以线段AB的垂直平分线方程为： 2 222ymm xm . 令2x ，得线段AB的垂
26、直平分线与直线2x 交点坐标为 3 2,26,Pmm 所以 22 2322 24242(2) 1mMmmmPm 9分 因为PAB为等边三角形，所以 3 | 2 PMAB， 10分 所以 2222 2(2) 12 312mmmm， 所以 2 23m ，所以 2 1m ，解得 1,m 数学试题（第 7 页 共 11 页） 因为0,m 所以1m ， 11分 则 (4,2)M ，直线MP的方程为 2(4)yx ，即 6yx ， 所以2x 时， 8y ， 所以所求的点P的坐标为( 2,8) 12分 20 【命题意图】本题考查函数和导数及其应用、不等式等基础知识；考查抽象概括能 力、运算求解能力、推理论证
27、能力与创新意识；考查函数与方程思想、分类与整合思想、 化归与转化、特殊与一般思想等思想；考查数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算等 核心素养，体现综合性、应用性、创新性满分12分. 【解析】 （1）因为 2 ( )2lnf xxaxx， 所以 2 22 ( )0 xax fxx x 1分 令 2 22p xxax， 2 16a ， 当0即44a 时， ( ) 0p x ，即( )0fx， 所以函数 f x单调递增区间为0, 2分 当0 即4a 或4a 时， 22 12 1616 , 44 aaaa xx . 若4a ，则 12 0xx，所以 0p x，即( )0fx ，所以函数 f x单调递
28、增区间 为 0, 3分 若4a ， 则 21 0xx， 由( )0fx， 即 0p x得 1 0,xx或 2 xx； 由( )0fx， 即 0p x 得 12 xxx 所以函数 f x的单调递增区间为 12 0,xx；单调递减区间为 12 ,x x 5分 综上，当a4时，函数 f x单调递增区间为0,；当a 4时，函数 f x的单 调递增区间为 12 0,xx，单调递减区间为 12 ,x x 6分 （2）由（1）得 2 22 ( )0 xax fxx x ， 若 f x有两个极值点 12 ,x x，则 12 ,x x是方程 2 220xax的两个不等正实根， 由（1）知4a 则 1212 2,
29、1 2 a xxx x，故 12 01xx ， 8分 数学试题（第 8 页 共 11 页） 要使 12 f xmx 恒成立，只需 1 2 f x m x 恒成立 因为 222 31111111 1111 22 1 ()2ln222ln 22ln 1 f xxaxxxxx xxxx xx x ， 10分 令 3 ( )22 lnh ttttt ，则 2 ( )32lnh ttt ， 当01t时， 0h t，( )h t为减函数，所以( )(1)3h th . 11分 由题意，要使 12 f xmx恒成立，只需满足3m 所以实数m的取值范围, 3 12分 21 【命题意图】本题主要考查超几何分布、
30、二项分布、正态分布的概念等基础知识； 考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识；考查概率与统计思想；考查数学建模、数 据分析、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性与应用性 【解答】 （1）随机变量X的所有可能的取值为0,1,2 3， 1分 根据条件得 03 55 3 10 101 (0) 12012 C C P X C ， 12 55 3 10 505 (1) 12012 C C P X C ， 21 55 3 10 505 (2) 12012 C C P X C ， 30 55 3 10 101 (3) 12012 C C P X C ， 3分 则随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3
31、P 1 12 5 12 5 12 1 12 数学期望 15513 ()0123 121212122 E X 4分 （2）设该划线分为m，由(75.8,36)YN得75.8,6， 令 75.8 6 YY ，则675.8Y， 5分 依题意，0.85P Ym，即 75.8 675.80.85 6 m PmP ， 因为当(0,1)N时，(1.04)0.85P，所以(1.04)0.85P?， 6分 数学试题（第 9 页 共 11 页） 所以 75.8 1.04 6 m ，故69.56m，取69m 7分 由讨论及参考数据得 71675.8710.80.80.788P YPPP， 即每个学生生物统考成绩不低
32、于71分的事件概率约为0.788， 8分 故(800,0.788)B， 800 800 ()0.788 (10.788) kkk PkC . 9分 由 1 , 1 , PkPk PkPk 即 80011801 800800 80011799 800800 0.788 (10.788)0.788(10.788), 0.788 (10.788)0.788(10.788), kkkkkk kkkkkk CC CC 10分 解得630.188631.188k ， 又k N，所以631k ， 11分 所以当631k 时()Pk取得最大值. 12分 22【命题意图】 本题主要考查参数方程、 曲线与方程等基础知识； 考查运算求解能力、 逻辑推理能力；考查数形结合思想、函数与方程思想；考查数学运算、直观想象等核心素 养，体现基础性满分10分 【解答】解法一： （1）消去参数t得 1 l的普通方程为33xky， 1分 消去参数m得 2 l的普通方程为33k xy 2分 联立
