1、 1 2 3 4 5 2020 届邵阳市高三第三次联考 数学（理）参考答案及评分标准 一、选择题：本大题有 12 个小题，每小题 5 分，满分 60 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D D C B D D B A B A A 二、填空题：本大题有 4 个小题，每小题 5 分，满分 20 分 13121 14 3 2 15 4 S 31 23 16 三、解答题：本大题有 6 个小题，满分 70 分 17（12 分） 解：（1）ABC， 222 ACB ，cossin 22 ACB .1 分 由 2 3 sin2 cos 2 AC bCc 及正弦定理得，
2、2 3sinsin2sinsin 2 B BCC 2分 sin0C ， 2 3sin2sin1 cos 2 B BB 3分 3sincos1BB，即2sin1 6 B ，即 1 sin 62 B 4 分 0B 7 666 B 5 66 B 2 3 B 6 分 （2）由余弦定理得： 222 2cosbacacB， 7b ， 2 3 B ， 222 73acacac， 49 3 ac（当且仅当 7 3 3 ac时取等号）， 9 分 SABC= 1349 3 sin 2412 acBac（当且仅当 7 3 3 ac时取等号）， ABC 面积的最大值为 49 3 12 12 分 18（12 分） 解：
3、（1）DAC 中，2 2DAAC，60DADC 为等边三角形且 AC=2 2 又2ABBC， ABC 为等腰直角三角形 2 分 取 AC 中点 O，连 OB，OD，OBAC，ODAC DOB 中，OB=2，OD=6，DB = DA =22 222 DBOBOD， O DO B 4 分 6 又 ODAC，OBAC=0，ODABC平面 1 3 D ABC V SABCOD= 2 112 6 26 323 6 分 （2）建立如图所示的坐标系 O-xyz，则 7 分 A（0，-2，0），B（2，0，0），C（0，2，0），D（0，0，6） ( 2 , 2 ,0)AEAB，01( 2 , 22 2,0)
4、CECAAE (0,2, 6)CD .设平面 EDC 的一个法向量( , , )x y zm 2( 22 2)0, 260, CExy COyz m m 令y，则2x， 3 z ， 2, , 3 m9 分 又面 DCA 的一个法向量(1,0,0)n， 222 2 |cos(, )| 1 (2) 3 m n= 3 2 ， 2 344011 分 解之得： 2 3 或-2（舍） 2 AE EB 12 分 19（12 分） 解：（1）曲线 C 上点 M 到焦点的距离等于它到准线的距离 221 2 p ， 1 2 p ， 2p 4 分 （2）依题意，过点 N 的抛物线切线的斜率存在， 故可设过 N 的直
5、线：(2)ytk x ，代入 2 4yx得， 2 4480kyytk 5 分 与曲线 C 相切，则 0, 0, k 得 2 210ktk 7 分 设 NP，NQ 的斜率分别为 k1，k2，则 k1k2= 1 2 且 2 1 1 12 ,P kk ， 2 2 2 12 ,Q kk 8 分 当 12 kk时，直线 PQ 的方程： 12 2 11 22 12 22 21 11 kk yx kk kk 即： 12 2 1121 221k k yx kkkk 2 121 11 x kkk 7 即： 2 121121 112 () yx kkkkk k 112 2 12121 12 ()1 () k kk
6、 x kkkk k 2 1 2 12121 21 () k x kkkkk 121212 121 (2)xx kkkkkk 直线 PQ 过定点（2，0） 10 分 当 12 kk时，即 12 2 2 kk， 则 PQ 所在的直线为2x .过点(2，0) 综上可得，直线 PQ 过定点(2，0) 12 分 20（12 分） 解：（1）由题意10个学生中，线上学习时间不少于3小时的有4人，则X=0，1，2，3， 1 分 3 6 3 10 1 0 6 C P X C ， 21 64 3 10 1 1 2 C C P X C ， 12 64 3 10 3 2 10 C C P X C ， 3 4 3 1
7、0 1 3 30 C P X C ， 4 分 X的分布列： X 0 1 2 3 P 1 6 1 2 3 10 1 30 11316 0123 6210305 EX 6 分 （2）以样本估计总体的线上学习时间少于 3 小时的概率 3 5 记 Y 为从 6 人中抽取的线上学习时间少于 3 小时的人数，则 YB 3 6, 5 8 分 6 6 32 () 55 kk k P YkC ， k=0，1，2，6 要使()P Yk最大，则 617 1 66 615 1 66 3232 5555 3232 5555 kkkk kk kkkk kk CC CC ， ， 10 分 解之得 1621 55 k， 又k
8、 4k 12 分 21（12 分） 解（1）函数( )f x的定义域为(,) ，且 2 ( )666(1)6(1)(1)fxxaxaxxa 1 分 若 a=2，则( )0fx，因而( )f x在(,) 上单调递增 若 a2，则当x(,1)a及x( 1,) 时( )0fx，f (x)单调递增 当x(1-a，-1)时，( )0fx，( )f x单调递减 4 分 综上，当 a=2 时，( )f x在(,) 上单调递增；当 a2 时，( )f x在(,1)a，( 1,) 上单调递增，在(1-a，-1) 上单调递减 5 分 （2）由题意知(1)236(1)5faa，1a，故 32 ( )23f xxx6
9、 分 欲证当1x 时， 2(ln 1)( )mxxf x 当1x 时， 2 1x ，ln +11x 只需证： 2 ( ) (ln1) f x m xx ，即 23 ln1 x m x 在(1,)上恒成立 7 分 设 23 ( )(1,) ln1 x h xx x ，则 22 13 2(ln1)(23)2ln ( ) (ln1)(ln1) xxx xx h x xx 设 3 ( )2lnxx x ，则 2 23 ( ) x xx 故当x(1,)时，( )0x，( )x单调递增 8 分 又 3ln163 (2)2ln20 22 ， 3 ( )20e e ( )0h x有且只有一个根 0 x，且 2
10、 0 xe， 0 0 3 2ln x x 10 分 在 0 (1,)x上( )0h x，h(x)单调递减，在 0 (,+ )x上( )0h x，h(x)单调递增 函数 h(x)的最小值 00 00 0 0 2323 ()24 3 ln1 1 2 xx h xx x x 11 分 又4m . 23 ln1 x m x 在（1，+）上恒成立 故 2(ln 1)( )mxxf x成立 12 分 22（10 分） 解：（1）由 12cos ,12cos , 12sin12sin xx yy 得 22 (1)(1)2.xy 曲线 C 的普通方程为 22 (1)(1)2.xy 3 分 由2 cos()1.
11、cossin1,cos,sin. 4 xy 得而 直线 l 的直角坐标方程为10.xy 5 分 （2）化曲线 C 的方程为极坐标方程：2cos2sin . 联立直线 l 的极坐标方程cossin1. 6 分 消去得： 42 840. 设 P，Q 两点所对应的极径分别为 1 ， 2 则（ 1 2 ）2=4. 9 分 9 |OP| |OQ|=| 1 2 |=2. 10 分 23解：（1）当 a=1 时，( ) |1| 2|1|.f xxx 当1x 时，不等式( )4f x 化为314x .解得1.1.xx 2 分 当11x 时，不等式( )4f x 化为34x .解得1.x 无解. 3 分 当1x
12、 时，不等式( )4f x 化为314x .解得 55 33 xx 4 分 综上得：不等式( )4f x 的解集为 5 , 1,. 3 5 分 （2）( ) |1| 2|f xxxa aR 函数在,a上为减函数，在, a 上为增函数，( )( ) |1|.f xf aa 6 分 22 4()444 1,0,01215. bcbbccbcbc bcbc bcbccbcb （当且仅当 21 , 33 bc时取等号）. 8 分 对任意xR,都有0,0bc,使得 2 4 ( ) bc f x bc ，|1| 5a， 解得：64.aa 或 9 分 实数 a 的取值范围为 , 64,. 10 分 说明：解答题用其他方式解答，请参照给分.
