1、 本章将介绍一种特殊的质点本章将介绍一种特殊的质点系系刚体刚体所遵从的力学规律。所遵从的力学规律。它实际上就是质点系的基本原它实际上就是质点系的基本原理在刚体上的应用。重点是定理在刚体上的应用。重点是定轴转动，重要的概念是转动惯轴转动，重要的概念是转动惯量。量。刚体：在任何情况下形状和大小都不变的物体。即任意两质点之间的距离保持不变的质点系（理想模型）。刚体刚体一种一种特殊特殊质点系质点系 质点系 质点 刚 体5.0节 刚体刚体?个自由度个自由度自由度自由度为确定该力学系统的位置所需要的独立变量的个数。（若运动受到约束，自由度将减少）一个自由质点：三个自由度一个自由刚体：六个自由度三个平动自由
2、度三个转动自由度注：不共线的三点可以确定刚体的位置（9个），而任意两个质点间的距离都保持不变（6个）。刚体的运动形式刚体的运动形式刚体运动刚体运动平平动动转转动动 刚体质心运动（平动）刚体的取向与方位（转动）刚体运动微分方程式 刚体运动积分方程式刚体的平动和转动 AAcc（质点A既随质心平动又绕质心转动）作用于刚体上的力作用于刚体上的力使质心平动绕质心转动 施于刚体的力不是自由矢量FBAFBA力的作用线过质心（平动）力的作用线不过质心（平动加转动）施于刚体的力是滑移矢量 作用于刚体的力的三要素：大小、方向和作用线ABFF力沿作用线滑移不改变作用效果FFcAFd 施于刚体的力等效于一作用线过质心
3、的力 （平动）和一力偶 和 （转动）FFF1、刚体的定轴转动刚体的定轴转动:刚体中有根确定的直线始终保持不动，整个刚体绕着这根直线转动，该直线称作转轴转轴。5.1定轴转动的角量描述定轴转动的角量描述 各质元的线速度、加速各质元的线速度、加速度一般不同，但角量（角度一般不同，但角量（角位移、角速度、角加速度）位移、角速度、角加速度）都相同。都相同。描述刚体整体的运动用角量最方便。描述刚体整体的运动用角量最方便。只有一个转动自由度。只有一个转动自由度。QP XXZ5.1节运动学方程：运动学方程：t2、定轴转动的角量描述、定轴转动的角量描述角坐标角坐标 ：确定刚体的位置ddt角速度角速度 ：描述转动
4、的快慢22dddtd t角加速度角加速度 ：描述角速度变化的快慢xzP 角速度是矢量角速度是矢量，方向规定为沿轴方向，指向用右手螺旋法则确定：右手四指沿刚体转动方向，伸直的大拇指的指向为角速度的方向。对于刚体定轴转动，角速度的方向只有两个，规定逆时针方向为正，角速度方向可用正负号表示。加速转动加速转动 方向一致方向一致减速转动减速转动 方向相反方向相反zP02002200122ttt()两类基本问题两类基本问题已知已知求求和和求导数求导数已知已知求求和和求积分求积分zP刚体上任一刚体上任一P点线量点线量 与角量的关系：与角量的关系：2nvrarar矢量式矢量式dvda(r)rvdtdtvr可见
5、，可见，刚体各质元的角量相同，线量一般不同。刚体各质元的角量相同，线量一般不同。naaarv即即5.2 转动惯量及其计算转动惯量及其计算 2i iiJmr定义定义 刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质元的质量与这一质元到转轴的距离平方的乘积之总和。（单位：）2kg m若质量连续分布若质量连续分布2Jr dm5.2节线分布线分布体分布体分布面分布面分布dldmdsdmdVdm质量为线分布质量为线分布质量为面分布质量为面分布质量为体分布质量为体分布其中其中、分别为质量的线密度、面密度和体分别为质量的线密度、面密度和体密度。密度。（1）质点、圆环、圆筒绕中心轴转动质点、圆环、圆筒绕中心轴转动zoRmo
6、zRmmR2oJmR质点的转动惯量为对于匀质圆环和薄圆筒，因各质元到轴的垂直距离都相同，则有2oJmR2dmrdr l232dJr dmlr dr340122RJdJlr drR l（2）圆盘、圆柱绕中心轴转动）圆盘、圆柱绕中心轴转动对于质量为 、半径为 、厚为 的均匀圆盘取半径为 宽为 的薄圆环，则有Rmlrdr可见，可见，转动惯量与厚度 无关。所以，实心圆柱对其轴的转动惯量与圆盘的相同。l2mR l212Jm R则有由于OZrdrRl（3）球体绕其直径的转动球体绕其直径的转动 将均质球体分割成一系列彼此平行且都与对称轴垂直得圆盘，则有2222222212121282155ORRJdm rr
7、 dz r(Rz)dzRmR即225OJmRRzordzzm轴位于端点A：2222112llCmlmJxdxl20213lAmJxmldxl（4 4）求长为）求长为 、质量为、质量为 的均匀细棒绕垂直轴的转的均匀细棒绕垂直轴的转动惯量。动惯量。lm取一小段 ，可视为质点dx轴位于中心C：ABdxlxABCdx2l2lx决定刚体转动惯量的因素：决定刚体转动惯量的因素：刚体的质量分布刚体的质量分布 转轴的位置转轴的位置注注意意平行轴定理平行轴定理 若刚体对过质心的轴的转动惯量为 Jc，则刚体对与该轴相距为 d 的平行轴 z 的转动惯量 Jz 是2zcJJmdmzJcJ212cJmR2221322z
8、JmRmRmR如图所示：垂直轴定理垂直轴定理ozyxzxyJJJ 对于薄板刚体，绕垂直于板面的轴Oz的转动惯量，等于位于板面内与Oz轴交于一点的两相互正交轴Ox和Oy的转动惯量之和。例如：薄盘绕直径的转动惯量212zxyJJJmR214xyJJmR 若力学体系有几个部分组成，整体绕定轴转动的转动惯量,等与各部分对该轴的转动惯量之和。即组合定理组合定理iJJ1ml2mRzzJJJ杆球2221221235mlm RmlR 例如：例如：有质量为 ,长为 的均质细杆和质量为 ，半径为 的匀质球体组成的刚体，对Z轴的转动惯量为2m1mlR圆环：转轴通过中心与环面垂直薄圆盘：转轴通过中心与盘面垂直圆柱体：
9、转轴沿几何轴细棒：转轴通过中心与棒垂直球体：转轴沿直径转轴沿直径圆筒：转轴沿几何轴圆柱体：转轴通过中心与几何轴垂直细棒：转轴通过端点与棒垂直球壳：转轴沿直径5.3 定轴转动的基本方程定轴转动的基本方程 刚体作定轴转动时，一个自由度。确定刚体的位置只需一个独立变量 角坐标，因而需要一个动力学方程 角动量定理角动量定理zzdLMdt5.3节1、对定轴的角动量、对定轴的角动量vrim2zii iLJmrJ即zLJ2、转动定理、转动定理zzdLdMJJdtdt由于刚体的转动惯量为常量，所以有即zMJ 当刚体绕固定轴转动时，刚体对该轴的转动惯量与角加速度的乘积等于外力对此轴的合力距。瞬时性。同一时刻对同
10、一刚体，同一转轴而言。与牛顿第二定律 相比，地位相当。Fma在定轴转动中，和 均沿转轴方位。M转动惯量是刚体绕定轴转动惯性大小的度量。3、沿定轴的角动量守恒定律、沿定轴的角动量守恒定律当 时，0zM zLJ常量对于形变物体，转速与转动惯量成反比。即对于形变物体，转速与转动惯量成反比。即1212JJo1o 25.3.3 定轴转动的动能定理定轴转动的动能定理由于刚体是质点系，满足质点系的动能定理。即21eikkAAEE质元动能质元动能2221122kiiii iEmvmr刚体的转动动能：刚体的转动动能：22221122ki ii iEmrmr221JEkzirivim 以刚体内两质点为例，讨论一对
11、内力的功。1212rrro1r2r1F2F12质点1：111dAF dr质点2：222dAFdr11221121112112122210F drFdrF d rrFF drrdrrdA)(d1212刚体rroiFiFinFirizFizFdiiziziizinFFFFFF n一个外力元功为一个外力元功为iziniiiiiiFF ndsF dsFrddM dFA 如图所示：如图所示：设 为刚体所受的任一个外力，当刚体转过 角时,作用点的元位移为 ,沿轴方向的分力 不做功，法向分力 不作功，只有切向分力 作功。即即iFiFinFddsizF所有外力的总功为所有外力的总功为1221iM dAMd21
12、22211122MdJJ 刚体在作定轴转动的过程中，其转动动能的增量等于刚体所受的沿定轴方向的合力矩对刚体所作的功 为定轴转动的定轴转动的动能定理。动能定理。如果仅有保守力对定轴转动的刚体做功，则其机械能守恒，即转动动能与势能的总和为常量。若质量为m的刚体，仅在重力场中作定轴转动，以yc表示刚体质心的竖直坐标，则机械能守恒方程为212cEJmgy 常量根据柯尼希定理，则221122cccEmvJmgy 常量（1）确定研究对象。确定研究对象。（2）受力分析，确定做功的力矩。）受力分析，确定做功的力矩。（3）确定始末两态的动能。）确定始末两态的动能。（4）列方程求解。）列方程求解。21222111
13、22MdJJ理论依据理论依据mgom,lc 例例5.3.1 自由摆下的杆自由摆下的杆 有匀质细杆长为 l，质量为m，可以绕过端点的水平轴在竖直平面内自由摆动。今使杆自水平位置由静止释放，求：2）杆摆到竖直位置时，轴与杆的相互作用力。1）杆摆到 位置时的角速度和角加速度；由 得：MJ21123mglcosml32gcosl因为dddddtddtd所以，分离变量并积分得：00332gdcos dlgsinl 解：解：（1）方法一，利用转动定理求 ，积分求 。mgom,lc方法二，利用动能定理求 ，求导数得 。重力矩作功：0AMd02lmgcos d 12mgl sin由动能定理：222110221
14、123mgl sinJml3gsinl本题也可用机械能守恒定律计算本题也可用机械能守恒定律计算mgom,lc22111223mgl sinml将方程两边对时间求导数得23ddgcosldtdt32dgcosdtlmgom,lcxNyN由质心运动定理得（2）当杆摆到竖直位置时，）当杆摆到竖直位置时，。230gl222xcxycylNmamlNmgmam由上两式解得502xyNNmg例例5.3.2 粗糙桌面上绕定抽转动的圆盘粗糙桌面上绕定抽转动的圆盘oRm2）圆盘转动几圈后停止。1）从开始到停止所经历的时间；一半径为R 的匀质圆盘，以初角速度0在摩擦系数为 的水平桌面上,绕光滑质心轴转动。若转动过
15、程中盘面与桌面始终紧密接触，求：oRmdrr 解：解：（1 1）以圆盘为研究对象，以圆盘为研究对象，将圆盘分割成无限多个圆环。每个圆环的质量为：2222mmdmdSrdrrdrRR每个圆环产生的摩擦力矩为，222 mgdMdmg rr drR 阻整个圆盘产生的摩擦力矩为2202RMdMmgr drR 阻阻23mgR 根据转动定律：dMJJdt000tMdtJd2000122334mRJMm RRtgg 其中 为常量，将上式分离变量并积分，则M200102M dJ阻22021 132 2mgRmR（2 2）根据动能定理：根据动能定理：2038Rg则转过的角度：则转过的角度：则转过的圈数：则转过的
16、圈数：2n20316RgxNFCOxyNAbd所示，已知刚体的质量为 m、对轴转动惯量为 J0，b表示质心到O点的距离。求打击中心到转轴的距离d。例例5.3.3 打击中心打击中心 一刚体竖直悬挂于支点O且可以绕点O在竖直平面内自由转动。以水平力打击刚体的A点，若打击点选择合适，则打击过程中轴对刚体的水平力为零，该点A称为打击中心。如图根据质心运动定理xcxFNma根据对支点O的转动定律oFdJ又因cxabA点为打击中心0 xN 则解得0Jdmb对于匀质细棒：212323olJmlb,dl.xNFCOxyNAbd解：解：5.4 力学体系绕定轴转动力学体系绕定轴转动 力学体系：力学体系：是指由质点
17、、变形质点系、刚体等是指由质点、变形质点系、刚体等多个物体组成的整体。多个物体组成的整体。如图所示：由人、哑铃、转盘组成的力学体系。整体绕定轴转动，但其中的各个部分有的作平动，有的作转动。o 解决此类问题的基本方法为：解决此类问题的基本方法为：1、隔离分析法：隔离分析法：转动体转动体MJ转动定律平动体平动体Fma牛顿第二定律平动体平动体转动体转动体找出关系式5.4节2、整体分析法：整体分析法：从力的角度从力的角度izizdMLdt质点系的角动量定理从能的角度从能的角度21eikkAAEE质点系的能动定理（角动量守恒）（机械能守恒）zizzizMMoLL常量若eikpAAAEEE保常量若例例5.
18、4.1 5.4.1 研究阿特伍德机的运动研究阿特伍德机的运动.滑轮可看作匀质圆盘，且 。求：两物体的加速度。21mm 解法一：解法一：隔离分析法，隔离分析法，取顺时针转动 为正方向。由此解得21122m gm gammm1T2T2m1m1T2TmR1m g2m g11122222112Tm gm am gTm aTT RmRaR1mm2m12TT2m1mmR1m g2m g 解法二解法二：整体分析法，利用角动量整体分析法，利用角动量定理。定理。取顺时针转动 为正方向。系统角动量为：2212Lm Rm RJ21122m gm gammmdRRdt由于所以2m1mmR1m g2m g 解法三解法三
19、：整体分析法，利用动能定整体分析法，利用动能定理。理。取顺时针转动 为正方向。22211201122km gxm gxmmvJE对上式求导数211221212122dm gvm gvmmv aJdtmmv amRmmmv a vRaR所以21122m gm gammm 整体分析法更简单！整体分析法更简单！1）物体A、B运动多长时间C才开始动？2）物体C运动时的速度多大？例例5.4.1 连结体的定轴转动连结体的定轴转动 A、B、C的质量都是 m，A和C间用长为 l 的细绳相连接。A通过一跨过定滑轮的细绳与B相连，定滑轮为半径R、质量m 的匀质圆盘。先用手托住B，使A、B间的绳子刚好伸长，如图所示
20、。不计绳的伸长和轴处的摩擦，设绳与滑轮间不打滑，求放手后：mm,RACBmmmglmm,RACBmmmgl 解：解：（1）采用整体分析法，利用角动量定理）采用整体分析法，利用角动量定理求解。求解。C动前，视A、B、盘为一整体，其角动量为2222122252LmRJmRmRmR由于dLMdt252dmgRmRdt25gdRRtad所以由 得，C开始运动的时间为 2112lat125lltag（2）从绳绷紧到C运动的瞬间，A与C作用时间极短，视A、B、C、盘为一整体，系统所受的外力矩为物体B的重力矩可忽略，因此角动量守恒角动量守恒。则有112223mv RJmv RJ111255vatlgR22v
21、R其中mm,RACBmmmgl由以上各式解得，物体C开始运动的速度为2152577vvlg请用其他两种方法求解！请用其他两种方法求解！1m,lABme0v 例例5.4.3 小球与定轴转动的杆的碰撞小球与定轴转动的杆的碰撞 长为l、质量为 M 的匀质细杆AB，可绕过端点A的光滑轴在水平桌面内转动，最初杆静止，今有一质量为m的球沿垂直于杆的方向飞向端点B，与杆发生碰撞。设碰撞的恢复系数为e，杆与桌面的摩擦系数为，问为使杆至少转一周，球的初速度最小应为多大？1m,lABme0v 解：解：1）球与杆的碰撞过程，由于作用时间极短，摩擦阻力矩可忽略，因此角动量守恒（动量不守恒）。取逆时针方向为正。则有00
22、mv lmvlJlvev（1）（2）2）杆的转动过程，根据动能定理得2201122MdJJ（3）于是（3）式可写为221111222m glJJ解得222213Jlm glg其中11012lmMdmg rgrdrm gll 2113Jml至少转一周的条件为至少转一周的条件为220因此有223lg6glv由（1）和（2）式消去 ，解得01313mvemm l于是有01313mvemm l6gl解得0v13631mmglme例例5.4.4 质量为质量为 M，半径为，半径为 R 的转台，可绕中心的转台，可绕中心轴转动。设质量为轴转动。设质量为 m 的人站在台的边缘上，初始时人、的人站在台的边缘上，初
23、始时人、台都静止。如果人相对于台沿边缘奔跑一周，问：相台都静止。如果人相对于台沿边缘奔跑一周，问：相对于地面而言，人和台各转过了多少角度？对于地面而言，人和台各转过了多少角度？角动量守恒：角动量守恒：思考思考5.4.1 一个人站在有光滑固定转轴的转动一个人站在有光滑固定转轴的转动平台上平台上,双臂伸直水平地举起二哑铃双臂伸直水平地举起二哑铃,在该人把此在该人把此二哑铃水平收缩到胸前的过程中二哑铃水平收缩到胸前的过程中,人、哑铃与转人、哑铃与转动平台组成的系统的动平台组成的系统的（A）机械能守恒）机械能守恒,角动量守恒角动量守恒;（B）机械能守恒）机械能守恒,角动量不守恒角动量不守恒,（C）机械
24、能不守恒）机械能不守恒,角动量守恒角动量守恒;（D）机械能不守恒）机械能不守恒,角动量不守恒角动量不守恒.思考思考5.4.2 人造地球卫星，绕地球作椭圆轨道人造地球卫星，绕地球作椭圆轨道运动，地球在椭圆的一个焦点上，则卫星的运动，地球在椭圆的一个焦点上，则卫星的(A)动量不守恒，动能守恒；动量不守恒，动能守恒；(B)动量守恒，动能不守恒；动量守恒，动能不守恒；(C)角动量守恒，动能不守恒；角动量守恒，动能不守恒；(D)角动量不守恒，动能守恒。角动量不守恒，动能守恒。m5.5 刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动:刚体运动时，刚体内每个点的轨迹都是一条平面曲线
25、，各曲线所在平面都某一固定平面平行。5.5节运动的特点：运动的特点：1）刚体的质心始终位于同一个平面上。2）刚体内垂直于固定平面的直线上各点具有完全相 同运动状态。3）刚体内平行于固定平面的各平面有相同的运动特征。三个自由度两个平动自由度一个转动自由度 只须研究质心所在平面的运动只须研究质心所在平面的运动:质心运动质心运动+绕质心转动绕质心转动5.5.1 运动学简介运动学简介1、运动学方程运动学方程 如图所示，取质心所在的平面为研究对象，任取一点A为基点（一般取质心）。则P点的运动方程为ArPyxAyxOrPr AAxx t,yy.t,t2、运动叠加原理运动叠加原理ArPyxAyxOrPrP点
26、运动随基点A平动绕基点的转动 基点A可以任意取 基点A的平动量（）因基点而异；绕基点A的转动的角量（）都相同。AAAr,v,a,ABCBCAArCr可见，基点不同，平移的位移不同，但转过的角度相同，转向也相同。以A为基点平移 ，逆转 。Ar090以C为基点平移 ，逆转 。Cr0903、刚体上任一点刚体上任一点P的速度和加速度的速度和加速度ArPyxAyxOrPr根据伽利略变换式：PArrr 刚体上任一点刚体上任一点P的速度的速度PAAvvvvr 刚体上任一点刚体上任一点P的加速度的加速度2PAAnAaarraaddrardtadtdrvrdt（为定长旋转矢量）r4、运动学特例运动学特例圆柱体的
27、纯滚动圆柱体的纯滚动 纯滚动：摩擦力足够大，接触点间无相对滑动。滑滚运动：摩擦力不够大，刚体既滚动又滑动。1）纯滚动的运动学判据：AAcc质心C的位移为：质心C的速度为：cvR质心C的加速度为：caR运动学判据Rxc 2）纯滚运动的速度分布：以质心C为基点：最高点D的速度为接触点A的速度为2CDDCCvrvv0CACACCvrvvv任一点E的速度为ECCEvvr可见，可见，代表刚体整体的速度，刚体上的每一点代表刚体整体的速度，刚体上的每一点都具有这个平动速度。都具有这个平动速度。CvFEDCADvEv0Av FvcArcvcvFEDCADvEv0Av Fvcv以接触点A为基点：DADvr任一点
28、 P 的速度为AAPAPPvvrrCACvr因此有可见，对于纯滚动，若取接触点可见，对于纯滚动，若取接触点A A 为基点，在某为基点，在某瞬时刚体的平面平行运动，可视为瞬时刚体的平面平行运动，可视为A A点的单纯转动。点的单纯转动。0Av 作纯滚动的刚体，与平面的接触点就是它的瞬心。瞬时转动中心：在任何瞬时，作平面平行运动的刚体（或它的延伸体）上总有一点O，其速度v0=0。此刻刚体只能绕此点旋转。这个点称为瞬时转动中心，简称 瞬心。确定瞬心的几何方法：OCcvcv1）若已知 和 ，瞬心O在与 垂直且相距 的地方。cvcvcvBOABvAv2）若已知刚体上A、B两点同一时刻速度的方向，则它们垂线
29、的交点即为瞬心。注意注意 刚体作纯滚动时，接触点的速度为零，但加速度不为零。CACara ACnaaaa2AnCAaar 以质心C为基点有其中所以ca2CArCArcaAC5.5.2 平面运动动力学平面运动动力学刚体的平面平行运动随质心平动绕质心的转动 三个自由度：两个平动自由度和一个转动自由度取质心为基点取质心为基点动力学方程动力学方程质心运动定理 xxyyFmaFmaccMJ注：注：也可以用动能定理或机械能守恒定律求解也可以用动能定理或机械能守恒定律求解 例例5.5.1 5.5.1 沿固定斜面的纯滚动沿固定斜面的纯滚动 一半径为R、质量为m 的匀质圆柱体,沿倾角为的固定斜面无滑动的滚下。若
30、不计滚动摩擦。试求圆柱体质心的加速度。解：方法一解：方法一 利用运动叠加 原理，质心的平动加绕质心的转动。动力学方程为0cccmg sinfmaNmg cosfRJaR（纯滚动条件）解上述四式可得22ccmgR sinaJmRoCAyxcafmgN22ccmgR sinaJmR1）根据实心圆柱体：实心球体：薄圆筒：22312ccJmRag sin25725ccJmRag sin212ccJmRag sin【讨论讨论】21Cfmg sinmRJ,Nmgcos2）根据纯滚动的 动力学判据：fN2211CcCtanmRJ,tanmRJ临界角转动惯量越小加速度 越大方法二方法二 用机械能守恒定律。由于
31、圆柱体作纯滚动，接触点无相对滑动，静摩擦力不做功，只有重力做功，机械能守恒。oCAyxcafmgN2201122cccmvJmgx sinE常量对上式求导数得0ccccmvaJmg v sin 其中ccvRaR解得22ccmgR sinaJmR解得22ccmgR sinaJmR2AAccMmgRsinJJmRaR其中AAMJ动力学方程为oCAyxcafmgN方法三方法三 视为绕瞬心 A 的纯转动。：一般情况对瞬心的角动量定理不成立，当满足条件“”时，对瞬心可用角动量定理.例例5.5.2 沿加速平板表面的纯滚动沿加速平板表面的纯滚动 在水平板上放一半径为 R,质量为m的匀质球。设平板具有加速度a
32、，球沿平板作纯滚动，求球质心的加速度和所受静摩擦力的大小。解：解：以球为研究对象、平板为参考系（非惯性系），则动力学方程为225ccfmamafRmRaR xyoNfmamgCcaa由以上三式解得：5277caa,fma 因此，球心的加速度为5277ccaaaaaa 例例5.5.3 何时开始纯滚动何时开始纯滚动 有一缓慢改变倾角的固定斜面，如图所示。一质量为m，半径为R 的匀质圆柱体从高h 处由静止沿光滑斜面滑下，紧接着沿粗糙水平面运动。已知水平面与圆柱体间的摩擦系数,求：1）圆柱体沿水平面运动多长时间后开始作纯滚动。2）圆柱体达到纯滚动前经历的水平距离。mgNfCCxhCmgNfCCxhC
33、解：解：1）沿光滑斜面，圆柱体仅作滑动；沿水平面达到纯滚动前作滑滚运动。动力学方程为：2021212cmg hRmvmgmamgRmR由以上三式解得：022cvg hRagg R 达到纯滚动前有：0022ccvva tg hRgttgt R达到纯滚动时有：cvR解得作纯滚动经历的时间：0233g hgtgvR2）达到纯滚动时经历的距离：22200022011232935185vvv tatgxhRggvg0BCAABCxmgNy 例例5.5.4 杆的自由倾倒杆的自由倾倒 匀质细杆AB长为2l，质量为 m，最初使杆斜立于光滑水平面上，其倾角为0。今 释放杆让其自由倾倒，求：1）杆的质心及杆的端点
34、B的运动轨迹；2）杆的角速度与倾角的关系。解：杆在竖解：杆在竖直平面内作平面直平面内作平面平行运动。平行运动。1）杆沿水平方向不受力。质心C沿竖直方向作直线运动。沿该直线向上建立y坐标，则端点B的位置坐标为2BBxlcosyl sin0BCAABCxmgNy2l质消去参量 可得端点B的轨迹方程为222214BBxyll2）杆倾倒的过程中，只有重力做功，机械能守恒。0BCAABCxmgNy2l2220111222 12cymgl sinsinmvml对于质心C有ccydyl sinvlcoslcosdt由以上各式解得02631g sinsinlcos则有5.6 刚体的平衡刚体的平衡 刚体的平衡状
35、态：刚体的平衡状态：通常指静止状态。刚体平衡的充要条件刚体平衡的充要条件：刚体所受外力的矢量和等于零，对任一个参考点的外力矩的矢量和等于零，即 00eieeiiiFMrF称为刚体的平衡方程称为刚体的平衡方程 若刚体受力分布在若刚体受力分布在OXY平面内，平面内，则其平衡方程可简化为 000eyixiyeizF,FM(z轴垂直于Oxy平面）其他两种形式：其他两种形式：000eeeixizizF,M,MOO与x轴不垂直 000eeeizizizM,M,M(O,O,O三点不共线）注意注意N2mgxyN1OO2242crlcOAWANBNCB 例例5.6.1 三力作用下的平衡三力作用下的平衡 半径为r 的光滑半球形碗，固定在水平面上，一匀质棒斜靠在碗缘，一端在碗内，另一端在碗外，在碗内的长度为C，试证明棒的全长为O 解：解：如图所示，三力作用线交于 点，平衡方程为B以 为基点有沿棒长方向有0AN cosW sinOOAWANBNCB02AlN sinCW cosC由两式解得2202lC sinCcos又因2221Crcossincos解得2242crlc
