1、第四章 图形的认识第1课时 角、相交线和平行线第2课时三角形第3课时等腰三角形与直角三角形第4课时边形与平行四边形第5课时特殊的平行四边形第6课时圆的基本性质第7课时与圆有关的位置关系第8课时 与圆有关的计算第9课时尺规作图第1讲角、相交线和平行线1.通过实物和具体模型，了解从物体抽象出来的几何体、平面、直线和点等.2.会比较线段的长短，理解线段的和、差以及线段中点的意义.3.掌握基本事实：两点确定一条直线及两点之间线段最短的性质.4.理解两点间距离的意义，能度量两点间的距离.5.理解角的概念，能比较角的大小，认识度、分、秒，会对度、分、秒进行简单换算，并会计算角度的和、差.6.理解对顶角、余
2、角、补角的概念，探索并掌握对顶角相等，同角(等角)的余角相等，同角(等角)的补角相等的性质.7.理解垂线、垂线段等概念，能用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线.8.理解点到直线距离的意义，能度量点到直线的距离.9.掌握过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直.10.识别同位角、内错角、同旁内角；掌握平行线的概念.11.掌握过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，能用三角尺或直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线.12.掌握两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；探索并证明平行线的判定定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等(或同旁内角互补)，那么这两条直线平行；掌
3、握两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等；探索并证明平行线的性质定理：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等(或同旁内角互补).13.了解平行于同一条直线的两条直线平行.14.通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义.15.结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念.会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立.知道证明的意义和证明的必要性，知道证明要合乎逻辑，知道证明的过程中可以有不同的表达形式，会综合法证明的格式.16.通过实例体会反证法的含义.了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的.)1.(2017 年北京)如图 4-1-1，点 P
4、 到直线 l 的距离是(图 4-1-1B.线段 PB 的长度D.线段 PD 的长度A.线段 PA 的长度C.线段 PC 的长度答案：B2.如图 4-1-2，ABCD，射线 AE 交 CD 于点 F，若1115，则2 的度数是()图 4-1-2A.55B.65C.75D.85答案：B3.如图 4-1-3，长度为 12 cm 的线段 AB 的中点为 M，点 C)将线段 MB 分成 MCCB1 2，则线段 AC 的长度为(图 4-1-3A.2 cmB.8 cmC.6 cmD.4 cm答案：B)4.如图 4-1-4，能判定 EBAC 的条件是(图 4-1-4B.AEBDD.AABEA.CABEC.CA
5、BC答案：D5.(2017 年山东德州)如图 4-1-5 所示是利用直尺和三角板过已知直线 l 外一点 P 作直线 l 的平行线的方法，其理由是_.图 4-1-5答案：同位角相等，两直线平行知识点内容线与角直线的基本事实经过两点有且只有一条直线线段的基本事实两点之间，线段最短角的概念有公共端点的两条射线组成的图形叫做角余角的概念12901与2互为余角补角的概念121801与2互为补角余角和补角的性质同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等对顶角的概念两条直线相交后所得的只有一个公共顶点而没有公共边的两个角叫做对顶角对顶角的性质对顶角相等知识点内容相交线垂线的概念两条直线互相垂直，其中
6、的一条直线叫做另一条直线的垂线垂线的性质性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短点到直线的距离直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离(续表)知识点内容平行线的性质与判定平行线的性质与判定之间的关系(1)同位角相等，两直线平行两直线平行，同位角相等；(2)内错角相等，两直线平行两直线平行，内错角相等；(3)同旁内角互补，两直线平行两直线平行，同旁内角互补注意(1)在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有两种：相交或平行；(2)平行于同一条直线的两直线平行；(3)在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行平行线的基
7、本事实经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行(续表)知识点内容命题、定理、证明命题的结构每个命题都是由题设和结论两部分组成真假命题正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题定理的概念用推理的方法判断为正确的命题叫做定理(续表)与线(直线、射线、线段)、角(互余、互补、垂直)有关的计算1.(2018 年山东德州)如图 4-1-6，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列方式中与互余的是()图图图图图 4-1-6A.图B.图C.图D.图答案：A2.(2018 年云南昆明)如图 4-1-7，过直线 AB 上一点 O 作射线 OC，BOC2918，则AOC 的度数为_.图 4-1-7答案：15042
8、3.(2017 年福建)已知 A，B，C 是数轴上的三个点，且 C 在B 的右侧.点 A，B 表示的数分别是 1,3，如图 4-1-8.若 BC2AB，则点 C 表示的数是_.图 4-1-8答案：7与平行线性质、判定有关的计算4.(2018 年辽宁沈阳)如图 4-1-9，ABCD，EFGH，160，则2 补角的度数是()图 4-1-9A.60B.100C.110D.120答案：D5.(2018 年陕西)如图 4-1-10，若 l1l2，l3l4，则图中与1 互补的角有()图 4-1-10A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个答案：D6.(2018 年江苏苏州)如图 4-1-11，ABC 是一
9、块直角三角板，BAC90，B30，现将三角板叠放在一把直尺上，使得点 A 落在直尺的一边上，AB 与直尺的另一边交于点 D，BC 与直尺的两边分别交于点 E，F.若CAF20，则BED的度数为_.图 4-1-11答案：80识别命题的真假7.(2018 年内蒙古包头)已知下列命题：若 a3b3，则a2b2；若点 A(x1，y1)和点B(x2，y2)在二次函数yx22x1的图象上，且满足 x1x21，则y1y22；在同一平面内，a，b，c 是直线，且 ab，bc，则ac；周长相等的所有等腰直角三角形全等.其中真命题的个数有()A.4 个B.3 个C.2 个D.1 个答案：C8.(2017 年广西百
10、色)下列四个命题中：对顶角相等；同旁内角互补；全等三角形的对应角相等；两直线平行，同位角相等.其中假命题的有_.(填序号)答案：1.(2017 年广东)已知A70，则A 的补角为()A.110B.70C.30D.20答案：A2.(2018 年广东)如图 4-1-12，ABCD，则DEC100，C40，则B 的大小是()图 4-1-12A.30B.40C.50D.60答案：B3.(2015 年广东)如图 4-1-13，直线 ab，175，235，则3 的度数是()图 4-1-13A.75B.55C.40D.35答案：C4.(2013 年广东)如图 4-1-14，ACDF，ABEF，点 D，E)分
11、别在 AB，AC 上.若250，则1 的大小是(图 4-1-14A.30B.40C.50D.60答案：C第2课时等腰三角形与直角三角形1.了解等腰三角形的有关概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等；边上的高线、中线及顶角平分线重合.探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个底角相等的三角形是等腰三角形.2.探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60；探索等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形(或有一个角是 60的等腰三角形)是等边三角形.3.探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上.4.
12、理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；反之，到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上.5.了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.掌握有两个角互余的三角形是直角三角形.6.探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题.1.(2017 年浙江丽水)等腰三角形的一个内角为 100，则顶角的度数是_.答案：1002.(2017 年黑龙江绥化)在等腰三角形 ABC 中，ADBC 交_.答案：30或 150或 903.(2017 年浙江
13、台州)如图 4-2-26，点 P 是AOB 平分线上一点，PDOB，垂足为 D，若 PD2，则点 P 到边 OA 的距离是()图 4-2-26答案：B4.(2017 年江西)如图 4-2-27 中的图甲是一把园林剪刀，把它抽象为图乙，其中 OAOB，若剪刀张开的角为 30，则A_度.图 4-2-27答案：755.如图 4-2-28，在ABC 中，ACBC，C90，D 是AB 的中点，DEDF，点 E，F 分别在 AC，BC 上，求证：DEDF.图 4-2-28解：如图 D16，连接 CD，图 D16C90，D 是 AB 的中点，ACBC，CDAB，ACDB45.CDFBDF90.EDDF，ED
14、F90.EDCCDF90.EDCBDF.ECD FBD.DEDF.知识点内容等腰三角形判定(1)有两条边相等的三角形是等腰三角形，即“等边对等角”；(等腰三角形的定义)(2)有两个角相等的三角形是等腰三角形，即“等角对等边”，如图，若BC，则ABAC性质(1)等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；如图，已知ABAC，则BC；(2)三线合一：等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；如图，已知ABAC，ADBC，则BDDC，BADDAC；(3)对称性：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是底边上的高(底边上的中线或顶角的平分线)所在的直线.如图，ABC的对称轴是AD所在的直
15、线.知识点内容等边三角形判定(1)三条边都相等的三角形是等边三角形；(2)三个角都相等的三角形是等边三角形.如图，若ABC，则ABC是等边三角形；(3)有一个角是60的等腰三角形是等边三角形.如图，若ABAC，A60，则ABC是等边三角形性质(1)等边三角形的三条边相等；如图，ABBCAC；(2)等边三角形的三个角都是60；如图，A BC60；(3)对称性：等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴(续表)知识点内容角平分线性质角平分线上的点到角的两边的距离相等逆定理角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上线段的垂直平分线性质线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等逆定理到一条线段两端
16、点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上(续表)知识点内容直角三角形判定(1)有一个角是直角的三角形是直角三角形；(2)勾股定理的逆定理；(3)如果三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形性质(1)直角三角形的两个锐角互余；(2)在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半；(3)在直角三角形中，斜边上的中线长等于斜边长的一半勾股定理及其逆定理勾股定理在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方勾股定理的逆定理若一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形(续表)等腰(边)三角形的性质与判定例 1：(2017 年北京)如图 4-2-29，在AB
17、C 中，ABAC，A36，BD 平分ABC 交 AC 于点 D.求证：ADBC.图 4-2-29思路分析由等腰三角形性质及三角形内角和定理，可求出ABDA，CBDC.再根据等角对等边，及等量代换即可求解.证明：ABAC,A36，CBDC,AABD.ADBDBC.ADBC.名师点评本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，邻补角的定义等，熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键.【试题精选】1.(2017 年吉林)如图 4-2-30，在ABC 中，以点 B 为圆心，以 BA 长为半径画弧交边 BC 于点 D，连接 AD.若B40，)C36，则DAC 的度数是(图 4-2
18、-30A.70B.44C.34D.24答案：C2.(2018 年湖南湘潭)如图 4-2-31，在等边三角形 ABC 中，点 D 是边 BC 的中点，则BAD_.图 4-2-31答案：303.如图 4-2-32，在ABC 中，ABAC，AD 是 BC 边上的中线，BEAC 于点 E.求证：CBEBAD.图 4-2-32证明：ABAC，AD 是 BC 边上的中线，BEAC，CBECCADC90，CADBAD.CBEBAD.名师点评解决与等腰三角形相关的计算问题时，一定要分清顶角和底角、底边和腰，适当情况下应该分类讨论，找出正确答案.证明两条线段、两个角相等的常用方法：若它们在同一个三角形中，可利用
19、角证边或用边证角；若它们在不同的三角形中，则通过证两个三角形全等来实现.角平分线与垂直平分线例 2：(2018 与年四川南充)如图，在ABC 中，AF 平分BAC，AC 的垂直平分线交 BC 于点 E，B70，FAE19，则C_度.图 4-2-33解析：DE 是 AC 的垂直平分线，EAEC，EACC.FAC EAC19.AF 平分BAC，FABEAC19.BBACC180，702(C19)C180.解得C24.答案：24例 3：如图 4-2-34，在ABC 中，CD 平分ACB 交 AB 于点 D，DEAC 于点 E，DFBC 于点 F，且 BC4，DE2，则BCD 的面积是_.图 4-2-
20、34解析：CD 是ACB 的平分线，DEAC，DFBC，DEDF2.答案：4易错陷阱角平分线上的点到角的两边的距离相等，注意必须是垂直距离，否则不成立.【试题精选】4.(2018 年湖北黄冈)如图 4-2-35，在ABC 中，DE 是 AC的垂直平分线，且分别交 BC，AC 于点 D 和 E，B60，C25，则BAD 为()图 4-2-35A.50B.70C.75D.80答案：B5.(2018 年湖北黄石)如图 4-2-36，ABC 中，AD 是 BC 边上的高，AE，BF 分别是BAC，ABC 的平分线，BAC)50，ABC60，则EADACD(图 4-2-36A.75B.80C.85D.9
21、0答案：A勾股定理及其应用例 4：(2018 年浙江温州)我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图 4-2-37 所示的矩形由两个这样的)图形拼成，若 a3，b4，则该矩形的面积为(图 4-2-37A.20B.24C.994D.532解析：设小正方形的边长为 x，a3，b4，AB347.在 RtABC 中，AC2BC2AB2，即(3x)2(x4)272，整理，得 x27x120.故选 B.答案：B【试题精选】6.小明听说“武黄城际列车”已经开通，便设计了如下问题：如图
22、4-2-38，以往从黄石 A 坐客车到武昌客运站 B，现在可以在 A 坐城际列车到武汉青山站 C，再从青山站 C 坐市内公共汽车到武昌客运站 B.设 AB80 km，BC20 km，ABC120.请你帮助小明解决以下问题：图 4-2-38(1)求 A，C 之间的距离；(参考数据 4.6)(2)若客车的平均速度是 60 km/h，市内的公共汽车的平均速度为 40 km/h，城际列车的平均速度为 180 km/h，为了最短时间到达武昌客运站，小明应该选择哪种乘车方案？请说明理由.(不计候车时间)21解：(1)过点 C 作 AB 的垂线，交 AB 的延长线于点 E(如图D17).图 D17选择先乘坐
23、城际列车，再坐市内公共汽车的乘车方案.名师点评解决直角三角形问题的关键：一是能熟练运用勾股定理及其逆定理分析与解决实际问题；二是解题时能灵活运用直角三角形的一些性质，如两锐角之间的关系、斜边与斜边上中线的关系；三是当几何问题中给出了线段长度时，往往要构造直角三角形.(如勾股数或添加辅助线将非直角三角形转化为直角三角形)1.(2014 年广东)如图 4-2-39，ABC 绕点 A 顺时针旋转 45得到ABC，若BAC90，ABAC ，则图中阴影部分的面积等于_.图 4-2-392解析：ABC 绕点 A 顺时针旋转 45得到ABC，BAC90，ABAC ，BC2，CBCACC45.AD BC，BC
24、AB.AD 图 D1822.(2017 年广东)如图 4-2-40，矩形纸片 ABCD 中，AB5，BC3，先按图(2)操作：将矩形纸片 ABCD 沿过点 A 的直线折叠，使点 D 落在边 AB 上的点 E 处，折痕为 AF；再按图(3)操作，沿过点 F 的直线折叠，使点 C 落在 EF 上的点 H 处，折痕为 FG，则 A，H 两点间的距离为_.(1)(3)(2)图 4-2-40图 D193.(2015 年广东)如图 4-2-41，在边长为 6 的正方形 ABCD中，E 是边 CD 的中点，将ADE 沿 AE 对折至AFE，延长EF 交边 BC 于点 G，连接 AG.求 BG 的长.图 4-
25、2-41解：在正方形 ABCD 中，ADABBCCD，DBC90.将ADE 沿 AE 对折至AFE，ADAF，DEEF，DAFE90.ABAF，BAFG90.在 RtABG 和 RtAFG 中，ABG AFG(HL).BGFG.设 BGFGx，则 GC6x.E 为 CD 的中点，CEEFDE3.EG3x.在RtCEG中，32(6x)2(3x)2.解得x2.BG2.第3讲四边形与多边形第1课时多边形与平行四边形1.了解多边形的定义，多边形的顶点、边、内角、外角、对角线等概念.2.探索并掌握多边形的内角和与外角和公式.3.理解平行四边形的概念，了解四边形的不稳定性.4.探索并证明平行四边形的有关性
26、质定理：平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分；探索并证明平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形.5.了解两条平行线之间距离的意义，能度量两条平行线之间的距离.6.探索并证明三角形中位线定理.1.(2018 年福建)一个 n 边形的内角和为 360，则 n 等于()A.3B.4C.5D.6答案：B2.(2018 年黑龙江大庆)一个正 n 边形的每一个外角都是36，则 n()A.7B.8C.9D.10答案：D3.(2018 年浙江台州)正十边形的每一个内角的度数为()A.120B.135C.1
27、40D.144答案：D4.(2017 年浙江丽水)如图 4-3-1，在ABCD 中，连接 AC，)ABCCAD45，AB2，则 BC 的长是(图 4-3-1答案：C5.(2017 年湖北武汉)如图4-3-2，在 ABCD中，D100，DAB 的平分线 AE 交 DC 于点 E，连接 BE.若 AE AB，则EBC 的度数为_.图 4-3-2答案：30知识点内容平行四边形性质(1)对边相等，对边平行(边)；(2)对角相等，邻角互补(角)；(3)对角线互相平分(对角线)；(4)中心对称(对称性)判定(1)两组对边分别平行(定义)；(2)两组对边分别相等(边)；(3)一组对边平行且相等(边)；(4)
28、两组对角分别相等(角)；(5)两条对角线互相平分(对角线)重要结论(1)平行四边形相邻两边之和等于周长的一半；(2)平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心(续表)与多边形有关的计算1.(2018 年内蒙古呼和浩特)已知一个多边形的内角和为1080，则这个多边形是()A.九边形B.八边形C.七边形D.六边形答案：B2.(2018 年湖南郴州)一个正多边形的每个外角为 60，那么这个正多边形的内角和是_.答案：7203.(2018 年江苏宿迁)若一个多边形的内角和是其外角和的3 倍，则这个多边形的边数是_.答案：8平行四边形的性质与判定例：(2018 年湖北恩施州)如图 4-3-3，点
29、B，F，C，E 在一条直线上，FBCE，ABED，ACFD，AD 交 BE 于点 O.求证：AD 与 BE 互相平分.图 4-3-3思路分析先由 ASA 证明ABCDEF，得到 ABDE，再由 ABDE 即可得出结论.证明：如图 4-3-4，连接 BD，AE，图 4-3-4FBCE，BCEF.又ABED，ACFD，ABCDEF，ACBDFE.在ABC 和DEF 中，ABC DEF(ASA).ABDE.又ABDE，四边形 ABDE 是平行四边形，AD 与 BE 互相平分.【试题精选】4.(2018 年四川泸州)如图 4-3-5，平行四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，E 是 A
30、B 中点，且 AEEO4，则平行四边形ABCD 的周长为()图 4-3-5A.20B.16C.12D.8答案：BABCD 中，AB10，5.(2018 年山东临沂)如图 4-3-6，在AD6，ACBC，则 BD_.图 4-3-6名师点评要证一个四边形是平行四边形，关键是通过分析、判断容易得到平行四边形的一组条件，再设法寻找与其搭1.(2011 年广东)正八边形的每个内角为()B.135D.144A.120C.140答案：B2.(2014 年广东)如图 4-3-7，在ABCD 中，下列说法一定正确的是()图 4-3-7B.ACBDD.ABBCA.ACBDC.ABCD答案：C3.(2015 年广东
31、)正五边形的外角和等于_.答案：3604.(2013 年广东)一个六边形的内角和是_.答案：7205.(2014 年广东)如图 4-3-8，在ABC 中，D，E 分别是边AB，AC 的中点.若 BC6，则 DE_.图 4-3-8答案：36.(2013 年广东)如图 4-3-9，将一张直角三角形纸片 ABC 沿中位线 DE 剪开后，在平面上将BDE 绕着 CB 的中点 D 逆时针旋转 180，点 E 到了点 E位置，则四边形 ACEE 的形状是_.图 4-3-9答案：平行四边形7.(2012 年广东)如图 4-3-10，在四边形 ABCD 中，ABCD，对角线 AC，BD 相交于点 O，BODO
32、.求证：四边形 ABCD 是平行四边形.图 4-3-10证明：ABCD，ABOCDO.ABO CDO(ASA).ABCD.四边形 ABCD 是平行四边形.8.(2013 年广东)如图 4-3-11，已知平行四边形 ABCD.(1)作图：延长 BC，并在 BC 的延长线上截取线段 CE，使得 CEBC；(用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法)(2)在(1)的条件下，连接 AE，交 CD 于点，求证：FAFD EFC.图 4-3-11(1)解：如图 D24.图 D24(2)证明：四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，ADBC.BCCE，ADCE.ADBC，DAFCEF.在AFD 和EFC
33、中，AFD EFC(AAS).第2课时特殊的平行四边形1.理解矩形、菱形、正方形的概念，以及它们之间的关系.2.探索并证明矩形、菱形、正方形的性质定理：矩形的四个角都是直角，对角线相等；菱形的四条边相等，对角线互相垂直，以及它们的判定定理：三个角是直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形；四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形.正方形具有矩形和菱形的一切性质.)1.(2017 年湖北十堰)下列命题错误的是(A.对角线互相平分的四边形是平行四边形B.对角线相等的平行四边形是矩形C.一条对角线平分一组对角的四边形是菱形D.对角线互相垂直的矩形是正方形答案：C2.(2017
34、 年湖南怀化)如图 4-3-25，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，AOB60，AC6 cm，则 AB 的长是()图 4-3-25A.3 cmB.6 cmC.10 cmD.12 cm答案：A3.关于ABCD 的叙述，正确的是()ABCD 是菱形ABCD 是正方形ABCD 是矩形ABCD 是正方形A.若 ABBC，则B.若 ACBD，则C.若 ACBD，则D.若 ABAD，则答案：C4.(2017 年四川宜宾)如图 4-3-26，在菱形 ABCD 中，若 AC6，BD8，则菱形 ABCD 的面积是_.图 4-3-26答案：245.如图 4-3-27，在平行四边形 ABCD
35、中，延长 AD 到点 E，使 DE AD，连 接 EB，EC，DB，请 你 添 加 一 个 条 件_，使四边形 DBCE 是矩形.图 4-3-27答案：EBDC(答案不唯一)知识点内容特殊平行四边形的性质四边形边角对角线对称性矩形对边平行且相等四 个 角 都是直角对角线相等且互相平分轴对称，中心对称菱形对边平行，四边相等对角相等，邻角互补对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角轴对称，中心对称正方形对边平行，四边相等四 个 角 都是直角对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角轴对称，中心对称知识点内容特殊平行四边形的判定矩形(1)有一个角是直角的平行四边形；(2)有三个角是直角的四边
36、形；(3)两条对角线相等且互相平分菱形(1)有一组邻边相等的平行四边形；(2)四边相等的四边形；(3)对角线互相垂直的平行四边形正方形(1)有一组邻边相等的矩形；(2)有一个角是直角的菱形；(3)对角线相等且互相垂直平分的四边形(续表)(续表)菱形的性质与判定例 1：(2018 年北京)如图 4-3-28，在四边形 ABCD 中，ABDC，ABAD，对角线 AC，BD 交于点 O，AC 平分BAD，过点 C 作 CEAB 交 AB 的延长线于点 E，连接 OE.图 4-3-28(1)求证：四边形 ABCD 是菱形；(2)若 AB ，BD2，求 OE 的长.5思路分析(1)先判断出OABDCA，
37、进而判断出DACDCA，得出 CDADAB，即可得出结论；(2)先判断出 OEOAOC，再求出 OB1，利用勾股定理求出 OA，即可得出结论.(1)证明：ABCD，OABDCA.AC 为DAB 的平分线，OABDAC，DCADAC.CDADAB.ABCD，四边形 ABCD 是平行四边形.ADAB，ABCD 是菱形.(2)解：四边形 ABCD 是菱形，OAOC，BDAC.CEAB，OEOAOC.【试题精选】1.(2018 年江苏扬州)如图 4-3-29，在平行四边形 ABCD 中，DBDA，点 F 是 AB 的中点，连接 DF 并延长，交 CB 的延长线于点 E，连接 AE.(1)求证：四边形
38、AEBD 是菱形；(2)若 DC ，tanDCB3，求菱形 AEBD 的面积.图 4-3-2910(1)证明：四边形 ABCD 是平行四边形，ADCE.DAFEBF.AFDBFE，AFBF，AFD BFE.ADBE.ADEB，四边形 AEBD 是平行四边形.BDAD，四边形 AEBD 是菱形.(2)解：四边形 ABCD 是平行四边形，tanABEtanDCB3.四边形 AEBD 是菱形，ABDE，AFFB，EFDF.名师点评菱形的性质可以用于证明线段相等、角相等、直线平行、垂直等，常与三角形全等、勾股定理、方程相结合进行相关问题的计算与证明.矩形的性质与判定例 2：(2017 年江苏徐州)如图
39、4-3-30，在ABCD 中，点 O是边 BC 的中点，连接 DO 并延长，交 AB 延长线于点 E，连接BD，EC.图 4-3-30(1)求证：四边形 BECD 是平行四边形；(2)若A50，则当BOD_时，四边形 BECD是矩形.思路分析(1)由 AAS 证明BOECOD，得出 OEOD，即可得出结论；(2)由平行四边形的性质得出BCDA50，由三角形的外角性质求出ODCBCD，得出 OCOD，证出 DEBC，即可得出结论.(1)证明：四边形 ABCD 为平行四边形，ABDC，ABCD.OEBODC.又O 为 BC 的中点，BOCO.BOE COD(AAS).OEOD.四边形 BECD 是
40、平行四边形.(2)解析：若A50，则当BOD100时，四边形BECD是矩形.理由如下：四边形 ABCD 是平行四边形，BCDA50.BODBCDODC，ODC1005050BCD.OCOD.BOCO，ODOE，DEBC.四边形 BECD 是平行四边形，四边形 BECD 是矩形.答案：100【试题精选】2.(2017 年山西)如图 4-3-31，将矩形纸片 ABCD 沿 BD 折叠，得到BCD，CD 与 AB 交于点 E.若135，则2 的度数为()图 4-3-31A.20B.30C.35D.55答案：A3.(2018 年山东青岛)已知：如图 4-3-32，平行四边形 ABCD，对角线 AC 与
41、 BD 相交于点 E，点 G 为 AD 的中点，连接 CG，CG 的延长线交 BA 的延长线于点 F，连接 FD.(1)求证：ABAF；(2)若 AGAB，BCD120，判断四边形 ACDF 的形状，并证明你的结论.图 4-3-32(1)证明：四边形 ABCD 是平行四边形，ABCD，ABCD，AFCDCG.GAGD，AGFDGC，AGF DGC.AFCD.ABAF.(2)解：结论：四边形 ACDF 是矩形.理由如下：AFCD，AFCD，四边形 ACDF 是平行四边形.四边形 ABCD 是平行四边形，BADBCD120.FAG 60.ABAGAF，AFG 是等边三角形.AGGF.AGF DGC
42、，FGCG.AGGD，ADCF.四边形 ACDF 是矩形.名师点评矩形的四个角为直角，常将矩形转化为直角三角形；矩形的对角线将矩形分成四个等腰三角形，这些思路及矩形性质是证明线段、角相等以及线段平行、垂直的重要依据.正方形的性质与判定例 3：(2018 年山东潍坊)如图 4-3-33，点 M 是正方形 ABCD边 CD 上一点，连接 AM，作 DEAM 于点 E，BFAM 于点 F，连接 BE.(1)求证：AEBF；(2)已知 AF2，四边形 ABED 的面积为 24，求EBF 的正弦值.图 4-3-33(1)证明：四边形 ABCD 为正方形，BAAD，BAD90.DEAM 于点 E，BFAM
43、 于点 F，AFB90，DEA90.ABFBAF90，EADBAF90，ABFEAD.ABF DAE(AAS).BFAE.(2)解：设 AEx，则 BFx，DEAF2.四边形 ABED 的面积为 24，CF，则的值是(【试题精选】4.(2018 年四川泸州)如图 4-3-34，正方形 ABCD 中，E，F分别在边 AD，CD 上，AF，BE 相交于点 G，若 AE3ED，DFAGGF)图 4-3-34A.43B.54C.65D.76解析：如图 D27，作 FNAD，交 AB 于点 N，交 BE 于点M.四边形 ABCD 是正方形，ABCD.FNAD，四边形 ANFD 是平行四边形.D90，四边
44、形 ANFD 是矩形.AE3DE，设 DEa，则 AE3a，ADABCD FN 4a，AN DF 2a.AN BN，图 D27答案：C5.(2018 年湖北天门)如图 4-3-35，正方形 ABCD 中，AB6，G 是 BC 的中点.将ABG 沿 AG 对折至AFG，延长 GF 交 DC于点 E，则 DE 的长是()图 4-3-35A.1B.1.5C.2D.2.5答案：C解题技巧与正方形有关的计算及推理题常与三角形的全等、勾股定理、方程、三角函数相联系，有关正方形的判定方法较多，一般在矩形、菱形的基础上，从边、角、对角线三个方向进一步分析、判断与证明.1.(2017 年广东)如图 4-3-36
45、，已知正方形 ABCD，点 E 是BC 边的中点，DE 与 AC 相交于点 F，连接 BF，下列结论：SABFSADF；SCDF4SCEF；SADF2SCEF；SADF2SCDF，其中正确的是()图 4-3-36A.B.C.D.答案：C2.(2016 年广东)如图 4-3-37，正方形 ABCD 的面积为 1，则)以相邻两边中点连接 EF 为边的正方形 EFGH 的周长为(图 4-3-37答案：B3.(2018 年广东)如图 4-3-38，在矩形 ABCD 中，ABAD，把矩形沿对角线 AC 所在直线折叠，使点 B 落在点 E 处，AE 交CD 于点 F，连接 DE.(1)求证：ADE CED
46、；(2)求证：DEF 是等腰三角形.图 4-3-38证明：(1)四边形 ABCD 是矩形，ADBC，ABCD.由折叠的性质可得：BCCE，ABAE，ADCE，AECD.ADCE，在ADE 和CED 中，AECD，DEED，ADE CED(SSS).(2)由(1)，得ADE CED.DEAEDC，即DEFEDF.EFDF.DEF 是等腰三角形.4.(2017 年广东)如图 4-3-39，已知四边形 ABCD，ADEF 都是菱形，BADFAD，BAD 为锐角.(1)求证：ADBF；(2)若 BFBC，求ADC 的度数.图 4-3-39(1)证明：如图 D28，连接 DB，DF.四边形 ABCD，A
47、DEF 都是菱形，ABBCCDDA，ADDEEFFA.在BAD 与FAD 中，ABAF，BADFAD，ADAD，图 D28BAD FAD.DBDF.D 在线段 BF 的垂直平分线上.ABAF，A 在线段 BF 的垂直平分线上.AD 是线段 BF 的垂直平分线.ADBF.(2)解：如图 D29，设 ADBF 于点 H，作 DGBC 于点 G，则四边形 BGDH 是矩形.BFBC，BCCD，在 RtCDG 中，图 D29C30.BCAD，ADC180C150.第4讲圆第1课时圆的基本性质1.理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念.2.探索圆周角与圆心角及其所对的弧的关系.3.了
48、解并证明圆周角定理及其推论：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半；直径所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补.1.如图 4-4-1，BC 是O 的直径，点 A 是O 上异于 B，C的一点，则A 的度数为()图 4-4-1A.60B.70C.80D.90答案：D2.(2017 年重庆)如图 4-4-2，OA，OC 是O 的半径，点 B在O 上，连接 AB，BC，若ABC40，则AOC_.图 4-4-2答案：803.(2017 年北京)如图 4-4-3，AB 为O 的直径，C，D 为O 上的点，ADCD.若CAB40，则CAD_.图 4-4-3答案：254.
49、(2017 年甘肃白银)如图 4-4-4，ABC 内接于O，若OAB32，则C_.图 4-4-4答案：585.如图 4-4-5，AB 是O 的弦，半径 OCAB 于点 D，且AB8，OC5，则 DC_.图 4-4-5解析：如图 D34，连接 OA.OCAB，图 D34DCOCOD2.答案：2要点内容圆的基本概念同心圆圆心相同、半径不等的圆叫做同心圆等圆能够重合的两个圆叫做等圆半圆圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧弦连接圆上任意两点的线段叫做弦直径经过圆心的弦叫做直径弦心距圆心到弦的距离叫
50、做弦心距圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角圆周角顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角要点内容垂径定理及其推论定理垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧弧、弦、圆心角之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等推论在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等弧的度数等于它所对圆心角的度数(续表)要点内容圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半推论同弧或等弧所对的圆周角相等半圆(或直径)所对的圆周
