1、专题复习专题复习-“线段和（差）的最值线段和（差）的最值”我们初中数学中学习过的平面图形有线段、我们初中数学中学习过的平面图形有线段、角、三角形、四边形和圆，而线段和的最值问角、三角形、四边形和圆，而线段和的最值问题都基于图形的轴对称性来确定问题中点的位题都基于图形的轴对称性来确定问题中点的位置，从而求线段和的最值，同时这部分题目的置，从而求线段和的最值，同时这部分题目的考查也会渗透在平面直角坐标系和函数的题目考查也会渗透在平面直角坐标系和函数的题目中，因此将这块放在二轮复习中进行专题复习。中，因此将这块放在二轮复习中进行专题复习。从历年的中考数学题型来看，经常会考查距离最值的问题，并且这部分
2、题目在中考中失分率很高，应该引起我们的重视。几何极值问题在教材中虽然没有专题讲解，但却给出了它的模型。初学时大家的认知水平和理解水平有限，处理这类问题时我们并没有进行拓展和延伸，因此在初三的综合复习中对此进行专题复习是很有必要的。本课我们共同来解决线段和的最值问题本课我们共同来解决线段和的最值问题课本原型课本原型（七年级(下)）如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B 到它的距离之和最短？ABPAP 理论依据：两点之间，线段最短理论依据：两点之间，线段最短 用途：求两条线段和的最小值用途：求两条线段和的最小值应用：求两条线段和的最小值应用：求
3、两条线段和的最小值模型一：（两点同侧）：如图1，点P在直线l上运动，画出一点P使PA+PB取最小值。模型二：（两点异侧）：如图2，点P在直线l上运动，画出一点P使PA+PB取最小值。BlPA图图1BABlP图图2【典型例题】例1.（“两定一动”）如图，在直角坐标系中，点A(3,4)，B(0,2)，点P为x轴上一动点，求当PA+PB最小时点P的坐标yxBAOP类型类型“两点同侧两点同侧”在x轴上确定一点P使PA+PB最小，因此先作B（A）关于x轴的对称点B（A），连接AB与与x轴的交点即为所轴的交点即为所求的点求的点P。由由B(0,2)，所以B(0,-2)，因为，因为 A(3,4)，所以易求直线
4、A B：y=2x-2,所以点所以点P（1，0）B变式训练如图，MN 是 O的直径，MN=2，点A 在 O 上，AMN=30，B 为弧AN 的中点，P是直径MN 上一动点，则PA+PB 的最小值为 ABONMPB【典型例题】例2.（“两动一定”）如图，在锐角ABC中，AB=，BAC=45，BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，请你求出BM+MN的最小值24ABCDNMNN解析：AD是角平分线，所以具有轴对称，先作N与N关于AD对称，所以M N=MN，要使BM+MN最小，即BM+MN=BM+MN最小，所以当B，M，N在一条直线上时最小，此时为BN的长度，而BN最小时即为B N
5、与AC垂直时最小，易求得BM+MN的最小值为4变式训练练习1，如图，正方形ABCD的边长为4，CDB的平分线DE交BC于点E，若点P,Q分别是DE和DC上的动点，则PQ+PC的最小值（）A.2 B.C.4 D.2224ABCDQPE【变式训练】练习2，如图，AOB=45，P是AOB内一点，OP=10，Q、R分别是OB、OA上的动点，求PQR周长的最小值BPAOP1P2 QR【典型例题】例3.(“两动两定”)如图，直线l1、l2交于O，A、B是两直线间的两点，从点A出发，先到l1上一点P，再从P点到l2上一点Q，再回到B点，求作P、Q两点，使APPQ QB最小。Q QP PAB解析：由前面的知识
6、积累可以得知：先作出点A与 A关于直线l1对称，则PA=P A，然后再作 B与B关于l2对称，则QB=Q B连接AB交l1，l2于点P，Q，则AP+PQ+QB=P A+PQ+Q B，当四点共线时，AP+PQ+QB最小。ABOl1l2【变式训练】已知,在平面直角坐标系中，点A（1,3)、B(4,2)，请问在x轴上是否存在点C，在y轴上是否存在点D，使得围成的四边形ADCB周长最短.xyAOBADCB反思总结反思总结 此类试题往往以角、三角形、菱形、矩形、正此类试题往往以角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等为背景，这些方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等为背景，这些问题的设置背景
7、有都有一个共同点，那就是：都有问题的设置背景有都有一个共同点，那就是：都有一个一个“轴对称性轴对称性”的图形共同点，解题时只有从变的图形共同点，解题时只有从变化的背景中提取出化的背景中提取出“建奶站问题建奶站问题”的数学模型，再的数学模型，再通过找定直线通过找定直线（在那条直线上确定点就作定点关于（在那条直线上确定点就作定点关于这条直线的对称点）这条直线的对称点）的对称点，从而将问题转化为的对称点，从而将问题转化为上面的类型进行求解，但有时问题是求三角形周长上面的类型进行求解，但有时问题是求三角形周长或四边形周长的最小值，一般此类问题中会含有定或四边形周长的最小值，一般此类问题中会含有定长的线
8、段，依然可以转化为长的线段，依然可以转化为“建奶站问题建奶站问题”来进行来进行求解。求解。【课时练习】1、如图1，等边ABC的边长为6，AD是边BC上的中线，M是AD上的动点，E是边AC上的一点，若AE=2，EM+CM的最小值为_。2、如图2，菱形ABCD中，BAD=600，M是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，若PM+PB的最小值是3，则AB长为_.图1图23.如图，O的半径为2，点A，B，C在 O上，OAOB,AOC=600，P是OB上一动点，PA+PC的最小值为_。4在正方形ABCD中，点E是BC上的一定点，且BE=5，EC=7，点P是BD上的一动点，则PE+PC的最小值是 图3A
9、OBCABCDPE图图4课本原型课本原型（七年级（下）如图所示，在三角形ABC中，分别量出三个三角形的三边长度，计算三角形的任意两边之差并与第三边比较，你能得到什么结论？BA C即：三角形任意两边之差小于第三边即：三角形任意两边之差小于第三边AB-ACBC应用：求两条线段差的最大值应用：求两条线段差的最大值A、理论依据：三角形两边之差小于第三边B、用途：求两条线段差的最大值当当P在直线运动到在直线运动到D 时，（时，（ABAC）取最大取最大PB CD【常见模型】模型一：两点同侧：如图1，点P在直线l上运动。画出一点P，使|PAPB|取最大值；模型二：两点异侧：如图2，点P在直线l上运动，画出一
10、点P,使|PAPB|取最大值；PBAlB BPAl图1图2【典型例题】例例1 1：已知：点：已知：点A(0,1)A(0,1)，B(3,4)B(3,4)，点，点P P在在x x轴上轴上运动时，当运动时，当|PA-PB|PA-PB|的值最大时，求出此时的值最大时，求出此时点点P P 的坐标的坐标yxOABPP P分析：分析：“两点同侧两点同侧”当点当点P、A、B不在一条直线上时，不在一条直线上时，|PA-PB|AB，所以当所以当|PA-PB|的值最大时，此时的值最大时，此时点点p、A、B在一条直线上，即直线在一条直线上，即直线AB与与x轴的交点为轴的交点为P。解析：当解析：当|PA-PB|PA-P
11、B|取最大时，此时点取最大时，此时点P P、A A、B B在一条在一条直线上，设直线直线上，设直线ABAB：y=kx+by=kx+b将将A(0,1)A(0,1)B(3,4)B(3,4)代入解代入解得得k=1,b=1k=1,b=1所以直线所以直线ABAB：y=x+1y=x+1，又因为点，又因为点P P在在x x轴上，轴上，易求点易求点P P（-1-1，0 0）【典型例题】例例2 2：已知：点：已知：点A(0,1)A(0,1)，B(3,0)B(3,0)，点，点P P在直线在直线x=2x=2上上运动时，当运动时，当|PA-PB|PA-PB|的值最大时，求出此时点的值最大时，求出此时点P P的坐标的坐
12、标yxOABx=2PB1 1P分析：分析：“两点异侧两点异侧”由题知：由题知：|PA-PB|AB，所以当，所以当|PA-PB|的值最大时，先找出点的值最大时，先找出点B关于直线关于直线x=2的对称点的对称点Bl，连接，连接AB与直线与直线x=2的的交点即为所求点交点即为所求点P，此时满足：此时满足：|PA-PB|的值最大；的值最大；解析：点解析：点B B与点与点B Bl l关于直线关于直线x=2x=2对称，对称，B B（3,03,0），得），得B B（1 1，0 0）；易求直线）；易求直线ABAB：y=-x+1,y=-x+1,因为点因为点P P在在x=2x=2上，所以联立可解得：上，所以联立可
13、解得：P(2,-1)P(2,-1)设计设想 从近年的中考数学题型来看，经常考查距离最值的问题，而这部分题目在中考分析中，失分率很高，应该引起我们的重视，几何极值问题在教课书虽然没有专题讲解，但却给出了它的模型。学生对几何极值模型的陌生由于当时的学生理解水平有限等条件下，教师在当时的教学中对教材例习题的拓展延伸程度相对低，因此在初三的综合复习中对此进行专题复习是很有必要的。所以我设计本节课的思路是想通过对此类题进行深层次的挖掘、拓展、再创造，利用例题、习题的所潜在的价值，改变学生的学习方式由“重结论轻过程”向“过程与结果”并重的方向发展，使学生挖掘隐含问题的本质属性，从而达到“做一题，通一类，会一片”的解题境界。希望能通过此了复习达到预想的目标。在具体复习过程中，将此类问题归类建模，我们知道，数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并“解决”实际问题的一种强有力的数学手段。用模型分析实际事物，锻炼我们的创新能力，建立的模型是分析事物的很好的方法，因此在教学中，要洗染引导学生通过讨论、分析和研究，熟悉并理解数学模型。
