1、第第1章章 二次函数二次函数章末复习课章末复习课画 一 画研 一 研类型之一用待定系数法求二次函数表达式类型之一用待定系数法求二次函数表达式用待定系数法求二次函数的表达式，一般有三种形用待定系数法求二次函数的表达式，一般有三种形式：式：(1)已知二次函数的图象过三点，可设一般式已知二次函数的图象过三点，可设一般式yax2bxc(a0)；(2)已知二次函数的顶点坐标已知二次函数的顶点坐标(或对称轴，最或对称轴，最大、最小值大、最小值)，可设抛物线的顶点式，可设抛物线的顶点式ya(xm)2k(a0)；(3)已知抛物线与已知抛物线与x轴两个交点坐标轴两个交点坐标(x1，0)，(x2，0)，可设，可设
2、两根式两根式ya(xx1)(xx2)(a0)例例1已知一个二次函数的图象经过已知一个二次函数的图象经过A(3，0)，B(0，3)，C(2，5)三点三点(1)求这个函数的表达式；求这个函数的表达式；(2)画出这个二次函数的图象画出这个二次函数的图象(草图草图)，设它的顶点为，设它的顶点为P，求求ABP的面积的面积【解析解析】(1)设出二次函数的一般式，将设出二次函数的一般式，将A，B及及C的的坐标代入即可确定出表达式；坐标代入即可确定出表达式；(2)利用对称轴公式求出二利用对称轴公式求出二次函数的对称轴及顶点坐标，作出草图，求出次函数的对称轴及顶点坐标，作出草图，求出ABP面积面积即可即可【点悟
3、点悟】此题是典型的根据三点坐标求其函数表达此题是典型的根据三点坐标求其函数表达式关键是：式关键是：(1)熟悉待定系数法；熟悉待定系数法；(2)点在函数图象上时，点在函数图象上时，点的坐标满足此函数的表达式；点的坐标满足此函数的表达式；(3)会解简单的三元一次会解简单的三元一次方程组方程组 如图如图11，抛物线，抛物线yax2bxc的顶点为的顶点为B(3，4)，且经过点，且经过点C(0，5)(1)求抛物线的函数表达式；求抛物线的函数表达式；(2)若过点若过点C的直线的直线ykxb与抛物线相交于点与抛物线相交于点E(4，m)，求，求CBE的面积的面积图图11解解：(1)设抛物线的解析式为设抛物线的
4、解析式为ya(x3)24，将将C(0，5)代入代入ya(x3)24得得a1，抛物线的函数表达式为抛物线的函数表达式为y(x3)24；【点悟点悟】此题用顶点式求解较为容易用一般式也此题用顶点式求解较为容易用一般式也可以求出，但仍要利用顶点坐标公式可以求出，但仍要利用顶点坐标公式类型之二根据抛物线类型之二根据抛物线yax2bxc(a0)的不同位的不同位置，确定置，确定a，b，c的值的值例例2图图13是二次函数是二次函数yax2bxc图象的一部分，图象的一部分，图象过点图象过点A(3，0)，对称轴为直线，对称轴为直线x1.给出四个结论：给出四个结论：b24ac；2ab0；abc0；5ab.其中正确其
5、中正确的结论是的结论是 ()ABC DB 1.已知二次函数已知二次函数yax2bxc(a，b，c为为常数，常数，a0)的图象如图的图象如图14所示，有下列结论：所示，有下列结论：abc0，b24ac0，abc0，4a2bc0，其中正，其中正确结论的个数是确结论的个数是 ()图图14A1 B2C3 D4A类型之三二次函数与一元二次方程关系的应用类型之三二次函数与一元二次方程关系的应用(1)求求A，B两点的坐标，并求直线两点的坐标，并求直线AB的表达式；的表达式；(2)设设P(x，y)(x0)是直线是直线yx上的一点，上的一点，Q是是OP的的中点中点(O是原点是原点)，以，以PQ为对角线作正方形为
6、对角线作正方形PEQF.若正方形若正方形PEQF与直线与直线AB有公共点，求有公共点，求x的取值范围的取值范围【点悟点悟】解这一类型题目，注意数形结合思想的运用解这一类型题目，注意数形结合思想的运用 1.已知函数已知函数yx24x1.(1)求函数的最小值；求函数的最小值；(2)在如图在如图17所示的坐标系中，画出函数的图象；所示的坐标系中，画出函数的图象；(3)设函数图象与设函数图象与x轴的交点为轴的交点为A(x1，0)，B(x2，0)，求，求x12x22的值的值图图17解解：(1)yx24x1(x2)23，当当x2时，时，y最小值最小值3.(2)如图，图象是一条开口向上的抛物线对称轴为如图，
7、图象是一条开口向上的抛物线对称轴为x2，顶点为，顶点为(2，3)(3)由题意，由题意，x1，x2是方程是方程x24x10的两根，的两根，x1x24，x1x21.x12x22(x1x2)22x1x242214.2二次函数二次函数yx22x3的图象与的图象与x轴交于轴交于A，B两两点点(点点A在点在点B右侧右侧)，与，与y轴交于轴交于C点，作点，作CDx轴交二次函轴交二次函数图象于数图象于D点点(1)在平面直角坐标系中画出函数大致图象，并求在平面直角坐标系中画出函数大致图象，并求A，B，C的坐标；的坐标；(2)求梯形求梯形ABCD的面积；的面积；(3)观察图象，观察图象，x取何值时，取何值时，y0
8、？(直接写答案直接写答案)类型之四抛物线的平移、对称类型之四抛物线的平移、对称例例4(1)抛物线抛物线yx22x5向左平移向左平移3个单位，再向下个单位，再向下平移平移6个单位，所得抛物线的表达式是个单位，所得抛物线的表达式是_ _(2)抛物线抛物线y2x24x6绕其顶点旋转绕其顶点旋转180后，所得抛后，所得抛物线的表达式是物线的表达式是_y(x2)22(或或yx24x2)y2(x1)24(或或y2x24x2)【解析解析】(1)先将抛物线先将抛物线yx22x5化成顶点式化成顶点式y(x1)24.再根据平移规律进行解答得抛物线再根据平移规律进行解答得抛物线y(x2)22.(2)先将先将y2x2
9、4x6化为顶点式化为顶点式y2(x1)24.旋旋转后的抛物线形状大小不变，顶点位置不变，只是开口方转后的抛物线形状大小不变，顶点位置不变，只是开口方向改变，故所求抛物线为向改变，故所求抛物线为y2(x1)24.【点悟点悟】平移规律口诀为：图象要平移，先化顶点式；平移规律口诀为：图象要平移，先化顶点式；上加下减，左加右减上加下减，左加右减涉及抛物线的平移时，首先将表达式化为顶点式涉及抛物线的平移时，首先将表达式化为顶点式ya(xm)2k的形式的形式对于抛物线对于抛物线ya(xm)2k；向上平移；向上平移|n|个单位时，个单位时，得得ya(xm)2k|n|；向下平移；向下平移|n|个单位时，得个单
10、位时，得ya(xm)2k|n|；向左平移；向左平移|n|个单位时，得个单位时，得ya(xm|n|)2k；向右平移；向右平移|n|个单位时，得个单位时，得ya(xm|n|)2k.已知二次函数已知二次函数yx2bx1(1b1)，当，当b从从1逐逐渐变化到渐变化到1的过程中，它所对应的抛物线位置也随之变的过程中，它所对应的抛物线位置也随之变动下列关于抛物线的移动方向的描述中，正确的是动下列关于抛物线的移动方向的描述中，正确的是 ()A先往左上方移动，再往左下方移动先往左上方移动，再往左下方移动B先往左下方移动，再往左上方移动先往左下方移动，再往左上方移动C先往右上方移动，再往右下方移动先往右上方移动
11、，再往右下方移动D先往右下方移动，再往右上方移动先往右下方移动，再往右上方移动C【点悟点悟】此题很新颖，撇开了传统的平移模式，但此题很新颖，撇开了传统的平移模式，但思维点仍不变，即抓住顶点的位置变化看平移情况，是一思维点仍不变，即抓住顶点的位置变化看平移情况，是一个较好的题目个较好的题目3已知抛物线已知抛物线C1：y(x2)23.(1)若抛物线若抛物线C2与抛物线与抛物线C1关于关于y轴对称，则抛物线轴对称，则抛物线C2的表达式为的表达式为_(2)若抛物线若抛物线C3与抛物线与抛物线C1关于关于x轴对称，则抛物线轴对称，则抛物线C3的表达式为的表达式为_【解析解析】画出草图，比较抛物线的顶点变
12、化，从而画出草图，比较抛物线的顶点变化，从而求解求解y(x2)23y(x2)23解解：C2与与C1关于关于y轴对称，轴对称，它们的顶点也关于它们的顶点也关于y轴轴对称又对称又抛物线抛物线C1的顶点为的顶点为(2，3)抛物线抛物线C2的顶点的顶点为为(2，3)抛物线抛物线C2的表达式为的表达式为y(x2)23.同理可同理可求得抛物线求得抛物线C3的顶点为的顶点为(2，3)抛物线抛物线C3的表达式为的表达式为y(x2)23.【点悟点悟】此类题很灵活，但若能看出顶点的变化情此类题很灵活，但若能看出顶点的变化情况，而形状大小不变，就容易解决了况，而形状大小不变，就容易解决了类型之五二次函数的实际应用类
13、型之五二次函数的实际应用例例5某商品的进价为每件某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出元，每星期可卖出150件市场调查反映：如果每件的件市场调查反映：如果每件的售价每涨售价每涨1元元(售价每件不能高于售价每件不能高于45元元)，那么每星期少卖，那么每星期少卖10件设每件涨价件设每件涨价x元元(x为非负整数为非负整数)，每星期销售量为，每星期销售量为y件件(1)求求y与与x的函数表达式及自变量的函数表达式及自变量x的取值范围；的取值范围；(2)如如何定价才能使每星期的利润最大且每星期销量较大？每星何定价才能使每星期的利润最大且每星期销量较大？每星期的最大利润是多少？期的最大利润是多少？【解析解析】利用总利润件数利用总利润件数每件利润，建立二次每件利润，建立二次函数关系式，再利用二次函数性质解决问题函数关系式，再利用二次函数性质解决问题
